湖南省各地市中考《二次函数》压轴题解析版.doc
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2018年湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精编(解析版)
(地市排序不分先后)
一.解答题(共13小题)
1.(长沙市)我们不妨约定:
对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”.
(1)①在“平行四边形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“十字形”的有 ;
②在凸四边形ABCD中,AB=AD且CB≠CD,则该四边形 “十字形”.(填“是”或“不是”)
(2)如图1,A,B,C,D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点,AC与BD交于点E,∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD,当6≤AC2+BD2≤7时,求OE的取值范围;
(3)如图2,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a>0,c<0)与x轴交于A,C两点(点A在点C的左侧),B是抛物线与y轴的交点,点D的坐标为(0,﹣ac),记“十字形”ABCD的面积为S,记△AOB,△COD,△AOD,△BOC的面积分别为S1,S2,S3,S4.求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式;
①;②;③“十字形”ABCD的周长为12.
2.(常德市)如图,已知二次函数的图象过点O(0,0).A(8,4),与x轴交于另一点B,且对称轴是直线x=3.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)若M是OB上的一点,作MN∥AB交OA于N,当△ANM面积最大时,求M的坐标;
(3)P是x轴上的点,过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q.过A作AC⊥x轴于C,当以O,P,Q为顶点的三角形与以O,A,C为顶点的三角形相似时,求P点的坐标.
3.(株洲市)如图,已知二次函数y=ax2﹣5x+c(a>0)的图象抛物线与x轴相交于不同的两点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2,
(1)若抛物线的对称轴为x=求的a值;
(2)若a=15,求c的取值范围;
(3)若该抛物线与y轴相交于点D,连接BD,且∠OBD=60°,抛物线的对称轴l与x轴相交点E,点F是直线l上的一点,点F的纵坐标为3+,连接AF,满足∠ADB=∠AFE,求该二次函数的解析式.
4.(永州市)如图1,抛物线的顶点A的坐标为(1,4),抛物线与x轴相交于B、C两点,与y轴交于点E(0,3).
(1)求抛物线的表达式;
(2)已知点F(0,﹣3),在抛物线的对称轴上是否存在一点G,使得EG+FG最小,如果存在,求出点G的坐标;如果不存在,请说明理由.
(3)如图2,连接AB,若点P是线段OE上的一动点,过点P作线段AB的垂线,分别与线段AB、抛物线相交于点M、N(点M、N都在抛物线对称轴的右侧),当MN最大时,求△PON的面积.
5.(岳阳市)已知抛物线F:
y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O,且与x轴另一交点为(﹣,0).
(1)求抛物线F的解析式;
(2)如图1,直线l:
y=x+m(m>0)与抛物线F相交于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)(点A在第二象限),求y2﹣y1的值(用含m的式子表示);
(3)在
(2)中,若m=,设点A′是点A关于原点O的对称点,如图2.
①判断△AA′B的形状,并说明理由;
②平面内是否存在点P,使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
6.(郴州市)如图1,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t.
(1)求抛物线的表达式;
(2)设抛物线的对称轴为l,l与x轴的交点为D.在直线l上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图2,连接BC,PB,PC,设△PBC的面积为S.
①求S关于t的函数表达式;
②求P点到直线BC的距离的最大值,并求出此时点P的坐标.
7.(湘潭市)如图,点P为抛物线y=x2上一动点.
(1)若抛物线y=x2是由抛物线y=(x+2)2﹣1通过图象平移得到的,请写出平移的过程;
(2)若直线l经过y轴上一点N,且平行于x轴,点N的坐标为(0,﹣1),过点P作PM⊥l于M.
①问题探究:
如图一,在对称轴上是否存在一定点F,使得PM=PF恒成立?
若存在,求出点F的坐标:
若不存在,请说明理由.
②问题解决:
如图二,若点Q的坐标为(1,5),求QP+PF的最小值.
8.(张家界市)如图,已知二次函数y=ax2+1(a≠0,a为实数)的图象过点A(﹣2,2),一次函数y=kx+b(k≠0,k,b为实数)的图象l经过点B(0,2).
(1)求a值并写出二次函数表达式;
(2)求b值;
(3)设直线l与二次函数图象交于M,N两点,过M作MC垂直x轴于点C,试证明:
MB=MC;
(4)在(3)的条件下,请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系,并说明理由.
9.(邵阳市)如图所示,将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折,然后向右平移1个单位,再向上平移4个单位,得到二次函数y=ax2+bx+c的图象.函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A.函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B,和x轴的交点为点C,D(点D位于点C的左侧).
(1)求函数y=ax2+bx+c的解析式;
(2)从点A,C,D三个点中任取两个点和点B构造三角形,求构造的三角形是等腰三角形的概率;
(3)若点M是线段BC上的动点,点N是△ABC三边上的动点,是否存在以AM为斜边的Rt△AMN,使△AMN的面积为△ABC面积的?
若存在,求tan∠MAN的值;若不存在,请说明理由.
10.(怀化市)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于
A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式;
(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标;
(3)试探究:
在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
11.(湘西州)如图1,经过原点O的抛物线y=ax2+bx(a、b为常数,a≠0)与x轴相交于另一点A(3,0).直线l:
y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B(5,t),与抛物线的对称轴相交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴上找一点P,使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似,求满足条件的点P的坐标;
(3)直线l沿着x轴向右平移得到直线l′,l′与线段OA相交于点M,与x轴下方的抛物线相交于点N,过点N作NE⊥x轴于点E.把△MEN沿直线l′折叠,当点E恰好落在抛物线上时(图2),求直线l′的解析式;
(4)在(3)问的条件下(图3),直线l′与y轴相交于点K,把△MOK绕点O顺时针旋转90°得到△M′OK′,点F为直线l′上的动点.当△M'FK′为等腰三角形时,求满足条件的点F的坐标.
12.(衡阳市)如图,已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D.
(1)若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.
①求点M、N的坐标;
②是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?
并说明理由;
(2)当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似?
若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.
13.(娄底市)如图,抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3),D是抛物线的顶点,E是线段AB的中点.
(1)求抛物线的解析式,并写出D点的坐标;
(2)F(x,y)是抛物线上的动点:
①当x>1,y>0时,求△BDF的面积的最大值;
②当∠AEF=∠DBE时,求点F的坐标.
2018年湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精析
一.解答题(共13小题)
1.(长沙市)我们不妨约定:
对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”.
(1)①在“平行四边形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“十字形”的有 菱形,正方形 ;
②在凸四边形ABCD中,AB=AD且CB≠CD,则该四边形 不是 “十字形”.(填“是”或“不是”)
(2)如图1,A,B,C,D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点,AC与BD交于点E,∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD,当6≤AC2+BD2≤7时,求OE的取值范围;
(3)如图2,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a>0,c<0)与x轴交于A,C两点(点A在点C的左侧),B是抛物线与y轴的交点,点D的坐标为(0,﹣ac),记“十字形”ABCD的面积为S,记△AOB,△COD,△AOD,△BOC的面积分别为S1,S2,S3,S4.求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式;
①;②;③“十字形”ABCD的周长为12.
【学会思考】
(1)利用“十字形”的定义判断即可;
(2)先判断出∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB,进而判断出∠AED=∠AEB=90°,即:
AC⊥BD,再判断出四边形OMEN是矩形,进而得出OE2=2﹣(AC2+BD2),即可得出结论;
(3)由题意得,A(,0),B(0,c),C(,0),D(0,﹣ac),求出S=AC•BD=﹣(ac+c)×,S1=OA•OB=﹣,S2=OC•OD=﹣,S3=OA×OD=﹣,
S4=OB×OC=﹣,进而建立方程
+=+,求出a=1,再求出b=0,进而判断出四边形ABCD是菱形,求出AD=3,进而求出c=﹣9,即可得出结论.
【解】:
(1)①∵菱形,正方形的对角线互相垂直,
∴菱形,正方形是:
“十字形”,
∵平行四边形,矩形的对角线不一定垂直,
∴平行四边形,矩形不是“十字形”,
故答案为:
菱形,正方形;
②如图,
当CB=CD时,在△ABC和△ADC中,,
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BAC=∠DAC,
∵AB=AD,
∴AC⊥BD,
∴当CB≠CD时,四边形ABCD不是“十字形”,
故答案为:
不是;
(2)∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB,∠CBD=∠CDB=∠CAB,
∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB,
∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB,
∴∠AED=∠AEB=90°,
∴AC⊥BD,
过点O作OM⊥AC于M,ON⊥BD于N,连接OA,OD,
∴OA=OD=1,OM2=OA2﹣AM2,ON2=OD2﹣DN2,AM=AC,DN=BD,四边形OMEN是矩形,
∴ON=ME,OE2=OM2+ME2,
∴OE2=OM2+ON2=2﹣(AC2+BD2),
∵6≤AC2+BD2≤7,
∴2﹣≤OE2≤2﹣,
∴≤OE2≤,
∴(OE>0);
(3)由题意得,A(,0),B(0,c),C(,0),D(0,﹣ac),
∵a>0,c<0,
∴OA=,OB=﹣c,OC=,OD=﹣ac,AC=,BD=﹣ac﹣c,
∴S=AC•BD=﹣(ac+c)×,S1=OA•OB=﹣,S2=OC•OD=﹣,
S3=OA×OD=﹣,S4=OB×OC=﹣,
∵,,
∴+=+,
∴=2,
∴a=1,
∴S=﹣c,S1=﹣,S4=﹣,
∵,
∴S=S1+S2+2,
∴﹣c=﹣+2,
∴﹣=﹣c•,
∴=,
∴b=0,
∴A(﹣,0),B(0,c),C(,0),d(0,﹣c),
∴四边形ABCD是菱形,
∴4AD=12,
∴AD=3,
即:
AD2=90,
∵AD2=c2﹣c,
∴c2﹣c=90,
∴
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