实数无理数常见形式汇编Word文档格式.docx
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求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方,其中数a叫做被开方数;
平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系
平方根(或算术平方根)的几个公式:
式子±
有意义的条件为a≥0;
表示a的算术平方根,
是非负数,即
≥0;
=a(a≥0),
=a(a≥0);
=
=a,a≥0或;
-a,a﹤0
例题:
1、使式子
有意义的x的取值范围是。
2.使等式
成立的x的值()
A、是正数B、是负数C、是0D、不能确定
3.
的平方根是( )
A.
B.
C.
D.
非负性:
A.非负数:
若a≥0,则称a为非负数,初中阶段有三种非负数:
,
B.若几个非负数的和为0,在这几个非负数均为0.
1.已知
。
2.已知实数
3.△ABC的三边长为a、b、c,a和b满足
,求c的取值范围。
立方根
如果一个数x的立方等于a,即
=a,那么就称这个数x为a的立方根或三次方根。
表示法:
a的立方根表示为
,其中a为被开方数,“
”中的3为根指数(根指数3不能省略);
读作“三次根号a”或“a的立方根”。
性质:
任意数都有立方根,任意一个数都有唯一的立方根。
正数有一个正的立方根;
负数有一个负的立方根;
0的立方根仍为0.
有关立方根的补充说明和公式
1)在
中,被开方数a可为正数,负数,0;
且
的正负与a一致
2)
=-
;
3)
=a
4)开立方运算:
求一个数a的立方根的运算叫做开立方运算。
(开立方运算与立方运算是互为逆运算的关系)
练习:
1、已知实数a满足
2.立方根等于
的数是( )
B.
C.
D.
3.设
开平方与开立方的联系与区别
在遇到开方开不尽的情况时,如无特殊说明,计算结果一律保留四位有效数字。
在实数运算中,被开方数如果是带分数,要先化为假分数,然后再进行计算
二、专题达标
一、细心填一填(每空2分,共32分)
1、–125的立方根是_____,9的算术平方根是。
的平方根是;
2、如果
,那么x=________;
如果
,那么
________.
3、要使
有意义,则x可以取的最小整数是.
4、平方根等于本身的数是________;
立方根等于本身的数是_______
5、如果
若
,则x
6、若
是实数,
,则
7、
的立方根是。
计算:
8、若
和
互为相反数,求
的为
9.式子
中的
的取值范围是
15.-
+2的相反数是__________________;
绝对值是__________________。
10、已知正数a和b,有下列命题:
(1)若
≤
(2)若
则
(3)若
,根据以上的规律猜想:
若
≤________.
16.若1<
<3,化简
+
=_________。
20.已知实数
在数轴上的位置如图所示,化简
-
的结果是_________________
二、精心选一选(每小题3分,共21分)
1、
的算术平方根是()
A、9B、–3C、
D、3
2、下列叙述正确的是()
A、0.4的平方根是
B、
的立方根不存在
C、
是36的算术平方根D、–27的立方根是–3
3、下列等式中,错误的是()
A、
D、
4、下列各数中,无理数的个数有()
A、1B、2C、3D、4
5、化简
的结果是()
C、2D、
8.下列说法正确的个数是()
①.两个无理数的和一定是无理数②.两个无理数的和一定是有理数
③.两个无理数的积一定是无理数④.两个无理数的积一定是有理数
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
三、认真答一答(共47分)
2、求下列各式中的x的值:
(8分)
①
②
3、已知
满足
,求
的平方根.(6分)
4、若
,求yx的值。
(5分)
5、代数式
的最大值为。
6、
,求a+b的值
四、实践与探究:
(12分)先计算下列各式:
=___,
=___,
=__,
=___.
根据计算结果,回答:
⑴
一定等于a吗?
你发现其中的规律了吗?
请你用自己的语言描述出来.
⑵利用你总结的规律,计算①若
②
=_____
一、专题精讲
实数可以分为有理数和无理数两类
无理数:
无限不循环小数叫做无理数。
三种常见的无理数:
1)所有开不尽的方根都是无理数,2)一些含π的数是无理数,3)无限不循环的小数
1、下面5个数:
,其中是有理数的有()
A、0个B、1个C、2个D、3个
2.在下列说法中,错误的是( )
A.无限小数都是无理数 B.实数与数轴上的点一一对应
C.无理数都是无限小数 D.带有根号的数不都是无理数
实数a的相反数为-a;
0的相反数是其本身,若a与b互为相反数,则a+b=0
实数a的倒数为
(a≠0)若a与b互为倒数,则有ab=1
实数a的绝对值表示为
,正实数的绝对值等于它本身,0的绝对值为0,负实数的绝对值是它的相反数,即
=﹛a,a≥0;
-a,a<0﹜
1.
的倒数是 ;
的绝对值是 ;
的相反数是 .
实数与数轴上的点一一对应,数轴上每一个点都表示一个实数;
反过来,每一个实数都可以用数轴上的一个点表示。
在数轴上,右边对应的实数比左边点对应的实数大;
正实数大于一切负实数,0大于一切负数,正实数大于0。
实数的运算顺序和有理数一样
1.若
()
A、0B、1C、-1D、2
实数的大小比较方法:
1)数轴比较法:
2)代数比较法;
3)差值比较法;
4)商值比较法;
5)倒数比较法:
>
,a>0,b>0,则a>b
6)平方比较法:
若a>0,b>0,
则a>b
7)开方比较法:
8)估算法。
5.实数中的非负数即性质
(1)任意实数a的绝对值是非负数,即
任意实数a的平方是非负数,即
≥0.(
≥0,n为正整数);
任意非负数a的n次算术平方根是非负数,即
≥0(a≥0),常用的是
≥0
(2)性质:
+
=0,则﹛a=0,b=0,反之亦然,若
=0,则a=0,b=0,反之亦然
=0则a=0,b=0,非负数有最小值,最小值为0,有限个非负数之和仍然是非负数。
1.若
的值等于( )
B.
C.
D.
2.已知m,n是有理数,且
,求m,n的值。
二、专题过关
(一).填空题
的算术平方根是__________。
2、
=_____________。
3、2的平方根是__________。
4、实数a,b,c在数轴上的对应点如图所示
化简
=________________。
5、若m、n互为相反数,则
=_________。
=0,则m=________,n=_________。
7、若
,则a______0。
8、
的相反数是_________。
9、
=________,
10、绝对值小于π的整数有__________________________。
(二).选择题
11、代数式
中一定是正数的有()。
A、1个B、2个C、3个D、4个
12、若
有意义,则x的取值范围是()。
A、x>
B、x≥
C、x>
D、x≥
13、若x,y都是实数,且
,则xy的值()。
A、0B、
C、2D、不能确定
14、下列说法中,错误的是()。
A、4的算术平方根是2B、
的平方根是±
3
C、8的立方根是±
2 D、立方根等于-1的实数是-1
15、64的立方根是()。
A、±
4B、4C、-4D、16
16、已知
的值是()。
A、
B、-
17、计算
A、1B、±
1C、2D、7
18、有一个数的相反数、平方根、立方根都等于它本身,这个数是()。
A、-1B、1C、0D、±
1
19、下列命题中,正确的是()。
A、无理数包括正无理数、0和负无理数B、无理数不是实数
C、无理数是带根号的数D、无理数是无限不循环小数
20、下列命题中,正确的是()。
A、两个无理数的和是无理数B、两个无理数的积是实数
C、无理数是开方开不尽的数D、两个有理数的商有可能是无理数
(三)、解答题:
21、求
的平方根和算术平方根。
22、计算
的值。
23、解方程x
-8=0。
24、若
25、计算
26、若
,求3x+y的值。
四、综合应用:
(本题共10小题,每小题2分,共20分)
27、若a、b、c满足
,求代数式
28、已知
,求7(x+y)-20的立方根。
1、实数应用题
例7.
(1)检修小组从A地出发,在东西路上检修线路.如果规定向东行驶为正,向西行驶为负,一天中行驶记录如下(单位:
km):
-4,+7,-9,+8,+6,-4,-3
(1)求收工时距A地多远?
(2)若每千米耗油0.3L,问从出发到收工共耗油多少升?
(2)小丽想用一块面积为400cm2正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积位300cm2的长方形纸片,使它的长宽之比为3:
2,不知能否裁出来,正在发愁.小明见了说“别发愁,一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”,你同意小明的说法吗?
小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?
(3)已知某商品价格逐年下降,到第四年销售价已经变成原来的80%.假设每年下降的百分比是一样的,试求该商品每年下降的百分比(已知
结果精确到0.1%).
2.技巧性实数运算
(1)
(2)
例8.计算:
(2)
(3)
3.实数规律,探索性问题
例9.
(1)观察下列数2,5,10,
26,37,50,
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