高中物理竞赛辅导实验理论Word格式.docx
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(1)绝对误差和相对误差误差按其表达形式可分为绝对误差和相对误差。
1)绝对误差:
测量值与真值之差的绝对值叫绝对误差,定义为:
绝对误差()=
绝对误差反映了测量值偏离真值的大小。
2)相对误差:
绝对误差无法表示测量质量的高低,例如在测量上海到北京的距离时,如果绝对误差是1米,测量质量已很高;
但是如果测量百米跑道时产生1米的误差,则测量质
量就不好了,为了说明测量质量的高低,我们还要引入相对误差的概念,其定义为:
相对误差(E)=绝对误差()真值(A)
相对误差常用百分数的形式来表示:
(2)系统误差和偶然误差误差按其性质及其产生的原因,又可以分为系统误差和偶
然误差两种。
1)系统误差:
系统误差的特征是带有确定的方向性,在相同的条件下,对同一量进行多次测量,误差的正负保持不变,如果测量值偏大,则总是偏大;
如果测量值偏小,则总是偏小,系统误差的来源主要有以下几个方面:
原理误差:
由于测量所依据的理论公式的近似性(不完善性)而造成的误差,例如,单摆的周期公式,它成立的条件是摆角趋近于零,否则就是一个近似公式;
又如用伏安法测电阻时,因忽略了电流表的分压作用或电压表的分流作用,测得的结果只能是近似值。
仪器误差:
由于测量仪器本身的缺陷而造成的误差,例如尺子过长或过短、秒表零点不准、天平不等臂、砝码不够标准等等。
环境误差:
由于测量时周围的环境(温度、压力、湿度等)不理想而造成的误差。
例如在20℃时定标的标准电阻在30℃的环境中使用等。
很明显,由于系统误差有固定的偏向性,所以用多次测量求平均值不能减小系统误差,但如果我们找到了某个系统误差产生的原因,就可以采取一定的方法去减小它的影响,或者对测量结果进行修正。
2)偶然误差:
偶然误差的特征是带有随机性(因此偶然误差也叫随机误差)。
在测量中,如果已经基本消除了引起系统误差的一切因素,而测量结果仍然无规则地弥散在一定的范围内,这种误差叫偶然误差。
偶然误差的可能来源是:
测量者自身感官(如听觉、视觉、触觉)的分辨能力不尽相同,外界环境的干扰等等。
偶然误差是无法控制的,但它的出现却服从一定的统计规律。
常见的一种规律是:
大于真值和小于真值的测量值了现的机会相等;
而且误差较小的测量值比误差较大的测量值出现的机会多;
偏离真值很大的测量值出现的机会趋于零。
因此,用增加测量次数求平均值的方法,可以减小偶然误差。
关于因仪器损坏,设计错误,操作不当而造成的测量错误,则不是测量误差。
(二)偶然误差
1、直接测量中偶然误差的估算所谓直接测量,就是直接用测量仪器进行测量得到结果。
(1)单次测量的误差估算在物理实验中,有时由于对测量的精度要求不高,或由于测量对象的不可重复性,对一个物理量的直接测量只进行一次,这种测量方法叫做单次测量。
单次测量结果的误差因测量工具的不同常有以下几种确定方法:
1)取测量仪器最小刻度的1/5或1/2作为测量误差,例如毫米刻度尺取0.2mm或0.5mm作为测量误差,一般温度计取0.2℃或0.5℃作为测量误差等等.
2)天平取其感量作为测量误差,例如物理天平可取0.02g,托盘天平可取0.1g作为测量误差.
3)机械秒表的最小分度一般是0.1s,但由于操纵表的人难免按之过早或过迟,因此可取0.1s或0.2s作为测量误差.手动的电子秒表尽管可以显示0.01s,但由于同样的原因也只能取0.1s或0.2s作为测量误差,0.01s位上的数字是没有实际意义的.
4)电表(电压表、电流表)的测量误差有特定的确定方法:
每个电表都有一个准确度级别(0.2级、0.5级、1级、2.5级、4级),电表的测量误差不会大于其量程和它的级别的百分阶段之一的乘积.例如有一个0.5级的电流表,量程为3A,那么其测量误差
5)电阻箱同样也用级别表示误差的大小,但电阻箱级别和电表的级别略有不同。
n级电阻箱的测量误差为其当时阻值与n%的乘积。
(2)多次测量结果和误差估算测量某一个物理量时,为了减小偶然误差,在可能的情况下,应多次重复测量。
如果在相同的条件下对某一物理量进行了n次测量,各次测量分别为,那么其平均值
)
根据误差统计误差,可证明在一组测量n次的数据中,其算术平均值最接近于真值,此算术平均值称为测量的最佳值。
当测量次数n无限增加时,最佳值将无限接近于真值。
一般就将最佳值为多次测量的结果。
严格地说,误差是测量值和真值的差,但由于真值不可能得到,而且当测量次数多时,最佳值很接近于真值,因此可以用最佳值代替真值来估算误差。
仍以上例来说明误差的估算方法。
…
(3)测量结果的表示测量结果应该包括数值、误差和单位三个部分。
通常将测量的结果写成单位。
其中是测量值,可以是一次测量值,也可以是多次测量的最佳值,是绝对误差。
为了更清楚地表示测量质量的好坏,还应同时写出其相对误差.
这里要说明两点:
①在误差运算的过程中,一般只取一到二位有效数字,最后表示绝对误差的值一般只取一位而且应该和测量最佳值的最末一位对齐,为了确保误差范围的有效性,一般是只入不舍。
②测量结果为并不表示x为两个值,而是表示x一般在这个范围之内。
2、间接测量中偶然误差的估算所谓间接测量,就是应用直接测量得到的值,经过计算得到自己所需要的结果。
例如测一块圆柱体金属的密度,可以先通过直接测量得到它的直径D、高h和质量m,然后用公式
计算出密度。
因为计算中所用的直接测量值都是有误差的,所以算出来的间接测量值当然也是有误差的。
下面就讨论在不同类型的计算中,怎样由直接测量的误差得到间接测量的误差。
设x为间接测量的量,而A、B、C…为直接测量的量,它们之间满足一定的关系,即x=f(A,B,C…).如果各直接测得量表示为
将这些量代入f(A,B,C…)中,便可以求得
其中为间接测得量的最佳值,是间接测得量的绝对误差。
(1)加法运算中的误差
若x=A+B+C+…
则
其中最佳值
绝对误差
由于A、B、C都是互相独立的,它们的绝对误差可能为正,也可能为负。
在最不利的情况下,可能出现的最大误差是。
我们规定此可能的最大误差为x的误差。
(2)减法运算中的误差
若x=A-B-C-…
则
绝对误差
按前面所讲,在最不利情况下,取
由此可见,加减运算结果的绝对误差等于各直接测得量的绝对误差之和。
(3)乘法运算中的误差
若
由于(即比或更小的小量),可以忽略不计,所以,.在最不利的情况下,取,于是相对误差为
(4)除法运算中的误差
绝对误差,在最不利的情况下,取.相对误差为
=
由此可见,乘除运算结果的相对误差等于各直接测得量的相对误差之和.这个讨论虽然是从两个因子乘除的运算中推导出来的,但可以推广到任意多个因子乘除的运算中去,如果加、减、乘、除运算中有的因子是公认的理论值或测量值,那么可以不考虑它的误差。
(5)乘方和开方运算中的误差
若。
如果n是整数就是乘方运算,如果n是分数就是开方运算。
(6)三角函数运算的误差
若
上列式中分别表示x和A的绝对误差。
限于数学工具,以上公式我们不作推导。
掌握了间接测量的误差传递公式,不但可以在实验结束后估算出实验结果可能的误差,还可以在实验前帮助我们确定实验方案和改进实验操作。
请看下面一例:
试用单摆测量某地的重力加速度,可提供的工具除了单摆之外还有米尺、秒表等,要求测得的g的相对误差小于1%。
根据单摆的周期公式
根据误差传递公式可知
因为要求,进行适当的分配,可确定操作目标为:
,摆长是用米尺测量的,一般取,因考虑到摆线可能有一定的伸缩性,取较妥(已留有相当的余地)。
因此摆长
周期是用秒表测量的,以开、停表都有0.2秒的误差计,,因此总计时
这样我们在实验中用摆长为1m左右的单摆,用秒表测出它摆动100次左右的时间,即可达到题设的要求.
如图11-1所示的比重瓶是一种有准确的固定体积的容器(瓶中装满液体,然后将塞子盖上,多余的液体会从塞子中央的细管中溢出,这
样便保持了瓶中液体一定的体积),要求用此瓶测定一种小金属粒的密度,可提供的仪器还有天平、砝码和蒸馏水。
这个实验的原理不复杂,先测了金属粒的质量,再测出装满水的比重瓶的质量最后将金属粒放进装满水的比重瓶中,测出带金属粒和水的比重瓶的质量。
这样,被金属粒排出的水的质量便是,这部分水的体积是,这也就是金属粒的体积,于是金属粒的密度便是
实验操作中一个有待决定的问题是:
金属粒是多放一些好还是少放一些好?
因为的相对误差
其中有公认值,故可以忽略。
对同一架天平来说,是确定的,不难看出,当金属粒放得比较多时,上面两式的分母都比较大,相对误差就比较小.因此尽量多放些金属粒,能减小实验结果的误差.
(三)有效数字及其运算
1、有效数字如上所述,用实验仪器直接测量的数值都含有一定的误差,因此测得的数据都只能是近似数,由这些近似数通过计算而求得的间接测量值也是近似数。
为了使间接测量结果合理些,对近似数的表示和计算都有一些规则,以便确切地表示测量和运算结果的近似性。
从仪器上读出来的数值,经常有一位数是估计出来的,或多或少存在着误差。
例如米尺的最小刻度是mm(0.001m),那么用米尺测量长度可读到十分之一毫米(0.0001m).0.001m这一位可以从米尺上读出来,是可靠的,0.001m位前面的数都是可靠数,0.0001m这一位是测量者估读出来的,估读的数字因人而异,因此是有疑问的,称为存疑数。
由于0.0001m位已存疑,在它以后各位数的估读已无必要。
我们把可靠数加上最后一位存疑数,一起记录下来,统称为有效数字。
在应用有效数字进行数据处理时应注意以下几点:
(1)自然数1,2,3,4,5,6,7,8,9如出现在测量中,均为有效数字。
“0”出现在其它数字之后或之间为有效数字,如出现在其它数字之前就不是有效数字了,它们只起定位作用。
例如0.08020,前面两个零不是有效数字,后面四个数都是有效数字,因此它有四位有效数字。
(2)读数时,必须按照仪器要求读出测量值,即使末位是“0”,也不能任意舍去。
在数学中我们认为2.10cm、2
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