全国普通高等学校招生统一考试文科数学四川卷解析版文档格式.docx
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4.为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点
(A)向左平行移动个单位长度
(B)向右平行移动个单位长度
(C)向上平行移动个单位长度
(D)向下平行移动个单位长度
【答案】A
由题意,为得到函数,只需把函数的图像上所有点向左移个单位,故选A.
【考点】三角函数图像的平移.
5.设p:
实数x,y满足x>1且y>1,q:
实数x,y满足x+y>2,则p是q的
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
由题意,且,则,而当时不能得出,且.故是的充分不必要条件,选A.
【考点】充分必要条件.
6.已知a函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=
(A)-4(B)-2(C)4(D)2
,令得或,易得在上单调递减,在上单调递增,故极小值为,由已知得,故选D.
【考点】函数导数与极值.
7.某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入。
若该公司2015年全年投入研发奖金130万元,在此基础上,每年投入的研发奖金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是
(参考数据:
lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)
(A)2018年(B)2019年(C)2020年(D)2021年
设从2015年后第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由已知得,两边取常用对数得,故选B.
【考点】1.增长率问题;
2.常用对数的应用.
8.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法。
如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为
(A)35(B)20(C)18(D)9
程序运行如下
结束循环,输出,故选C.
【考点】1.程序与框图;
2.秦九韶算法;
3.中国古代数学史.
9.已知正三角形ABC的边长为,平面ABC内的动点P,M满足,,则的最大值是
(A)(B)(C)(D)
【解析】
试题分析:
甴已知易得.以为原点,直线为轴建立平面直角坐标系,则设由已知,得,又
,它表示圆上点与点距离平方的,,故选B。
【考点】1.向量的数量积运算;
2.向量的夹角;
3.解析几何中与圆有关的最值问题.
10.设直线l1,l2分别是函数图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B则则△PAB的面积的取值范围是
(A)(0,1)(B)(0,2)(C)(0,+∞)(D)(1,+∞)
设(不妨设),则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为,切线的方程为,即。
分别令得又与的交点为,故选A。
【考点】1.导数的几何意义;
2.两直线垂直关系;
3.直线方程的应用;
4.三角形面积取值范围.
二、填空题
11.=。
【答案】
由三角函数诱导公式.
【考点】三角函数诱导公式
12.已知某三菱锥的三视图如图所示,则该三菱锥的体积。
由三视图可知该几何体是一个三棱锥,且底面积为,高为1,所以该几何体的体积为.
【考点】1.三视图;
2.几何体的体积.
13.从2、3、8、9任取两个不同的数值,分别记为a、b,则为整数的概率=。
从2,3,8,9中任取两个数记为,作为作为对数的底数与真数,共有个不同的基本事件,其中为整数的只有两个基本事件,所以其概率.
【考点】古典概型.
14.若函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=,则f()+f
(2)=。
【答案】-2
因为函数是定义在上周期为2的奇函数,所以
,所以,即,,所以.
【考点】1.函数的奇偶性;
2.函数的周期性.
15.在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P当P是原点时,定义“伴随点”为它自身,现有下列命题:
①若点A的“伴随点”是点,则点的“伴随点”是点A.
②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上。
③若两点关于x轴对称,则他们的“伴随点”关于y轴对称
④若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线。
其中的真命题是。
【答案】②③
对于①,若令,则其伴随点为,而的伴随点为,而不是,故错误;
对于②,设曲线关于轴对称,则对曲线表示同一曲线,其伴随曲线分别为与也表示同一曲线,又因为其伴随曲线分别为与的图象关于轴对称,所以正确;
③令单位圆上点的坐标为其伴随点为仍在单位圆上,故正确;
对于④,直线上取点后得其伴随点消参后轨迹是圆,故错误.所以正确的为序号为②③.
【考点】1.新定.曲线与方程.
三、解答题
16.我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:
吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),……[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图。
(Ⅰ)求直方图中的a值;
(Ⅱ)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数.说明理由;
(Ⅲ)估计居民月均用水量的中位数。
(Ⅰ);
(Ⅱ)36000;
(Ⅲ)2.04.
本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力.第一问,由高×
组距=频率,计算每组中的频率,因为所有频率之和为1,计算出a的值;
第二问,利用高×
组距=频率,先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率,再利用频率×
样本总数=频数,计算所求人数;
第三问,将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较,得出2≤x<2.5,再进行计算.
试题解析:
(Ⅰ)由频率分布直方图,可知:
月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×
0.5=0.04.
同理,在[0.5,1),(1.5,2],[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.
由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×
a+0.5×
a,
解得a=0.30.
(Ⅱ)由(Ⅰ),100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×
0.13=36000.
(Ⅲ)设中位数为x吨.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5
所以2≤x<2.5.
由0.50×
(x–2)=0.5–0.48,解得x=2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.
【考点】频率分布直方图、频率、频数的计算公式
17.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°
,BC=CD=½
AD。
(Ⅰ)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;
(Ⅱ)证明:
平面PAB⊥平面PBD。
(Ⅰ)取棱AD的中点M,证明详见解析;
(Ⅱ)证明详见解析.
本题考查线面平行、线线平行、线线垂直、线面垂直等基础知识,考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问,利用线面平行的定理,先证明线线平行,再证明线面平行;
第二问,先由线面垂直得到线线垂直,在利用线面垂直的性质得到BD⊥平面PAB,最后利用面面垂直的判定定理证明面面垂直.
(Ⅰ)取棱AD的中点M(M∈平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下:
因为AD‖BC,BC=AD,所以BC‖AM,且BC=AM.
所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM‖AB.
又AB平面PAB,CM平面PAB,
所以CM∥平面PAB.
(说明:
取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)
(Ⅱ)由已知,PA⊥AB,PA⊥CD,
因为AD∥BC,BC=AD,所以直线AB与CD相交,
所以PA⊥平面ABCD.
从而PA⊥BD.
因为AD∥BC,BC=AD,
所以BC∥MD,且BC=MD.
所以四边形BCDM是平行四边形.
所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB.
又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.
又BD平面PBD,
所以平面PAB⊥平面PBD.
【考点】线面平行、线线平行、线线垂直、线面垂直.
18.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且。
(Ⅰ)证明:
sinAsinB=sinC;
(Ⅱ)若,求tanB。
(Ⅰ)证明详见解析;
(Ⅱ)4.
本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识,考查学生的分析问题的能力和计算能力.第一问,利用正弦定理,将边角进行转化,结合诱导公式进行证明;
第二问,利用余弦定理解出cosA=,再根据平方关系解出sinA,代入已知中,解出tanB的值.
(Ⅰ)根据正弦定理,可设
则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.
代入中,有
,可变形得
sinAsinB=sinAcosB=sin(A+B).
在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π–C)=sinC,
所以sinAsinB=sinC.
(Ⅱ)由已知,b2+c2–a2=bc,根据余弦定理,有
.
所以sinA=.
由(Ⅰ),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,
所以sinB=cosB+sinB,
故tanB==4.
【考点】正弦定理、余弦定理、商数关系
19.已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=Sn+1,其中q﹥0,n∈N+
(Ⅰ)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设双曲线x2﹣=1的离心率为en,且e2=2,求e12+e22+…+en2,
(Ⅱ).
本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问,利用,两式相减,得出数列为等比数列,利用等比数列的通项公式得到结论;
第二问,先利用双曲线的离心率得到的表达式,再解出q的值,最后利用等比数列的求和公式求解计算.
(Ⅰ)由已知,两
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