人教版九年级上册数学期中期末专题讲义Word文档格式.docx
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突破二二次函数与面积
【方法归纳】面积关系转化为线段关系转化为方程关系转化为坐标关系.
1.如图,抛物线交坐标轴于A、B、C三点,点P在第二象限的抛物线上,PF⊥x轴于F点,交AC于E点.若S△PAE:
S△AEF=2∶3,求P点坐标.
2.已知,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点.D为第四象限的抛物线上一点,CD交x轴于E点,若S△ACE=S△DBE,求直线CD的解析式.
3.已知二次函数与x轴交于A、B两点,A在B点的左边,与y轴交于C点,点P在第一象限的抛物线上,且在对称轴右边,S△PAC=4,求P点坐标.
突破三二次函数与全等
【方法归纳】构造全等实现由几何向代数的转化.
一、利用等腰直角三角形构造全等
1.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,A在B的左侧,与y轴交于C(0,-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为对称轴右侧的抛物线上一点,以BP为斜边作等腰直角三角形,直角顶点M正好落在对称轴上,求P点的坐标.
2.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连AC,将直线AC向右平移交抛物线于点P,交x轴于Q点,且∠CPQ=135°
,求直线PQ的解析式.
二、利用线段角相等构造全等
3.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,交y轴正半轴于C点,D为抛物线的顶点,点P在x轴上,且∠PCB=∠CBD,求点P的坐标.
突破四二次函数与特殊图形
【方法归纳】结合特殊图形的性质,寻找全等,平移,注意线段、坐标、方程间的相互转化.
一、二次函数与等腰三角形
1.如图,将抛物线与x轴交于A、B,点C(2,m)在抛物线上,点P在y轴上,且△BCP为等腰三角形,求点P的坐标.
二、二次函数与平行四边形
2.如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是x轴上一个动点,过P作直线l∥AC交抛物线于点Q,使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形,求点Q坐标.
三、二次函数与矩形
3.如图,抛物线与y轴交于点A,对称轴交x轴于点B,连AB,点P在y轴上,点Q在抛物线上,是否存在点P和Q,使四边形ABPQ为矩形,若存在求点P、Q的坐标.
四、二次函数与正方形
4.(2007•武汉•中考)如图,抛物线经过点C(-3,h),CD⊥x轴,垂足为D点,Rt△AOB≌Rt△CDA,A、B分别在x轴,y轴上,在对称轴右侧的抛物线上是否存在两点P、Q,使四边形ABPQ是正方形?
若存在,求出点P、Q的坐标,若不存在,请说明理由.
突破五旋转中的全等——角度问题
【方法归纳】主要运用在图形旋转中,确定角度间的相等关系,从而构造全等.
1.如图1,△ABC与△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°
,AB、EF的中点均为O,连BF,CD,CO.
(1)求证:
CD=BF;
(2)如图2,当△DEF绕O点顺时针旋转的过程中,探究BF与CD间的数量关系和位置关系,并证明;
(3)若AC=,DE=,当BF=时,求旋转角α的大小.
2.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(0°
<α<60°
),将线段BC绕点B逆时针旋转60°
得到线段BD.
(1)如图1,直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示);
(2)如图2,∠BCE=150°
,∠ABE=60°
,判断△ABE的形状,并加以证明;
(3)在
(2)的条件下,连接DE,若∠DEC=45°
,求α的值.
突破六旋转中的全等--面积问题
【方法归纳】:
主要运用在图形旋转中,寻找全等三角形转化线段解决问题
1.如图1,将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起,其中∠ACB=∠E=90°
,BC=DE=6,AC=FE=8,顶点D与边AB的中点重合,DF交AC于点G.
(1)DE经过点C,求重叠部分(△DCG)的面积.
(2)如图2,将△DEF绕点D旋转,使DE⊥AB交AC于点H,DF交AC于点G,求△DGH的面积.
2.(2013·
河南)如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°
,∠B=∠E=30°
.
(1)如图2,将△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,设△BDC的面积是S1,△AEC的面积为S2,那么S1与S2的数量关系是____________;
(2)当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时,
(1)中S1与S2的数量关系仍然成立?
若成立,请加以证明;
若不成立,请说明理由;
(3)如图4,∠ABC=60°
,点D在其角平分线上,BD=CD=6,DE∥AB交BC与点E,若点F在射线BA上,并且S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长.
突破七旋转中的多解与画图
一般此类问题只给出旋转的度数,故要考虑旋转的方向.
1.如图,等腰直角△ABC中,AC=BC=,等腰直角△CDP中,CD=CP,且PB=,∠CPB=135°
,将△CDP绕点C旋转,求BD的长.
2.如图,将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起,构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE'
F'
D'
,旋转角为α.
(1)当点D'
恰好落在EF边上时,求旋转角α的值;
(2)小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中,△DCD'
与△CBD'
能否全等?
若能,直接写出旋转角α的值;
若不能,说明理由.
3.(2011武汉元月调考)在等腰△ABC中,AB=AC,边AB绕点A逆时针旋转角度m得到线段AD.
(1)如图1,若∠BAC=30°
,30°
<m<180°
,连接BD,请用含m的式子表示∠DBC的度数;
(2)如图2,若∠BAC=60°
,0°
<m<360°
,连接BD、DC,直接写出△BDC为等腰三角形时,m所有可能的取值____________;
突破八旋转中的最值问题
在旋转过程中注意旋转特殊度数时,图形产生的特殊的位置关系,如多点共线等.
1.如图,线段AB=5,BC=2,将线段BC绕点B逆时针进行旋转.求在旋转过程中,线段AC的最大值与最小值.
2.如图,在△ABE中,BE=,AE=2,以AB为边向形外作正方形ABCD,连接DE,求DE的最大值.
3.如图,等腰直角△ABC中,AC=BC=,等腰直角△CDP中,CD=CP,且PB=,将△CDP绕点C旋转.
AD=PB;
(2)当∠PBC=__________时,BD有最小值;
当∠PBC=__________时,BD有最大值.画图并说明理由.
4.如图1,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°
得到BN,连AM、CM、EN.
△AMB△ENB
(2)如图2,若正方形的边长为2,点P为正方形内任意一点,求PA+PB+PC的最小值.
突破九角度的旋转
1.已知四边形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°
,∠MBN=60°
,∠MBN绕点B旋转,它的两边分别交直线AD、DC于E、F.
(1)当∠MBN绕点B旋转到AE=CF时,如图
(1),证明:
AE+CF=EF;
(2)当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时,在图
(2)和图(3)这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请你证明;
若不成立,线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
2.在△ABC中,∠A=∠B=30°
,∠MCN=60°
,∠MCN的两边交AB边于E、F两点,将∠MCN绕点C旋转.
(1)画出△BCF绕点C顺时针旋转120°
后的△ACK;
(2)在
(1)中,若AE²
+EF²
=BF²
,求证:
BF=CF;
突破十三角形的旋转
一、等边三角形的旋转
1.(2013·
元调)△ABC为等边三角形,点O是边AB延长线上的一点(如图1),以点O为中心,将△ABC按顺时针方向旋转一定角度得到△A1B1C1.
(1)若旋转后的图形如图2所示,请将△A1B1C1.以点O为中心,按顺时针方向再次旋转同样的角度的到△A2B2C2,在图2中用尺规作出△A2B2C2,请保留作图痕迹,不要求写作法;
(2)若将△ABC按顺时针方向旋转到△A1B1C1的旋转角度为α(0°
<α<360°
),且AC∥B1C1,直接写出旋转角度α的值为______________.
二.等腰直角三角形的旋转
2.如图1,已知等腰直角△ABC和等腰直角△BEF,∠ABC=∠BEF=90°
,点F在边BC上,点M为AF的中点,连EM.
(1)①在图一中画出△BEF关于直线BE成轴对称的三角形;
②求证:
CF=2ME;
(2)将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转至如图2的位置,其他条件不变,
(1)中的结论②是否仍然成立?
请证明你的结论;
(3)如图3,过B作BS⊥ME于S,若ES=2,BS=4,CF=10,则S四边形CFEB的面积为______________(直接写出结果).
突破一隐圆问题
【方法归纳】借助辅助圆将三角形、四边形问题转化为圆的问题来解决。
一、添加辅助圆求角度
1.如图,□ABCD中,点E为AB、BC的垂直平分线的交点,若∠D=60°
,则∠AEC=.
2.如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,∠CBD=20°
,∠BDC=30°
,则∠BAD=.
第1题图第2题图第3题图第4题图
3.如图,四边形ABCD中,∠ACB=∠ADB=90°
,∠ADC=25°
,则∠ABC的度数为.
4.如图,O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°
,则∠DAO+∠DCO=.
二、添加辅助圆求最值
5.(2011·
陕西省)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,若AD=3、BC=7,则梯形ABCD面积的最大值为.
6.如图,∠xOy=45°
,一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在Ox、Oy上移动,其中AB=10,那么点O到顶点A的距离的最大值为,点O到AB的距离的最大值为.
第5题图第6题图第7题图第8题图
7.如图,△ABC中,∠ABC=90°
,AB=6,BC=8,O为AC的中点,过O作OE⊥OF,OE、OF分别交AB、BC于E、F,则EF的最小值为.
8.(2013·
武汉·
中考)如图,E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是.
突破二圆中的最值问题
【方法归纳】解决最值问题常用的方法有:
特殊位置与极端位置法,几何公理(
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