北京市昌平区届高三上学期期末考试数学试题文档格式.docx
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(A)
(B)
(C)
(D)
(9)设为非零向量,则“,”是“”的
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
(10)为配合“2019双十二”促销活动,某公司的四个商品派送点如图环形分布,并且公司给四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现,需要将发送给四个派送点的商品数调整为40,45,54,61,但调整只能在相邻派送点进行,每次调动可以调整1件商品.为完成调整,则
(A)最少需要16次调动,有2种可行方案
(B)最少需要15次调动,有1种可行方案
(C)最少需要16次调动,有1种可行方案
(D)最少需要15次调动,有2种可行方案
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(11)在的展开式中,的系数为.(用数字作答)
(12)各项均为正数的等比数列中,,则_______.
(13)抛物线上一点到焦点的距离等于4,则=_____;
点的坐标为______.
(14)在中,,则_______.
(15)2019年11月5日,第二届中国国际进口博览会在国家会展中心(上海)开幕,共有
155个国家和地区,26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动,每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中,甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________种.
(16)已知函数.
①的最大值为________;
②设当时,取得最大值,则______.
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(17)(本小题13分)
已知等差数列满足.
(Ⅰ)求数列的通项公式及前项和;
(Ⅱ)记数列的前项和为,若,求的最小值.
(18)(本小题13分)
为了提高学生的身体素质,某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动,我健康,我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况,采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据(单位:
个/分钟):
学生编号
1
2
3
4
5
跳绳个数
179
181
168
177
183
踢毽个数
85
78
79
72
80
(Ⅰ)求高一、高二两个年级各有多少人?
()设某学生跳绳个/分钟,踢毽个/分钟.当,且时,称该学生为“运动达人”.
从高二年级的学生中任选一人,试估计该学生为“运动达人”的概率;
从高二年级抽出的上述5名学生中,随机抽取3人,求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数的分布列和数学期望.
(19)(本小题14分)
已知函数其中.
(Ⅰ)若函数的最小正周期为,求的值;
(Ⅱ)若函数在区间上的最大值为,求的取值范围.
(20)(本小题14分)
如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,平面平面,.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在点,使得平面?
若存在,求的值?
若不存在,说明理由.
(21)(本小题13分)
已知椭圆的离心率为,点在椭圆上,焦点为,圆O的直径为.
(Ⅰ)求椭圆C及圆O的标准方程;
(Ⅱ)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P,且直线l与椭圆
C交于两点.记的面积为,证明:
.
(22)(本小题13分)
已知函数.
(Ⅰ)求曲线的斜率为2的切线方程;
()证明:
()确定实数的取值范围,使得存在,当时,恒有.
数学试卷参考答案及评分标准2020.1
一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
答案
D
C
A
B
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
(9)(10) (11);
(12) (13) (14);
(第一空3分,第二空2分)
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15)(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)设等差数列的公差为.依题意有
解得
所以.
(Ⅱ)因为,
所以.
因为,即,
所以的最小值为
(16)(本小题满分13分)
(Ⅰ)设高一年级有人,高二年级有人.
采用分层抽样,有.
所以高一年级有人,高二年级有人.
()从上表可知,从高二抽取的5名学生中,编号为1,2,5的学生是“运动达人”.
故从高二年级的学生中任选一人,该学生为“运动达人”的概率估计为.
()的所有可能取值为.
,.
所以的分布列为
故的期望.
(17)(本小题满分14分)
(Ⅰ)因为
.
因为的最小正周期为,即,所以.
(Ⅱ)因为,所以.
若在区间上取到最大值,只需,所以.
(18)(本小题满分14分)
(Ⅰ)在四棱锥中,
因为平面平面,平面平面,
又因为,平面,
所以平面.
因为平面,
所以.
(Ⅱ)取中点,连接.
因为,
所以.
因为平面,
所以四边形是平行四边形.所以.
如图建立空间直角坐标系,则
.
设平面的法向量为,则
即
令,则.所以.
因为平面的法向量,
所以
由图可知,二面角为锐二面角,
所以二面角的余弦值为.
(Ⅲ)法一:
设是棱上一点,则存在使得.
设,则
所以
所以所以.
因为所以平面.
所以是平面的一个法向量.
若平面,则.所以
因为方程组无解,所以在棱上不存在点,使得平面.
法二:
因为平面,所以平面平面.
因为平面平面,
若在棱上存在点,使得平面,则平面.
因为平面,所以平面.
所以在棱上不存在点,使得平面.
(19)(本小题满分13分)
(Ⅰ)由题意,椭圆C的方程为.
可得,解得
所以椭圆C的方程为.
因为焦点在轴上,所以椭圆C的焦点为.
所以直径为的圆O的方程为.
(Ⅱ)由题意知,直线l与圆O相切于第一象限内的点P,
设直线的斜截式方程为.
因为直线与圆相切,所以点到直线的距离为.
即.
因为直线与椭圆C相交于两点,
由,整理得,.
设,则.
因为.
又,所以.所以.
又因为,所以.
所以.
设,则,则.
令.则.
设
因为在上单调递减,所以.
(20)(本小题满分13分)
()函数的定义域为.
由得.
令,即,得,(舍).
又,所以曲线的斜率为2的切线方程为.
()设,则
.
令得,(舍).
当时,;
当时,.
所以在上单调递增,在上单调递减.
()由()可知,
当时,,
所以不存在,当时,恒有;
所以不符合题意.
当时,对于,,
当时,设.
令即.
解得.
又因为,所以.
取.当时,;
所以在上单调递增.
所以.即.所以符合题意.
所以实数的取值范围是.
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