版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系学案文档格式.docx
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[考点自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.( )
(2)过圆O:
x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程是x0x+y0y=r2.( )
(3)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.( )
(4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( )
(5)“m=0”是“直线x+y-m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切”的充分不必要条件.( )
答案
(1)×
(2)√ (3)×
(4)×
(5)√
2.[课本改编]直线l:
x-y+1=0与圆C:
x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是( )
A.相离B.相切
C.相交且过圆心D.相交但不过圆心
答案 D
解析 圆的方程化为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为(2,1),半径为2,圆心到直线l的距离为
=
<
2,所以直线l与圆相交.又圆心不在直线l上,所以直线不过圆心.故选D.
3.在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长为( )
A.3
B.2
C.
D.1
答案 B
解析 圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离d=
=1,因为
2=22-12=3,所以|AB|=2
.
4.[课本改编]圆x2+y2-4x=0在点P(1,
)处的切线方程为
( )
A.x+
y-2=0B.x+
y-4=0
C.x-
y+4=0D.x-
y+2=0
解析 圆的方程为(x-2)2+y2=4,圆心坐标为(2,0),半径为2,点P在圆上,由题可知切线的斜率存在,设切线方程为y-
=k(x-1),即kx-y-k+
=0,∴
=2,解得k=
.∴切线方程为y-
(x-1),即x-
y+2=0.
5.[2018·
重庆模拟]圆O1:
x2+y2-2x=0和圆O2:
x2+y2-4y=0的位置关系是( )
A.相离B.相交C.外切D.内切
解析 圆O1的圆心坐标为(1,0),半径长r1=1,圆O2的圆心坐标为(0,2),半径长r2=2,故两圆的圆心距d=
,而r2-r1=1,r1+r2=3,则有r2-r1<
d<
r1+r2,故两圆相交.
6.[2018·
温州十校联考]对任意的实数k,直线y=kx-1与圆C:
x2+y2-2x-2=0的位置关系是( )
C.相交D.以上三个选项均有可能
答案 C
解析 直线y=kx-1恒经过点A(0,-1),圆x2+y2-2x-2=0的圆心为C(1,0),半径为
,而|AC|=
,点A在圆内,故直线y=kx-1与圆x2+y2-2x-2=0相交.故选C.
板块二 典例探究·
考向突破
考向
直线与圆的位置关系
例1 [2018·
豫南九校联考]直线l:
mx-y+1-m=0与圆C:
x2+(y-1)2=5的位置关系是( )
A.相交B.相切C.相离D.不确定
答案 A
解析 解法一:
由
消去y,整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0,
则Δ=4m4-4(1+m2)(m2-5)=16m2+20>
0,
所以直线l与圆C相交.故选A.
解法二:
因为圆心(0,1)到直线l的距离d=
1<
,故直线l与圆相交.选A.
解法三:
直线l:
mx-y+1-m=0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆C:
x2+(y-1)2=5的内部,所以直线l与圆C相交.故选A.
触类旁通
判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法
(1)代数法:
(2)几何法:
利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:
r⇔相交,d=r⇔相切,d>
r⇔相离.
【变式训练1】 [2018·
深圳模拟]已知点M(a,b)在圆O:
x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是( )
A.相切B.相交C.相离D.不确定
解析 因为M(a,b)在圆O:
x2+y2=1外,所以a2+b2>
1,而圆心O到直线ax+by=1的距离d=
1.故选B.
直线与圆的综合问题
命题角度1 圆的切线问题
例2 已知点P(
+1,2-
),点M(3,1),圆C:
(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)求过点P的圆C的切线方程;
(2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.
解 由题意得圆心C(1,2),半径r=2.
(1)因为(
+1-1)2+(2-
-2)2=4,
所以点P在圆C上.
又kPC=
=-1,
所以切线的斜率k=-
=1.
所以过点P的圆C的切线方程是y-(2-
)=1×
[x-(
+1)],即x-y+1-2
=0.
(2)因为(3-1)2+(1-2)2=5>
4,所以点M在圆C外部.当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0.
又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,
即此时满足题意,所以直线x=3是圆的切线.
当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,则圆心C到切线的距离d=
=r=2,解得k=
所以切线方程为y-1=
(x-3),即3x-4y-5=0.
综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0.
因为|MC|=
,所以过点M的圆C的切线长为
圆的切线有关的结论
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(3)过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则过A、B两点的直线方程为x0x+y0y=r2.
(4)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>
0)外一点P(x0,y0)引圆的切线,切点为T,则切线长为|PT|=
(5)过圆C:
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>
0)外一点P(x0,y0)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(6)若圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>
0),则过圆外一点P(x0,y0)的切线长
d=
【变式训练2】 [2015·
广东高考]平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0
B.2x+y+
=0或2x+y-
=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+
=0或2x-y-
解析 设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m≠1),因为直线2x+y+m=0与圆x2+y2=5相切,即点(0,0)到直线2x+y+m=0的距离为
,所以
,|m|=5.故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.
命题角度2 圆的弦长问题
例3 过点(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B两点,若|AB|=8,则直线l的方程为( )
A.5x+12y+20=0
B.5x+12y+20=0或x+4=0
C.5x-12y+20=0
D.5x-12y+20=0或x+4=0
解析 圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=25,
由|AB|=8知,圆心(-1,2)到直线l的距离d=3.
当直线l的斜率不存在,即直线l的方程为x=-4时,符合题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0.
则有
=3,∴k=-
此时直线l的方程为5x+12y+20=0.
命题角度3 圆中的最值问题
斜率型最值
例4 已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则
的最大值为________,最小值为________.
答案
-
解析 原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,
为半径的圆.
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设
=k,即y=kx.
当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值(如图),此时
,解得k=±
所以
的最大值为
,最小值为-
截距型最值
例5 [2018·
郑州模拟]已知实数x,y满足x2+y2=4(y≥0),则m=
x+y的取值范围是( )
A.(-2
,4)B.[-2
,4]
C.[-4,4]D.[-4,2
]
解析 由于y≥0,所以x2+y2=4(y≥0)为上半圆.
x+y-m=0是直线(如图),且斜率为-
,在y轴上截距为m,又当直线过点(-2,0)时,m=-2
,
即
解得m∈[-2
,4],选B.
直线与圆综合问题的解题策略
(1)用几何法求圆的弦长:
设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为l,则
2=r2-d2.
(2)求过一点的圆的切线方程时,首先要判断此点与圆的位置关系,若点在圆内,无解;
若点在圆上,有一解;
若点在圆外,有两解.
(3)对于圆的最值问题,一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式,然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等,应用不等式的性质求出最值.
【变式训练3】 [2015·
江苏高考]在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________.
答案 (x-1)2+y2=2
设A(1,0),由mx-y-2m-1=0,得m(x-2)-(y+1)=0,则直线过定点P(2,-1),即该方程表示所有过定点P的直线系方程.
当直线与AP垂直时,所求圆的半径最大.
此时,半径为|AP|=
故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.
设圆的半径为r,根据直线与圆相切的关系得r=
当m<
0时,1+
1,故1+
无最大值;
当m=0时,r=1;
当m>
0时,m2+1≥2m(当且仅当m=1时取等号).
所以r≤
,即rmax=
故半径最大的圆的方程为(x-1)2+y
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