广西专用中考数学一轮新优化复习第一部分教材同步复习第六章圆第25讲与圆有关的位置关系真题精选Word文件下载.docx
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∵AD是⊙O的直径,
∴∠AMD=90°
.
∵∠BMC=180°
,
∴∠2+∠3=90°
∵∠ABM=∠MCD=90°
∴∠2+∠1=90°
,∴∠1=∠3,
∴△ABM∽△MCD.
(2)解:
如答图,连接OM.
∵BC是⊙O的切线,∴OM⊥BC.又∵AB⊥BC,
∴sin∠E==,∴=.
∵AD=8,AB=5,
∴=,∴OE=16,
∴ME===4.
5.(2018·
玉林23题9分)如图,在△ABC中,以AB为直径作⊙O交BC于点D,∠DAC=∠B.
AC是⊙O的切线;
(2)点E是AB上一点,若∠BCE=∠B,tan∠B=,⊙O的半径是4,求EC的长.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°
,∴∠B+∠BAD=90°
∵∠DAC=∠B,∴∠DAC+∠BAD=90°
∴∠BAC=90°
,∴BA⊥AC,∴AC是⊙O的切线.
∵∠BCE=∠B,
∴EC=EB,设EC=EB=x,
在Rt△ABC中,∵tan∠B==,AB=8,∴AC=4.
在Rt△AEC中,∵EC2=AE2+AC2,
∴x2=(8-x)2+42,解得x=5,∴CE=5.
6.(2018·
河池25题10分)如图,⊙O的直径为AB,点C在⊙O上,点D,E分别在AB,AC的延长线上,DE⊥AE,垂足为E,∠A=∠CDE.
CD是⊙O的切线;
(2)若AB=4,BD=3,求CD的长.
连接OC,
∵DE⊥AE,∴∠E=90°
,∴∠DCE+∠CDE=90°
又∵OA=OC,∴∠A=∠ACO.
∵∠A=∠CDE,∴∠ACO=∠CDE,
∴∠DCE+∠ACO=90°
∴∠OCD=90°
,即OC⊥CD.
∵OC是⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线.
由
(1)可得OC⊥CD,∵AB=4,BD=3,
∴OC=OB=AB=2,OD=OB+BD=5,
在Rt△OCD中,根据勾股定理得,
CD===.
7.(2018·
贵港24题8分)如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,且AB=BC=CD,AB∥CD,连接BD.
BD是⊙O的切线;
(2)若AB=10,cos∠BAC=,求BD的长及⊙O的半径.
如答图1,作直径BE,交⊙O于E,连接EC,OC,则∠BCE=90°
,∴∠OCE+∠OCB=90°
∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABDC是平行四边形,∴∠A=∠D.
∵OE=OC,∴∠E=∠OCE.
∵BC=CD,∴∠CBD=∠D.
∵∠A=∠E,∴∠CBD=∠D=∠A=∠OCE.
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OBC+∠CBD=90°
,即∠EBD=90°
∴BD是⊙O的切线.
第7题答图
如答图2,∵cos∠BAC=cos∠E==,
∴设EC=3x,EB=5x,则BC=4x,
∵AB=BC=10=4x,x=,
∴EB=5x=,∴⊙O的半径为.
过C作CG⊥BD于G,
∵BC=CD=10,∴BG=DG,
在Rt△CGD中,cos∠D=cos∠BAC==,
∴=,∴DG=6,∴BD=12.
8.(2018·
贺州25题10分)如图,AB是⊙O的弦,过AB的中点E作EC⊥OA,垂足为C,过点B作直线BD交CE的延长线于点D,使得DB=DE.
(2)若AB=12,DB=5,求△AOB的面积.
∵OA=OB,DB=DE,
∴∠A=∠OBA,∠DEB=∠DBE.
∵EC⊥OA,∠DEB=∠AEC,
∴∠A+∠DEB=90°
,∴∠OBA+∠DBE=90°
∴∠OBD=90°
,∴OB⊥BD.
∵OB是⊙O的半径,∴BD是⊙O的切线.
如答图,过点D作DF⊥AB于点F,连接OE.
∵点E是AB的中点,AB=12,
∴AE=EB=6,OE⊥AB.
又∵DE=DB,DF⊥BE,DB=5,
∴EF=BF=3,
∴DF===4.
∵∠AEC=∠DEF,∴∠A=∠EDF.
∵OE⊥AB,DF⊥AB,∴∠AEO=∠DFE=90°
∴△AEO∽△DFE,∴=,
即=,解得EO=,
∴S△AOB=AB·
EO=×
12×
=27.
9.(2017·
河池25题10分)如图,AB为⊙O的直径,CB,CD分别切⊙O于点B,D,CD交BA的延长线于点E,CO的延长线交⊙O于点G,EF⊥OG于点F.
∠FEB=∠ECF;
(2)若BC=6,DE=4,求EF的长.
∵CB,CD分别切⊙O于点B,D,
∴OC平分∠BCE,即∠ECO=∠BCO,OB⊥BC,
∴∠BCO+∠COB=90°
∵EF⊥OG,∴∠FEB+∠FOE=90°
,而∠COB=∠FOE,∴∠FEB=∠ECF.
连接OD,如答图.
∵CB,CD分别切⊙O于点B,D,∴CD=CB=6,OD⊥CE,
CE=CD+DE=6+4=10.
在Rt△BCE中,BE==8.
设⊙O的半径为r,则OD=OB=r,OE=8-r.
在Rt△ODE中,r2+42=(8-r)2,解得r=3,
∴OE=8-3=5,
∴在Rt△OBC中,OC==3.
∵∠COB=∠FOE,∴△OEF∽△OCB,
∴=,即=,∴EF=2.
10.(2017·
百色25题10分)已知△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,AC分别相切于点D,E,F,若=,如图1.
第10题图
(1)判断△ABC的形状,并证明你的结论;
(2)设AE与DF相交于点M,如图2,AF=2FC=4,求AM的长.
解:
(1)△ABC为等腰三角形.
证明:
∵△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,AC分别相切于点D,E,F,
∴∠CFO=∠CEO=∠BDO=∠BEO=90°
∵四边形内角和为360°
∴∠EOF+∠C=180°
,∠DOE+∠B=180°
∵=,
∴∠EOF=∠DOE.
∴∠B=∠C,∴AB=AC,
∴△ABC为等腰三角形.
(2)连接OB,OC,OD,OF,如答图.
∵等腰△ABC中,AE⊥BC,
∴BE=CE.
在Rt△AOF和Rt△AOD中,
∴Rt△AOF≌Rt△AOD(HL),∴AF=AD,
同理Rt△COF≌Rt△COE,CF=CE=2,
同理Rt△BOD≌Rt△BOE,BD=BE,
∴AD=AF,BD=CF,∴DF∥BC,∴=.
∵AE==4,
∴AM=4×
=.
11.(2018·
柳州25题10分)如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D.
△DAC∽△DBA;
(2)过点C作⊙O的切线CE交AD于点E,求证:
CE=AD;
(3)若点F为直径AB下方半圆的中点,连接CF交AB于点G,且AD=6,AB=3,求CG的长.
∴∠ACD=∠ACB=90°
∵AD是⊙O的切线,∴∠BAD=90°
∴∠ACD=∠DAB=90°
∵∠CDA=∠ADB,∴△DAC∽△DBA.
(2)证明:
∵EA,EC是⊙O的切线,
∴AE=CE,∴∠DAC=∠ECA.
∵∠ACD=90°
∴∠ACE+∠DCE=90°
,∠DAC+∠D=90°
∴∠D=∠DCE,∴DE=CE,
∴AD=AE+DE=CE+CE=2CE,∴CE=AD.
(3)解:
在Rt△ABD中,AD=6,
AB=3,∴tan∠ABD==2.
如答图,过点G作GH⊥BD于点H,
∴tan∠ABD==2,∴GH=2BH.
∵点F是直径AB下方半圆的中点,∴∠BCF=45°
∴∠CGH=∠CHG-∠BCF=45°
∴CH=GH=2BH,∴BC=BH+CH=3BH.
在Rt△ABC中,tan∠ABC==2,∴AC=2BC,
根据勾股定理得,AC2+BC2=AB2,
∴4BC2+BC2=9,∴BC=,
∴3BH=,∴BH=,∴GH=2BH=.
在Rt△CHG中,∵∠BCF=45°
∴CG=GH=.
12.(2018·
北部湾经济区25题10分)如图,△ABC内接于⊙O,∠CBG=∠A,CD为直径,
第12题图
OC与AB相交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足为F,延长CD交GB的延长线于点P,连接BD.
PG与⊙O相切;
(2)若=,求的值;
(3)在
(2)的条件下,若⊙O的半径为8,PD=OD,求OE的长.
如答图,连接OB,则OB=OD,
∴∠BDC=∠DBO.
∵∠BAC=∠BDC,∴∠GBC=∠BDC.
∵CD是⊙O的直径,∴∠DBO+∠OBC=90°
∴∠GBC+∠OBC=90°
∴∠GBO=90°
,∴PG与⊙O相切.
第12题答图
如答图,过点O作OM⊥AC于点M,连接OA,
则∠AOM=∠COM=∠AOC.
∵A=A,∴∠ABC=∠AOC.
又∵∠EFB=∠OMA=90°
∴△BEF∽△OAM,∴=.
∵AM=AC,OA=OC,∴=.
又∵=,∴=2×
=2×
∵PD=OD,∠PBO=90°
,∴BD=OD=8,
在Rt△DBC中,BC==8.
又∵OD=OB,∴△DOB是等边三角形,
∴∠DOB=60°
∵∠DOB=∠OBC+∠OCB,OB=OC,
∴∠OCB=30°
,∴=,=,
∴设EF=x,则EC=2x,FC=x,
∴BF=8-x.
在Rt△BEF中,BE2=EF2+BF2,
∴100=x2+(8-x)2,解得x=6±
∵6+>
8,舍去,∴x=6-,
∴EC=12-2,
∴OE=8-(12-2)=2-4.
13.(2018·
桂林25题10分)如图1,已知⊙O是△ADB的外接圆,∠ADB的平分线DC交AB于点M,交⊙O于点C,连接AC,BC.
AC=BC;
(2)如图2,在图1的基础上作⊙O的直径CF交AB于点E,连接AF,过点A作⊙O的切线AH,若AH∥BC,求∠ACF的度数;
(3)在
(2)的条件下,若△ABD的面积为6,△ABD与△ABC的面积比为2∶9,求CD的长.
第13题图
∵DC平分∠ADB,
∴∠ADC=∠BDC,∴A=B,∴AC=BC.
第13题答图
如答图,连接AO并延长
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