21命题定理定义Word文档格式.docx

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1.能结合实例，判断所给语句是不是命题.

2.能找出命题的条件与结论，并判断命题的真假.

结合实例，理解命题的条件与结论，判断命题的真假，培养数学抽象素养和逻辑推理素养.

自主梳理

1.命题：

将可判断真假的陈述句叫作命题.数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论.

2.定理、定义

（1）有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理.

（2）定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵.

命题的理解

要判断一个语句是不是命题，先看给出的语句是不是陈述句，再看能否判断其真假，也就是判断其是否成立.一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.

自主检验

1.思考辨析，判断正误

（1）“一个实数不是正数就是负数”是真命题.（×

）

提示　还可能为0，是假命题.

（2）“两个奇数的和是偶数”这一命题的条件是两个数是奇数.（√）

（3）若a2＝b2，则a＝b.（×

提示　也可能a＝－b.

（4）矩形的对角线相等是真命题.（√）

2.下列语句中是命题的是（　　）

A.两个周期函数的和是周期函数吗？

B.x2－2x＋1＞0

C.|x|≥0，x∈R

D.作△ABC∽△EFG

答案　C

解析　A，D都不是陈述句，B不能判断真假，故A，B，D都不是命题.

3.语句“若a>

b，则a＋c>

b＋c”是（　　）

A.不是命题B.真命题

C.假命题D.不能判断真假

答案　B

解析　由不等式的性质知若a>

b＋c成立，故为真命题.

4.“矩形的对角线相等”这一命题的条件p为________，结论q为________.

答案　四边形是矩形　对角线相等

题型一　命题与真假命题的判断

【例1】　判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由.

（1）奇数的平方仍是奇数；

（2）两条对角线互相垂直的四边形是菱形；

（3）所有的质数都是奇数；

（4）5x>

4x；

（5）若x∈R，则x2＋4x＋7>

0；

（6）未来是多么美好啊！

（7）你是高二的学生吗？

（8）若x＋y是有理数，则x，y都是有理数.

解　

（1）是命题，而且是真命题.

（2）是命题，且是假命题.如图所示，四边形ABCD中，当AB＝AD，BC＝CD且AB≠BC时，对角线AC也垂直于BD，但四边形ABCD不是菱形.

（3）是命题，且是假命题.因为2是质数，但不是奇数.

（4）不是命题.因为x是未知数，不能判断真假.

（5）是命题，而且是真命题.因为对于x∈R，x2＋4x＋7＝（x＋2）2＋3>

0，不等式恒成立.

（6）是感叹句，不涉及真假，不是命题.

（7）是疑问句，不涉及真假，不是命题.

（8）是命题，且是假命题.如x＝，y＝－，x＋y＝0是有理数，而x，y都是无理数.

思维升华　并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；

其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：

①是否为陈述句；

②能否判断真假.

【训练1】　下列语句是否是命题？

若是，判断其真假，并说明理由.

（1）x≥16.

（2）x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根.

（3）空集是任何非空集合的真子集.

（4）指数函数是增函数吗？

解　

（1）不是命题.因为没有给定变量x的值，无法确定其真假.

（2）是真命题.代入验证即可.

（3）是真命题.由空集的定义和性质不难得出.

（4）不是命题.因为是疑问句无法判断真假.

题型二　命题的条件与结论

【例2】　将下列命题改写成“若p，则q”的形式.

（1）在△ABC中，大角对大边.

（2）矩形的对角线互相垂直.

（3）相等的两个角的正弦值相等.

（4）等底等高的两个三角形是全等三角形.

解　

（1）在△ABC中，若∠A>

∠B，则BC>

AC.

（2）若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直.

（3）若∠A＝∠B，则sinA＝sinB.

（4）若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等.

思维升华　命题“若p，则q”形式是由条件p和结论q组成的，在写命题时为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论.

【训练2】　指出下列命题中的条件p和结论q.

（1）若x＋y＝0，则x，y互为相反数.

（2）如果x∈A，则x∈A∩B.

（3）当x＝2时，x2＋x－6＝0.

解　

（1）p：

x＋y＝0，q：

x，y互为相反数.

（2）p：

x∈A，q：

x∈A∩B.

（3）p：

x＝2，q：

x2＋x－6＝0.

题型三　命题真假的判断

【例3】　判断下列命题的真假：

（1）若k>

0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根.

（2）若A⊆B，则A∩B＝A.

（3）如果两个三角形相似，则两个三角形全等.

（4）若x＋y>

5，则x>

2且y>

3.

解　

（1）当k>

0时，Δ＝4＋4k>

0恒成立，则方程x2＋2x－k＝0一定有实数根，故是真命题.

（2）当A⊆B时，任意x∈A，则x∈B，∴A∩B＝A成立，故是真命题.

（3）若两个三角形相似，则三个内角对应相等，边长对应成比例，不一定相等，故两个三角形不一定全等，是假命题.

5，可以x＝1，y＝6，不满足x>

3，是假命题.

思维升华　命题真假的判定方法

（1）真命题的判定方法：

真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程.判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法.

（2）假命题的判定方法：

通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.

【训练3】　判断下列命题的真假.

（1）若mn<

0，则方程mx2－x＋n＝0有实根.

（2）若x>

y，则x2>

y2.

（3）若x>

2，则x>

1.

解　

（1）当mn<

0时，Δ＝1－4mn>

0恒成立，

∴方程mx2－x＋n＝0有实根，是真命题.

（2）当x＝1，y＝－2时满足x>

y，但x2<

y2，故是假命题.

（3）对每一个大于2的数一定大于1，故是真命题.

1.理解2个概念

（1）命题.

（2）定理、定义.

2.掌握2种方法——判断命题的真假

（推理法）

弄清命题条件，选择正确逻辑推理.

（反例法）

通过构造反例否定命题的正确性.

一、选择题

1.下列语句中命题的个数是（　　）

①2<

1；

②x<

③若x<

2，则x<

④函数f（x）＝x2的图象是开口向上的抛物线；

⑤人类可以在火星上居住；

⑥打开窗户.

A.1B.2C.3D.4

答案　D

解析　①③④⑤是命题，②不能判断真假，不是命题，⑥是祈使句不是命题.

2.命题“素数都是奇数”写成“若p，则q”的形式为（　　）

A.若一个数是素数，则一定是奇数

B.任一个素数都是奇数

C.若一个实数是奇数，则一定是素数

D.所有的奇数都是素数

答案　A

3.给出命题：

方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　）

A.4B.2C.0D.－3

解析　方程无实数根，则Δ＝a2－4<

0，故a＝0时适合条件.

4.对语句：

“如果x>

1，那么x>

2”，下列判断正确的个数是（　　）

①不是命题；

②是命题；

③是假命题；

④是真命题

A.0B.1C.2D.3

解析　是“若p，则q”形式的命题，而且x>

1⇒x>

2，∴是假命题.

5.（多选题）下列说法不正确的是（　　）

A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”

B.语句“当a>

4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题

C.命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题

D.“x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题

答案　AB

解析　命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：

若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误；

语句“当a>

4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以选项B错误；

选项C，D正确.

二、填空题

6.下列命题：

①若xy＝1，则x，y互为倒数；

②平面内，四条边相等的四边形是正方形；

③平行四边形是梯形；

④若ac2>

bc2，则a>

b.

其中是真命题的序号是________.

答案　①④

解析　①④是真命题；

②平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形；

③平行四边形不是梯形.

7.命题“偶数的平方仍是偶数”是________命题（填“真”或“假”）.

答案　真

8.“不是矩形的四边形对角线不相等”这一命题的条件是________，结论是________.

答案　一个四边形不是矩形　对角线不相等

三、解答题

9.判断下列命题的真假：

（1）已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；

（2）若x∈N，则x3>

x2成立；

（3）若m>

1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；

（4）存在一个三角形没有外接圆.

解　

（1）假命题.反例：

1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.

（2）假命题.反例：

当x＝0时，x3>

x2不成立.

（3）真命题.∵m>

1⇒Δ＝4－4m<

0，

∴方程x2－2x＋m＝0无实数根.

（4）假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆.

10.判断下列语句是否为命题，若是，是真命题还是假命题？

①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？

②一个数的绝对值一定是非负数；

③x，y都是无理数，则x＋y是无理数；

④请完成第九题.

解　①不是命题，因为它不是陈述句；

②是命题，且是真命题；

③是命题，且是假命题，例如－＋＝0，0不是无理数；

④不是命题，因为它不是陈述句.

11.命题“集合M是集合A∪B的子集，所以M是集合