初三数学一对一第讲二次函数存在性问题和最值问题Word文件下载.docx
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1、课程导入
二、基础知识梳理整合
1.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°
,得到线段OB.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;
(3)在
(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?
若存在,求出点C的坐标;
若不存在,请说明理由.
(4)如果点P是
(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?
若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;
若没有,请说明理由.
2.已知:
Rt△ABC的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中,使其斜边AB与x轴重合(其中OA<OB),直角顶点C落在y轴正半轴上(如图1).
(1)求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式.
(2)如图2,点D的坐标为(2,0),点P(m,n)是该抛物线上的一个动点(其中m>0,n>0),连接DP交BC于点E.
①当△BDE是等腰三角形时,直接写出此时点E的坐标.
②又连接CD、CP(如图3),△CDP是否有最大面积?
若有,求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标;
3.如图,已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为(-1,0).
(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;
(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在点P,与A、B、C三点构成一个平行四边形?
若存在,请写出点P的坐标;
若不存在,请说明理由;
(3)连结CA与抛物线的对称轴交于点D,在抛物线上是否存在点M,使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分?
若存在,请求出直线CM的解析式;
4.在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(-1,0),如图所示;
抛物线y=ax2+ax-2经过点B.
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),
使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?
若存在,求所有点P的坐标;
解:
(1)过点B作BD⊥x轴于D.
5.如图,在平面直角坐标中,二次函数图象的顶点坐标为C(4,-),且在x轴上截得的线段AB的长为6.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P在y轴上,且使得△PAC的周长最小,求:
①点P的坐标;
②△PAC的周长和面积;
(3)在x轴上方的抛物线上,是否存在点Q,使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似?
如果存在,求出点Q的坐标;
如果不存在,请说明理由.
答案:
(1)如图1,过点B作BM⊥x轴于M.
由旋转性质知OB=OA=2.∵∠AOB=120°
,∴∠BOM=60°
.
∴OM=OB·
cos60°
=2×
=1,BM=OB·
sin60°
=.
∴点B的坐标为(1,).
(2)设经过A、O、B三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
∵抛物线过原点,∴c=0.∴解得
∴所求抛物线的解析式为y=x2+x.
(3)存在.
如图2,连接AB,交抛物线的对称轴于点C,连接OC.
∵OB的长为定值,∴要使△BOC的周长最小,必须BC+OC的长最小.
∵点A与点O关于抛物线的对称轴对称,∴OC=AC.
∴BC+OC=BC+AC=AB.
由“两点之间,线段最短”的原理可知:
此时BC+OC最小,点C的位置即为所求.
设直线AB的解析式为y=kx+m,将A(-2,0),B(1,)代入,得
解得
∴直线AB的解析式为y=x+.
抛物线的对称轴为直线x==-1,即x=-1.
将x=-1代入直线AB的解析式,得y=×
(-1)+=.
∴点C的坐标为(-1,).
(4)△PAB有最大面积.
如图3,过点P作y轴的平行线交AB于点D.
∵S△PAB=S△PAD+S△PBD=(yD-yP)(xB-xA)
=[(x+)-(x2+x)](1+2)
=-x2-x+=-(x+)2+
∴当x=-时,△PAB的面积有最大值,最大值为.
此时yP=×
(-)2+×
(-)=-.
∴此时P点的坐标为(-,-).
(1)由题意知Rt△△AOC∽Rt△COB,∴=.
∴OC2=OA·
OB=OA(AB-OA),即22=OA(5-OA).
∴OA2-5OA+4=0,∵OA<OB,∴OA=1,OB=4.
∴A(-1,0),B(4,0),C(0,2).
∴可设所求抛物线的关系式为y=a(x+1)(x-4).
将点C(0,2)代入,得2=a(0+1)(0-4),∴a=-.
∴经过点A、B、C的抛物线的关系式为y=-(x+1)(x-4).
即y=-x2+x+2.
(2)①E1(3,),E2(,),E3(,).
设直线BC的解析式为y=kx+b.则解得
∴直线BC的解析式为y=-x+2.
∵点E在直线BC上,∴E(x,-x+2).
若ED=EB,过点E作EH⊥x轴于H,如图2,则DH=DB=1.
∴OH=OD+DH=2+1=3.
∴点E的横坐标为3,代入直线BC的解析式,
得y=-×
3+2=.∴E1(3,).
若DE=DB,则(x-2)2+(-x+2)2=22.
整理得5x2-24x+16=0,解得x1=4(舍去),x2=.
∴y=-×
+2=,∴E2(,).
若BE=BD,则(x-4)2+(-x+2)2=22.
整理得5x2-24x+16=0,解得x1=(此时点P在第四象限,舍去),x2=.
()+2=,∴E3(,).
②△CDP有最大面积.
过点D作x轴的垂线,交PC于点M,如图3.
设直线PC的解析式为y=px+q,将C(0,2),P(m,n)代入,
得解得
∴直线PC的解析式为y=x+2,∴M(2,+2).
S△CDP=S△CDM+S△PDM=xP·
yM=m(+2)
=m+n-2=m+(-m2+m+2)-2=-m2+m
=-(m-)2+
∴当m=时,△CDP有最大面积,最大面积为.
此时n=-×
()2+×
+2=∴此时点P的坐标为(,).
(1)对称轴为直线x=-=-2,即x=-2;
令y=0,得x2+4x+3=0,解得x1=-1,x2=-3.
∵点B的坐标为(-1,0),∴点A的坐标为(-3,0).
(2)存在,点P的坐标为(-2,3),(2,3)和(-4,-3).
(3)存在.当x=0时,y=x2+4x+3=3,∴点C的坐标为(0,3).
AO=3,EO=2,AE=1,CO=3.
∵DE∥CO,∴△AED∽△AOC.∴=,即=.∴DE=1.
∵DE∥CO,且DE≠CO,∴四边形DEOC为梯形.
S梯形DEOC=(1+3)×
2=4.
设直线CM交x轴于点F,如图.
若直线CM把梯形DEOC分成面积相等的两部分,则S△COF=2
即CO·
FO=2.∴×
3FO=2,∴FO=.∴点F的坐标为(-,0).
∵直线CM经过点C(0,3),∴设直线CM的解析式为y=kx+3.
把F(-,0)代入,得-k+3=0.∴k=.
∴直线CM的解析式为y=x+3.
∵∠BCD+∠ACO=90°
,∠ACO+∠CAO=90°
∴∠BCD=∠CAO.
又∵∠BDC=∠COA=90°
,BC=CA.
∴Rt△BCD≌Rt△CAO,∴BD=CO=1,CD=AO=2.
∴点B的坐标为(-3,1);
(2)把B(-3,1)代入y=ax2+ax-2,得1=9a-3a-2,解得a=.
∴抛物线的解析式为y=x2+x-2;
①延长BC至点P1,使CP1=BC,则得到以点C为直角顶点的等腰直角三角形△ACP1.
过点P1作P1M⊥x轴.
∵CP1=BC,∠P1CM=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°
.∴Rt△P1CM≌Rt△BCD,
∴CM=CD=2,P1M=BD=1,可求得点P1(1,-1);
把x=1代入y=x2+x-2,得y=-1.∴点P1(1,-1)在抛物线上.
②过点A作AP2⊥AC,且使AP2=AC,则得到以点A为直角顶点等腰直角三角形△ACP2.
过点P2作P2N⊥y轴,同理可证Rt△P2NA≌Rt△AOC.
P2N=AO=2,AN=CO=1.可求得点P2(2,1).
把x=2代入y=x2+x-2,得y=1.
∴点P2(2,1)在抛物线上.
综上所述,在抛物线上还存在点P1(1,-1)和P2(2,1),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形.
(1)设二次函数的解析式为y=a(x-4)2-(a≠
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