河北省唐山市届高三上学期期末考试 数学文Word格式文档下载.docx
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选A.∵f(x)为R上的偶函数且在[0,+∞)上单调递减,∴f(x)在上单调递增.又f(-2)=f
(2)=0,因此满足xf(x)>0的x的取值范围是∪.
5.执行右图所示的程序框图,如果输入的a=2,b=2,那么输出的i=( )
A.10B.9
C.4D.3
选C.
6.平行四边形ABCD中,AB=5,AD=3,|+|=4,则·
=
A.5 B.9
C.12D. 16
7.已知函数f(x)=3sin的最小正周期为T,则将函数f(x)图象向左平移个单位后,所得图象对应的函数为
A.y=-3sinB.y=-3cos
C.y=3sinD.y=3cos
选D.
8.一个几何体的三视图如右图所示,则其体积为
A.10+π B.2+
C.2+D.2+
9.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an,Sn为等比数列{an}的前n项和,若{Sn+λ}为等比数列,则λ=
A.-1 B.1
C.-2D.2
10.已知F1,F2为双曲线Γ:
-=1(a>0)的左、右焦点,P为双曲线Γ左支上一点,且满足直线PF1与双曲线的一条渐近线平行,PF1⊥PF2,则a=
A.B.2
C.4D.4
选A.
11.已知a>
-1,函数f(x)=若存在t使得g(x)=f(x)-t恰有三个零点,则a的取值范围是
A. B.
C.D.
12.已知cos36°
cos72°
=,由此可算得cos36°
A. B.
C.D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S5=10,a2=3.则{an}的公差为________.
答案-1
解析 设{an}的公差为d,由题设可得解得d=-1,a1=4.
14.设x,y满足约束条件则z=x-2y的最大值是________.
答案1
解析
15.已知F为椭圆C:
+=1(a>b>0)的一个焦点,过F且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B,若原点O在以AB为直径的圆上,则椭圆C的离心率为________.
答案
16.在三棱锥PABC中,底面ABC是正三角形,侧面PAB是直角三角形,且PA=PB=2,PA⊥AC,则该三棱锥的外接球的表面积为________.
答案12π
解析由题设知AB=AC=2,PC=2,RT△PAC≌RT△PBC,三棱锥的外接球面的球心为PC的中点O,外接球的半径为.
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a-bcosC=csinB.
(Ⅰ)求B;
(Ⅱ)若b=2,a,b,c成等差数列,求△ABC的面积.
解:
(Ⅰ)由a-bcosC=csinB及正弦定理得,
sinA-sinBcosC=sinCsinB,
因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB,
所以sinCcosB=sinCsinB.
因为sinC≠0,所以tanB=,
又因为B为三角形的内角,
所以B=.…6分
(Ⅱ)由a,b,c成等差数列得a+c=2b=4,
由余弦定理得a2+c2-2accosB=b2,
即a2+c2-ac=4,
所以(a+c)2-3ac=4,
从而有ac=4.
故S△ABC=acsinB=.…12分
18.(本小题满分12分)
高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”,彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司随机抽取了100名移动支付用户进行调查,得到如下数据:
每周使用移动支付次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及以上
男
4
3
7
8
30
女
6
5
20
合计
10
11
14
50
(Ⅰ)在每周使用移动支付次数超过3次样本中,按性别用分层抽样的方法随机抽取5名用户.
(ⅰ)求抽取的5名用户中男用,女用户各多少人?
(ⅱ)从5名用户中随机抽取2名用户,求抽取的2名用户中既有男用户又有女用户的概率;
(Ⅱ)如果认为每周使用移动支付次数超过3次的用户“喜欢使用移动支付”,能否在犯错误概率不超过0.05的前提下,认为“喜欢使用移动支付”与性别有关?
附表及公式:
K2=
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(Ⅰ)
(ⅰ)由图中表格可知,样本中每周使用移动支付次数超过3次的男用户有45人,
女用户30人,在这75人中,按性别用分层抽样的方法随机抽取5名用户,其中男用户有3人,女用户有2人.…2分
(ⅱ)记抽取的3名男用户分别A,B,C;
女用户分别记为d,e.
再从这5名用户随机抽取2名用户,共包含
(A,B),(A,C),(A,d),(A,e),(B,C),
(B,d),(B,e),(C,d),(C,e),(d,e),
10种等可能的结果,其中既有男用户又有女用户这一事件包含(A,d),(A,e),
(B,d),(B,e),(C,d),(C,e),共计6种等可能的结果,
由古典概型的计算公式可得P==.…6分
(Ⅱ)由图中表格可得列联表
不喜欢移动支付
喜欢移动支付
45
55
15
25
75
100
将列联表中的数据代入公式计算得
k==≈3.03<3.841,…10分
所以,在犯错误概率不超过0.05的前提下,不能认为是否喜欢使用移动支付与性别有关.…12分
19.(本小题满分12分)
如图,在五面体ABCDEF中,底面ABCD为正方形,EF∥DC,平面ABCD⊥平面CDEF,AE⊥CF.
(Ⅰ)求证:
CF⊥DE;
(Ⅱ)若CF=DE,DC=2EF=4,求五面体ABCDEF的体积.
(Ⅰ)因为平面ABCD⊥平面CDEF,
平面ABCD∩平面CDEF=CD,AD⊥CD,
所以AD⊥平面CDEF,又CF⊂平面CDEF,
则AD⊥CF.
又因为AE⊥CF,AD∩AE=A,
所以CF⊥平面AED,DE⊂平面AED,
从而有CF⊥DE.…6分
(Ⅱ)连接FA,FD,过F作FM⊥CD于M,
因为平面ABCD⊥平面CDEF且交线为CD,FM⊥CD,
所以FM⊥平面ABCD.
因为CF=DE,DC=2EF=4,且CF⊥DE,
所以FM=CM=1,
所以五面体的体积V=VF-ABCD+VA-DEF=+=.…12分
20.(本小题满分12分)
已知抛物线E:
y2=4x,过点P(2,0)作两条互相垂直的直线m,n,直线m交E于不同两点A,B,直线n交E于不同两点C,D,记直线m的斜率为k.
(1)求k的取值范围;
(2)设线段AB,CD的中点分别为M,N,证明:
直线MN过定点Q(2,0).
(Ⅰ)由题设可知k≠0,所以直线m的方程为y=kx+2,与y2=4x联立,
整理得ky2-4y+8=0,①
由Δ1=16-32k>0,解得k<.…2分
直线n的方程为y=-x+2,与y2=4x联立,
整理得y2+4ky-8k=0,
由Δ2=16k2+32k>0,解得k>0或k<-2.…4分
所以故k的取值范围为{k|k<-2或0<k<}.…6分
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).
由①得,y1+y2=,则y0=,x0=-,则M(-,).…8分
同理可得N(2k2+2k,-2k).
直线MQ的斜率kMQ==,
直线NQ的斜率kNQ===kMQ,
所以直线MN过定点Q(2,0).…12分
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=exsinx-ax.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,-a),求a的值;
(Ⅱ)若f(x)≥0在区间[0,]上恒成立,求a的取值范围.
(Ⅰ)由f(x)=exsinx-ax,得f(0)=0.
由f'
(x)=ex(cosx+sinx)-a,得f'
(0)=1-a,
则1-a=-,解得a=2.…4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f'
(x)=ex(cosx+sinx)-a,
令g(x)=f'
(x),则g'
(x)=2excosx,
所以x∈[0,]时,g'
(x)≥0,g(x)单调递增,f'
(x)单调递增.
(ⅰ)当a≤1时,f'
(0)=1-a≥0,所以f'
(x)≥f'
(0)≥0,f(x)单调递增,
又f(0)=0,所以f(x)≥0.
(ⅱ)当a≥e时,f'
()≤0,所以f'
(x)≤f'
()≤0,f(x)单调递减,
又f(0)=0,所以f(x)≤0,故此时舍去.
(ⅲ)当1<a<e时,f'
(0)<0,f'
()>0,所以存在x0∈(0,),使得f'
(x0)=0,
所以x∈(0,x0)时,f'
(x)<0,f(x)单调递减,
综上,a的取值范围是a≤1.…12分
请考生在第22~23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,椭圆C关于坐标轴对称.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,A(,),B(2,0)为椭圆C上两点.
(Ⅰ)求直线OA的直角坐标方程与椭圆C的参数方程;
(Ⅱ)若点M在椭圆C上,且点M第一象限内,求四边形OAMB的面积S的最大值.
(Ⅰ)由A(,)得直线OA的倾斜角为,
所以直线OA斜率为tan=-1,即OA:
x+y=0.
由x=ρcosα,y=ρsinα可得A的直角坐标
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