数学知识点新人教A版高中数学选修45《数学归纳法》word教案2篇总结Word格式文档下载.docx

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（3）活用起点的位置；

（4）有的试题需要先作等价变换.

三、数学归纳法证明不等式的运用范围

数学归纳法是用来证明与自然数有关命题的一种有效方法，在我们高中数学中，经常会以数列和函数为知识载体，构造一些与自然数有关的命题，数学归纳法是证明它们的有效手段，但不是唯一手段.

联想发散

在上一节中，我们还学习了归纳猜想证明的方法，在数学归纳法证明不等式的运用中，可不可以也先根据题目的条件归纳出一般规律，大胆猜想出一个不等式的命题，然后运用数学归纳法来证明呢？

典题·

热题

知识点一：

命题的结构特征

例1求证：

n≥2,n∈N.

思路分析：

本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，

不是第k项，应是第2k项，数列各项分母是连续的自然数，最后一项是以3k收尾.根据此分母的特点，在3k后面还有3k+1、3k+2,最后才为3k+3，即3（k+1）.不等式左端增加了

共三项，而不是只增加

一项.

证明：

（Ⅰ）当n=2时，右边=

+

>

，不等式成立.

（Ⅱ）假设当n=k（k≥2,k∈N）时命题成立，即

.

则当n=k+1时，

=

所以当n=k+1时，不等式也成立.

由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，原不等式对一切n≥2,n∈N*均成立.

错误的思维定式认为从n=k到n=k+1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，所以一定要认清不等式的结构特征.

例2已知，Sn=1+

+…+

n∈N，

用数学归纳法证明：

>

1+

本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，不等式左端增加了2k项，而不是只增加了

这一项，否则证题思路必然受阻.

（Ⅰ）当n=2时，

=1+

=1+

，

∴命题成立.

由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，原不等式对一切n≥2,n∈N均成立.

方法归纳

本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由n=k到n=k+1时不等式左端项数的增减情况.

知识点二：

比较法

例3求证：

≥

本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，关键的是证明

，为证此，我们采用了不等式证明方法中的比较法.

（Ⅰ）当n=1时，左式=1，右式=

，左式=右式;

当n=2时，左式=1+

右式=

;

左式>

右式.

∴当n=1或n=2时，不等式成立.

（Ⅱ）假设当n=k（k≥1）时，不等式成立，即

左式=1+

∵

0,

∴

=右式.

由不等式的传递性，可得左式>

右式，

∴当n=k+1时，不等式也成立.

由（Ⅰ）（Ⅱ）可得，对一切n∈N,不等式都成立.

在用数学归纳法证明不等式的过程中，我们经常因思维定式认为只能做代数变形，比较法是一种综合证明法，不能在数学归纳法中使用，这是一种错误的认识.证明不等式的基本方法在数学归纳法的第二步中都可以使用，究竟选择哪种方法要因具体题目而定.

知识点三：

放缩法

例4证明：

，n≥2,n∈N.

本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，在证明

时，使用了均值定理进行放缩.

（Ⅰ）当n=2时，左边=

，右边=

∴左边<

右边，

∴n=2时，原不等式成立.

（Ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即

当n=k+1时，

∴n=k+1时，原不等式成立.由（Ⅰ）（Ⅱ）知对n≥2的任何自然数，原不等式成立.

知识点四：

转化等价命题

例5数列{an}的通项公式为an=3n+2，将数列{an}中的第2,4,8,…,2n项依次取出，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，记其前n项和为Sn,Tn=n（9+an），当n≥4时，证明Sn>

Tn.

要证Sn>

Tn，只需证3×

2n+1+2n-6>

3n2+11n，即证2n+1>

n2+3n+2.这就证明了原不等式的等价不等式，从而将命题简化.

∵an=3n+2，

=3×

2n+2，

∴Sn=a2+a4+a8+…+a

=3（2+4+8+…+2n）+2n=3×

2n+1+2n-6.

而Tn=n（9+an）=3n2+11n.

3n2+11n，

即证2n+1>

n2+3n+2.

用数学归纳法来证明：

（Ⅰ）当n=4时，S4=98,T4=92,S4>

T4成立.

（Ⅱ）假设当n=k（k≥4）时，结论成立，就是2k+1>

k2+3k+2，那么

2k+2-［（k+1）2+3（k+1）+2］>

2（k2+3k+2）-（k2+5k+6）

=k2+k-2=（k+2）（k-1）.

∵k≥4,

∴（k+2）（k-1）>

0.

∴2k+2>

（k+1）2+3（k+1）+2.

这就是说，当n=k+1时，Sn>

Tn也成立.

由（Ⅰ）（Ⅱ）知，对n≥4,Sn>

Tn都成立.

本题用数学归纳法证明2n+1>

n2+3n+2，第二步采用的是作差比较法：

作差——利用归纳假设——变形（因式分解）——定号.这比通常的“作差——变形——定号”多了利用归纳假设这一步，这是因为归纳假设是用数学归纳法证明命题时所必需的.

巧解提示

也可不用数学归纳法来证明2n+1>

n2+3n+2（n≥4），而是利用二项展开式和放缩法直接证得.

当n≥4时，

2n+1=2·

2n=2（1+1）n

=2（

）

≥2（

=n2+3n+4

知识点五：

单调性

例6已知数列{an}中，所有项都是正数，且an+1≤an-a2n，求证：

an<

（Ⅰ）当n=1时，由a2≤a1-a12=a1（1-a1），且a1>

0,a2>

0，可得a1<

1，命题成立.

（Ⅱ）假设当n=k（k≥1）时命题成立，即ak<

则当n=k+1时，ak+1≤ak-a2k=ak（1-ak），

∵ak<

∴1-ak>

1-

由于以上二式不是同向不等式，所以无法完成由k到（k+1）的证明.所以我们可以利用函数f（x）=-x2+x的单调性进行证明：

函数f（x）=-x2+x的最大值为f（

）=

，且在（-∞,

］上为增函数.

而a2≤a1-a12=f（a1）≤

<

，故n=2时命题也成立.

（Ⅱ）假设n=k（k≥2）时，命题成立，即ak<

因为函数f（x）=-x2+x在（-∞,

］上为增函数，

所以由ak<

≤

及ak+1≤ak-a2k得

ak+1≤f（ak）<

f（

即ak+1<

所以当n=k+1时，命题也成立.

根据（Ⅰ）（Ⅱ）可知，对任何n∈N*，an<

知识点六：

活用起点的位置

例7已知函数f（x）=ax-

x2的最大值不大于

，又当x∈［

］时，f（x）≥

（1）求a的值；

（2）设0<

a1<

an+1=f（an）,n∈N*,证明:

在用数学归纳法证明不等式的过程中，充分利用了数列递推关系式an+1=f（an）=

a2n+an的函数单调性，需注意命题的递推关系式中起点位置的推移.

（1）解：

由于f（x）=ax

所以

即a2≤1.

又x∈［

］时f（x）≥

所以

解得a≥1.

∴a=1.

（2）证明：

（Ⅰ）当n=1时，0<

，不等式0<

成立；

因f（x）>

0,x∈（0,

）,所以0<

a2=f（a1）≤

故n=2时不等式也成立.

（Ⅱ）假设n=k（k≥2）时，不等式0<

ak<

成立，

因为f（x）=x-

x2的对称轴为x=

知f（x）在［0,

］为增函数，所以由0<

得0<

f（ak）<

）,于是有

0<

ak+1<

-

·

根据（Ⅰ）（Ⅱ）可知，对任何n∈N*，不等式an<

成立.

将起点的位置推移至2的目的，就是要将ak和

置于函数f（x）的单调区间［0,

］内，从而由0<

）.

问题·

探究

交流讨论探究

问题1我们已经学习过贝努利不等式（1+x）n＞1+nx的证明，如果我们加强条件，如：

已知x＞-1，且x≠0，n∈N，n≥2.如何来证明不等式（1+x）n＞1+nx.证明的方法有哪些呢？

探究过程:

老师：

首先验证n=2时的情况.

（1）当n=2时，左边=（1+x）2=1+2x+x2，右边=1+2x，因x2＞0，则原不等式成立.