版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形34函数yAsinωx+φ的图象及应用Word文档下载推荐.docx
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)
(2)y=sin
的图象是由y=sin
的图象向右平移
个单位得到的.( √ )
(3)由图象求解析式时,振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的.( √ )
(4)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期.( ×
(5)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为
.( √ )
1.y=2sin
的振幅、频率和初相分别为( )
A.2,
,-
B.2,
C.2,
D.2,
答案 A
2.(2015·
山东)要得到函数y=sin
的图象,只需将函数y=sin4x的图象( )
A.向左平移
个单位B.向右平移
个单位
C.向左平移
个单位D.向右平移
个单位
答案 B
解析 ∵y=sin
=sin
,
∴要得到函数y=sin
的图象,只需将函数y=sin4x的图象向右平移
个单位.
3.(2015·
湖南)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ
个单位后得到函数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=
,则φ等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 因为g(x)=sin2(x-φ)=sin(2x-2φ),
所以|f(x1)-g(x2)|=|sin2x1-sin(2x2-2φ)|=2.
因为-1≤sin2x1≤1,-1≤sin(2x2-2φ)≤1,
所以sin2x1和sin(2x2-2φ)的值中,一个为1,另一个为-1,不妨取sin2x1=1,sin(2x2-2φ)=-1,则2x1=2k1π+
,k1∈Z,2x2-2φ=2k2π-
,k2∈Z,2x1-2x2+2φ=2(k1-k2)π+π,(k1-k2)∈Z,
得|x1-x2|=
.
因为0<
φ<
,所以0<
-φ<
故当k1-k2=0时,|x1-x2|min=
-φ=
则φ=
,故选D.
4.(教材改编)如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b,则这段曲线的函数解析式为__________________.
答案 y=10sin
+20,x∈[6,14]
解析 从图中可以看出,从6~14时的是函数
y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期,
所以A=
×
(30-10)=10,
b=
(30+10)=20,
又
=14-6,
所以ω=
10+φ=2π,解得φ=
所以y=10sin
+20,x∈[6,14].
5.已知函数f(x)=2sin(ωx+θ)(ω>
0)的图象如图所示,则ω=________,若将函数f(x)的图象向左平移φ
个单位后得到一个偶函数,则φ=________.
答案 2
解析 设函数f(x)的最小正周期为T,则
-
,得T=π,则
=π,解得ω=2.函数f(x)过点
,代入得2sin
=-2,则-
+θ=2kπ-
(k∈Z),解得θ=2kπ-
(k∈Z).故f(x)=2sin
=2sin
.将其图象向左平移φ
个单位后,得到函数y=2sin
的图象,∵其是偶函数,∴2φ-
=kπ+
(k∈Z),解得φ=
+
(k∈Z).又0<
,∴φ=
题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
例1 已知函数y=2sin
(1)求它的振幅、周期、初相;
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;
(3)说明y=2sin
的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.
解
(1)y=2sin
的振幅A=2,
周期T=
=π,初相φ=
(2)令X=2x+
,则y=2sin
=2sinX.
列表如下:
X
y=sinX
1
-1
y=2sin
2
-2
描点画出图象,如图所示:
(3)方法一 把y=sinx的图象上所有的点向左平移
个单位长度,得到y=sin
的图象;
再把y=sin
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍(纵坐标不变),得到y=sin
最后把y=sin
上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin
的图象.
方法二 将y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的
倍(纵坐标不变),得到y=sin2x的图象;
再将y=sin2x的图象向左平移
再将y=sin
的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),即得到y=2sin
思维升华
(1)五点法作简图:
用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,
,π,
π,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.
(2)图象变换:
由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要途径:
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
(1)把函数y=sin(x+
)图象上各点的横坐标缩短到原来的
(纵坐标不变),再将图象向右平移
个单位长度,那么所得图象的一条对称轴方程为( )
A.x=-
B.x=-
C.x=
D.x=
(2)设函数f(x)=cosωx(ω>
0),将y=f(x)的图象向右平移
个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于( )
B.3C.6D.9
答案
(1)A
(2)C
解析
(1)将y=sin(x+
(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+
);
再将图象向右平移
个单位长度,得到函数y=sin[2(x-
)+
]=sin(2x-
),故x=-
是其图象的一条对称轴方程.
(2)由题意可知,nT=
(n∈N*),
∴n·
∴ω=6n(n∈N*),∴当n=1时,ω取得最小值6.
题型二 由图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式
例2
(1)将函数f(x)=sin(2x+θ)
的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点P
,则φ的值可以是( )
A.
B.
(2)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为__________.
答案
(1)B
(2)f(x)=
sin(2x+
)
解析
(1)∵P
在f(x)的图象上,
∴f(0)=sinθ=
∵θ∈
∴θ=
∴f(x)=sin
∴g(x)=sin
∵g(0)=
∴sin
验证φ=
π时,
sin
成立.
(2)由题图可知A=
所以T=π,故ω=2,
因此f(x)=
sin(2x+φ),
为最小值点,
∴2×
π+φ=2kπ+
,k∈Z,
∴φ=2kπ+
又|φ|<π,
∴φ=
故f(x)=
).
思维升华 确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的步骤和方法:
(1)求A,b,确定函数的最大值M和最小值m,
则A=
,b=
(2)求ω,确定函数的最小正周期T,则可得ω=
(3)求φ,常用的方法有:
①代入法:
把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
②特殊点法:
确定φ值时,往往以寻找“最值点”为突破口.具体如下:
“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx+φ=
;
“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx+φ=
函数f(x)=2sin(ωx+φ)
的部分图象如图所示,则φ=________.
答案 -
解析 ∵
π-
π,
∴T=π.
又T=
(ω>0),
∴
=π,
∴ω=2.
由五点作图法可知当x=
ωx+φ=
即2×
π+φ=
∴φ=-
题型三 三角函数图象性质的应用
命题点1 三角函数模型的应用
例3 如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置P(x,y).若初始位置为P0
,当秒针从P0(注:
此时t=0)正常开始走时,那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
答案 C
解析 由题意可得,函数的初相位是
,排除B、D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转,即T=
=60,所以|ω|=
,即ω=-
命题点2 方程根(函数零点问题)
例4 已知关于x的方程2sin2x-
sin2x+m-1=0在
上有两个不同的实数根,则m的取值范围是________.
答案 (-2,-1)
解析 方程2sin2x-
sin2x+m-1=0可转化为
m=1-2sin2x+
sin2x
=cos2x+
,x∈
设2x+
=t,则t∈
∴题目条件可转化为
=sint,t∈
,有两个不同的实数根.
∴y=
和y=sint,t∈
的图象有两个不同交点,如图:
由图象观察知,
的范围为(-1,-
),
故m的取值范围是(-2,-1).
引申探究
例4中,“有两个不同的实数根”改成“有实根”,则m的取值范围是__________.
答案 [-2,1)
解析 由例4知,
的范围是
,∴-2≤m<
1,
∴m的取值范围是[-2,1).
命题点3 图象性质综合应用
例5 已知函数f(x)=
sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
(1)求f
的值;
(2)求函数y=f(x)+f
的最大值及对应的x的值.
解
(1)f(x)=
sin(ωx+φ)-co
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