数学三试题分析详解和评注Word格式.docx
- 文档编号:13725339
- 上传时间:2022-10-13
- 格式:DOCX
- 页数:19
- 大小:567.47KB
数学三试题分析详解和评注Word格式.docx
《数学三试题分析详解和评注Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学三试题分析详解和评注Word格式.docx(19页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
若存在,则,可见(C)也正确,故应选(D).事实上,可举反例:
在x=0处连续,且
=存在,但在x=0处不可导.
重要提示见《经典讲义》P.38,完全类似例题见P.40例2.1,例2.6及P.56习题2及辅导班讲义例2.5
(3)如图,连续函数y=f(x)在区间[−3,−2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[−2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周,设则下列结论正确的是
(A).(B).
(C).(D). 【】
【答案】应选(C).
【分析】本题考查定积分的几何意义,应注意f(x)在不同区间段上的符号,从而搞清楚相应积分与面积的关系。
【详解】根据定积分的几何意义,知F
(2)为半径是1的半圆面积:
,
F(3)是两个半圆面积之差:
=,
因此应选(C).
【评注1】本题F(x)由积分所定义,应注意其下限为0,因此
,也为半径是1的半圆面积。
可知(A)(B)(D)均不成立.
【评注2】若试图直接去计算定积分,则本题的计算将十分复杂,而这正是本题设计的巧妙之处。
完全类似例题见《经典讲义》P.143例7.15,例7.16,例7.18及辅导班讲义例7.12
(4)设函数f(x,y)连续,则二次积分等于
(A).(B).
(C).(D).【】
【分析】先确定积分区域,画出示意图,再交换积分次序。
【详解】积分区域D:
也可表示为
D:
故=,应选(B).
【评注】确定y的取值范围时应注意:
当时,y=sinx=,于是,从而
完全类似例题见《经典讲义》P.189例10.13,例10.14,例10.15及辅导班讲义例10.9
(5)设某商品的需求函数为,其中Q,P分别表示需求量和价格,如果该商品需求弹性的绝对值等于1,则商品的价格是
(A)10.(B)20.(C)30.(D)40. 【】
【详解】由题设,有,即,解得P=40.应选(D).
完全类似例题见《经典讲义》P.214例12.6,例12.16
(6)曲线,渐近线的条数为
(A)0.(B)1.(C)2.(D)3. 【】
【分析】先找出无定义点,确定其是否为对应垂直渐近线;
再考虑水平或斜渐近线。
【详解】因为,所以为垂直渐近线;
又,所以y=0为水平渐近线;
进一步,=,
=
于是有斜渐近线:
y=x.故应选(D).
【评注】一般来说,有水平渐近线(即)就不再考虑斜渐近线,但当不存在时,就要分别讨论和两种情况,即左右两侧的渐近线。
本题在x<
0的一侧有水平渐近线,而在x>
0的一侧有斜渐近线。
关键应注意指数函数当时极限不存在,必须分和进行讨论。
重要知识点提示见《经典讲义》P.136页,类似例题见P.141例7.13,例7.14及辅导班讲义例7.8
(7)设向量组线性无关,则下列向量组线性相关的是
(A).(B).
(C).(D).【】
【答案】应选(A).
【详解1】直接可看出(A)中3个向量组有关系
,
即(A)中3个向量组有线性相关,所以选(A).
【详解2】用定义进行判定:
令
得.
因线性无关,所以
又,
故上述齐次线性方程组有非零解,即线性相关.类似可得(B),(C),(D)中的向量组都是线性无关的.
这是一个基本题,完全类似的问题见《经典讲义》P265例3.5和辅导班上对应章节的例题
(8)设矩阵,,则A与B
(A)合同,且相似.(B)合同,但不相似.
(C)不合同,但相似.(D)既不合同,又不相似.【】
【答案】应选(B).
【详解】由得A的特征值为0,3,3,而B的特征值为0,1,1,从而A与B不相似.
又r(A)=r(B)=2,且A、B有相同的正惯性指数,因此A与B合同.故选(A).
【评注】1)若A与B相似,则|A|=|B|;
r(A)=r(B);
tr(A)=tr(B);
A与B有相同的特征值.
2)若A、B为实对称矩阵,则A与B合同r(A)=r(B),且A、B有相同的正惯性指数.
完全类似的问题见《历年真题(三)》P253的小结
(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0<
p<
1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为
(A). (B).
(C). (D).【】
【答案】应选(C).
【详解】“第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标,前3次射击中有1次命中目标.由独立重复性知所求概率为:
.故选(C).
几乎原题见《经典讲义》P445例题4.1中的情况,完全类似的问题见P386例1.44
(10)设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,分别表示X,Y的概率密度,则在Y=y的条件下,X的密度为
(A). (B).(C).(D).【】
【答案】应选(A).
【详解】因(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,故X与Y相互独立,于是=.因此选(A).
【评注】对于二维连续型随机变量(X,Y),有
X与Y相互独立f(x,y)===.
完全相同的问题见《经典讲义》P422二维正态分布的性质4
二、填空题:
11-16小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.
(11)=.
【答案】应填0.
【详解】因为,而sinx+cosx有界,故
=0.
重要知识点提示见P.6,完全类似例题见《经典讲义》P.15例1.27,例1.33
(12)设函数则=.
【答案】应填
【详解】
一般地,,
从而=
完全类似例题见《经典讲义》P.53例2.42,例2.44及辅导班讲义例2.16
(13)设f(u,v)是二元可微函数,则.
【答案】应填
【详解】,,于是有
=
完全类似例题见辅导班讲义例9.6及《经典讲义》P182习题1-3
(14)微分方程满足的特解为.
【答案】应填
【详解】作变量代换,则,代入原方程得
即,
积分并代入初始条件得
重要知识点说明见《经典讲义》P.154,完全类似例题见《真题三》P.146-147
(15)设矩阵,则的秩为___________.
【答案】应填1.
【详解】依矩阵乘法直接计算得,故r()=1.
完全类似的问题见《经典讲义》P.253题型七和辅导班上对应章节的例题
(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则两数之差的绝对值小于的概率为____________.
【答案】应填.
【详解】这是一个几何概型,设x,y为所取的两个数,则样本空间
记.
故,其中分别表示A与的面积.
几乎原题见《经典讲义》P378例1.21和辅导班上对应章节的例题
三、解答题:
(17-24小题,共86分.)
(17)(本题满分10分)
设函数y=y(x)由方程确定,试判断曲线y=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性.
【分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导即得.
【详解1】在两边对x求导得
解得
两边对x再求导得.
将x=1,y=1代入得
由于二阶导函数在x=1的附近是连续函数,所以由,可知在x=1的附近有<
0,故曲线y=y(x)在点(1,1)附近是凸的.
【详解2】在两边对x求导得
两边对x再求导得
将x=1,y=1代入得上两式得,
0,故曲线y=y(x)在点(1,1)附近是凸的.
【详解3】将x看作y的函数,在两边对y求导得
两边再对y求导得
将x=1,y=1代入得式得.因为二阶导函数在y=1的附近是连续函数,所以由可知在y=1的附近有>
0,由此可知曲线x=x(y)在点(1,1)附近是凹的,故曲线y=y(x)在点(1,1)附近是凸的.
完全类似例题见辅导班讲义例7.7及《经典讲义》P.142例7.14
(18)(本题满分11分)
设二元函数
计算二重积分,其中
【分析】被积函数为分区域函数,利用积分的可加性分区域积分,在计算过程中注意利用区域的对称性和被积函数的奇偶性进行化简。
【详解1】由区域的对称性和被积函数的奇偶性有
其中为D在第一象限的部分.
设,
.
因此.
【详解2】记,则
【评注】被积函数包含时,可考虑用极坐标较容易;
解法二在计算积分时,利用了将区域转化为区域D减去,而后面这两块区域均方便积分.
完全类似例题见《经典讲义》P.191例10.19及辅导班讲义例10.9
(19)(本题满分11分)
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:
存在,使得
【分析】需要证明的结论与导数有关,自然联想到用微分中值定理,事实上,若令,则问题转化为证明,只需对用罗尔定理,关键是找到的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点),而利用F(a)=F(b)=0,若能再找一点,使得,则在区间上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点,再对用罗尔定理即可。
【证明】构造辅助函数,由题设有F(a)=F(b)=0.又f(x),g(x)在(a,b)内具有相等的最大值,不妨设存在,使得
若,令,则
若,因,从而存在
,使
在区间上分别利用罗尔定理知,存在,使得
.
再对在区间上应用罗尔定理,知存在,有
,即
完全类似例题见《经典讲义》P.114例5.11,例5.12,P.121例5.26及辅导班讲义
例5.3-5
(20)(本题满分10分)
将函数展开成x−1的幂级数,并指出其收敛区间.
【详解】=
其中,第一个幂级数的收敛区间为,第二个幂级数的收敛区间为,故幂级数的收敛区间为:
,即
完全类似例题见《经典讲义》P.206例11.14
(21)(本题满分11分)
设线性方程组
与方程
有公共解,求a的值及所有公共解.
【分析】两个方程有公共解就是与联立起来的非
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 试题 分析 详解 评注