学年数学高考一轮复习第十一章推理与证明111合情推理与演绎推理Word文档下载推荐.docx
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五年高考
考点一 合情推理
1.(2017课标全国Ⅱ文改编,9,5分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:
你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:
我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则以下四种说法正确的是 .
①乙可以知道四人的成绩;
②丁可以知道四人的成绩;
③乙、丁可以知道对方的成绩;
④乙、丁可以知道自己的成绩.
答案 ④
2.(2016山东,12,5分)观察下列等式:
+
=
×
1×
2;
2×
3;
+…+
3×
4;
4×
5;
……
照此规律,
= .
答案
考点二 演绎推理
1.(2017北京理,14,5分)三名工人加工同一种零件
他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.
①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数
则Q1,Q2,Q3中最大的是 ;
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是 .
答案 ①Q1 ②p2
2.(2013重庆理,22,12分)对正整数n,记In={1,2,…,n},Pn=
.
(1)求集合P7中元素的个数;
(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方,则称A为“稀疏集”.求n的最大值,使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并.
解析
(1)当k=4时,
中有3个数与I7中的3个数重复,因此P7中元素的个数为7×
7-3=46.
(2)先证当n≥15时,Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并.若不然,设A,B为不相交的稀疏集,使A∪B=Pn⊇In.不妨设1∈A,则因1+
3=22,故3∉A,即3∈B.同理6∈A,10∈B,又推得15∈A,但1+15=42,这与A为稀疏集矛盾.
再证P14符合要求.当k=1时,
=I14可分成两个稀疏集之并,事实上,只要取A1={1,2,4,6,
9,11,13},B1={3,5,7,8,10,12,14}
则A1,B1为稀疏集,且A1∪B1=I14.
当k=4时,集
中除整数外剩下的数组成集
可分解为下面两稀疏集的并:
A2=
B2=
.
当k=9时,集
中除正整数外剩下的数组成集
…,
A3=
B3=
最后,集C=
m∈I14,k∈I14,且k≠1,4,9
中的数的分母均为无理数,它与P14中的任何其他数之和都不是整数,因此,令A=A1∪A2∪A3∪C,B=B1∪B2∪B3.则A和B是不相交的稀疏集,且A∪B=P14.
综上,所求n的最大值为14.
注:
对P14的分拆方法不是唯一的.
三年模拟
A组 2016—2018年模拟·
基础题组
1.(苏教选2—2,二,1,5,变式)观察下列等式:
1-
-
……,
据此
规律,第n个等式可为 .
答案 1-
2.(苏教选2—2,二,1,4,变式)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形
数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为
n2+
n,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列
出了部分k边形数中第n个数的表达式:
三角形数 N(n,3)=
n,
正方形数 N(n,4)=n2,
五边形数 N(n,5)=
n2-
六边形数 N(n,6)=2n2-
可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)= .
答案 1000
3.(2017江苏南京溧水中学质检,11)观察下列式子:
1+
<
1+
……,则可归纳出 .
答案 1+
(n∈N*)
4.(2017江苏南京、盐城一模,12)如图,在平面直角坐标系中,分别在x轴与直线y=
(x+1)上从左向右依次取点Ak,Bk,k=1,2,…,其中A1是坐标原点,△AkBkAk+1都是等边三角形,则△A10B10A11的边长是 .
答案 512
5.(2016江苏姜堰联考,13)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表,
设aij(i,j∈N*)是这个三角形数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数,如a42=8,若aij=2015,则i+j= .
1
2,4
3,5,7
6,8,10,12
9,11,13,15,17
14,16,18,20,22,24
答案 110
6.(2018江苏盐城高三(上)期中)设数列{an}共有4项,满足a1>
a2>
a3>
a4≥0,若对任意的i,j(1≤i≤j≤4,且i,j∈N*),
ai-aj仍是数列{an}中的某一
项.现有下列命题:
①数列{an}一定是等差数列;
②存在1≤i≤j≤4,使得iai=jaj;
③数列{an}中一定存在一项为0.其中,真命题的序号
有 .(请将你认为正确命题的序号都写上)
答案 ①②③
7.(2018江苏淮安、宿迁高三期中)设命题p:
对任意的x∈
sinx≤ax+b≤tanx恒成立,其中a,b∈R.
(1)若a=1,b=0,求
证:
命题p为真命题;
(2)若命题p为真命题,求a,b的所有值.
解析
(1)证明:
若a=1,b=0,则命题p
:
si
nx≤x≤tanx恒成立.
如图,设∠MOP=x.则sinx=|MP|,cosx=|OM|,tanx=|AT|,x=l
∵x∈
时,S△AOP=
|OA|·
|MP|=
sinx,
S扇形AOP=
l
·
|OA|=
x,
S△AOT=
|AT|=
tanx,
且S△AOP<
S扇形AOP<
S△AOT.
∴
sinx<
x<
tanx,即sinx<
tanx.
当x=0时,sinx=x=tanx=0,∴当x∈
时,sinx≤x≤tanx恒成立.即命题p为真命题.
(2)若命题p为真命题,则当x=0时,sin
0≤b≤tan
0,所以b=0.
此时命题p:
sinx≤ax≤tanx恒成立.
显然a≠0.
若a<
0,令f(x)=ax-sinx,x∈
∴f'
(x)=a-cosx<
0恒成立,
∴f(x)在
上单调递减,
∴f(x)≤f(0)=0,即ax≤sinx,矛盾.
若0<
a<
1,令f(x)=ax-sinx,x∈
则f'
(x)=a-cosx,∴f'
(x)=0在x∈
上有唯一解,记为x0,
当x∈[0,x0)时,f'
(x)<
0,
此时f(x)≤f(0)=0恒成立,即ax≤sinx,矛盾.
若a>
1,令h(x)=ax-tanx,x∈
则h'
(x)=a-
∴h'
上有唯一解,记为x1,
当x∈[0,x1)时,h'
(x)>
此时h(x)≥h(0)=0恒成立,即ax≥tanx,矛盾.
故a=1,b=0.
8.(2017苏锡常镇四市高三教学情况调研
(二),20)已知数列{an}满足a1=1,an+1=
其中n∈N*,λ,μ为非零常数.
(1)若λ=3,μ=8,求证:
{an+1}为等比
数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}是公差不等于零的等差数列.
①求实数λ,μ的值;
②数列{an}的前n项和Sn构成数列{Sn},从{Sn}中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问:
是否存在首项为S1的四项子数列,使得该子数列中的所有项之和恰好为2017?
若存在,求出所有满足条件的四项子数列;
若不存在,请说明理由.
解析
(1)当λ=3,μ=8时,
an+1=
=3an+2,
∴an+1+1=3(an+1),
又a1+1=2,
∴{an+1}是以2为首项,3为公比的等比数列,
∴an+1=2·
3n-1,∴an=2·
3n-1-1.
(2)①设数列{an}的公差为d(d≠0),则an=a1+(n-1)d=dn-d+1,
由an+1=
得an+1(an+2)=λ
+μan+4,
∴(dn+1)(dn-d+3)=λ(dn-d+1)2+μ(dn-d+1)+4,
∴d2n2+
(4d-d2)n-d+3=λd2n2+[2(1-d)λ+μ]dn+λ(1-d)2+(1-d)μ+4对任意n∈N*恒成立.
解得
∴λ=1,μ=4.
②由①知an=2n-1,则
Sn=
=n2.
假设存在满足条件的四项子数列,由2017为奇数,知这四项三个奇数一个偶数或者一个奇数三个偶数.
若三个奇数一个偶数,设S1,S2x+1,S2y+1,S2z是
满足条件的四项(x,y,z∈N*,x≠y),
则1+(2x+1)2+(2y+1)2+4z2=2017,
∴2(x2+x+y2+y+z2)=1007,这与1007为奇数矛盾,不合题意,舍去.
若一个奇数三个偶数,设S1,S2x,S2y,S2z是满足条件的四项(x,y,z∈N*且互不相等),
则12+4x2+4y2+4z2=2017,∴x2+y2+z2=504.
由504为偶数知,x,y,z中一个偶数两个奇数或者三个偶数.
(i)若x,y,z中一个偶数两个奇数,不妨设x=2x1,y=2y1+1,z=2z1+1(y1≠z1),
则2(
+y1+
+z1)=251,这与251为奇数矛盾.
(ii)若x,y,z均为偶数,不妨设x=2x1,y=2y1,z=2z1(x1,y1,z1互不相等),
则
=126,
继续奇偶分析知x1,y1,z1中两个奇数一个偶数,
不妨设x1=2x2,y1=2y2+1,z1=2z2+1(y2≠z2),则
+y2+
+z2=31.
因为y2(y2+1),z2(z2+
1)均为偶数,所以x2为奇数,不
妨设0≤y2<
z2,
当x2=1时,
+z2=30,
+y2≤14,检验得y2=0,z2=5,x2=1,
当x2=3时,
+z2=22,
+y2≤10,检验得y2=1,z2=4,x2=3,
当x2=5时,
+z2=6,
+y2≤2,检验得y2=0,z2=2,x2=5,
即S1,S4,S8,S44或者S1,S12,S24,S36或者S1,S4,S20,S40满足条件,
综上所述,{S1,S4,S8,S44
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- 学年 数学 高考 一轮 复习 第十一 推理 证明 111 合情 演绎