中考数学一轮总复习解题思想方法专项训练 第3讲 方程函数思想型问题Word格式.docx
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类型一 运用方程思想求解几何综合性问题
如图,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从点A出发,沿AB以每秒4cm的速度向点B运动;
同时Q点从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向点A运动.设运动的时间为x秒.
(1)当x为何值时,PQ∥BC?
(2)△APQ能否与△CQB相似?
若能.求出AP的长;
若不能.请说明理由.
1.(2016·
舟山)如图,矩形ABCD中,AD=2,AB=3,过点A,C作相距为2的平行线段AE,CF,分别交CD,AB于点E,F,则DE的长是( )
A.B.C.1D.
类型二 运用函数思想求解方程、不等式问题
(2017·
杭州)在平面直角坐标系中,设二次函数y1=(x+a)(x-a-1),其中a≠0.
(1)若函数y1的图象经过点(1,-2),求函数y1的表达式;
(2)若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点,探究实数a,b满足的关系式;
(3)已知点P(x0,m)和Q(1,n)在函数y1的图象上,若m<n,求x0的取值范围.
2.
(1)已知函数y=x和y=的图象如图,则不等式>
x的解集为( )
A.-2≤x<
2B.-2≤x≤2C.x<
2D.x>
2
(1)图
(2)图
(2)如图,已知函数y=-与y=ax2+bx(a>
0,b>
0)的图象交于点P,点P的纵坐标为1,则关于x的方程ax2+bx+=0的解为 .
类型三 运用方程、函数思想求解几何最值问题
(2016·
黄冈模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC=6,现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点O,两直角边分别经过点B、C,然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度α(0°
<
α<
90°
),旋转后,直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H,四边形CHOK是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分(如图所示),那么,在上述旋转过程中:
(1)线段BH与CK具有怎样的数量关系?
四边形CHOK的面积是否发生变化?
证明你发现的结论;
(2)连结HK,设BH=x.
①当△CKH的面积为时,求出x的值;
②试问△OHK的面积是否存在最小值,若存在,求出此时x的值,若不存在,请说明理由.
3.(2015·
德州模拟)一个包装盒的设计方法如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形的包装盒,E、F是在AB上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm.若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取的值为 cm.
类型四 运用方程、函数思想求解三角形、四边形与圆问题
(2015·
汕尾)如图,已知直线y=-x+3分别与x、y轴交于点A和B.
(1)求点A、B的坐标;
(2)求原点O到直线l的距离;
(3)若圆M的半径为2,圆心M在y轴上,当圆M与直线l相切时,求点M的坐标.
4.如图,已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x交于点O(0,0),A(a,12).点B是抛物线上O,A之间的一个动点,过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C,E.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)若点C为OA的中点,求BC的长;
(3)以BC,BE为边构造矩形BCDE,设点D的坐标为(m,n),求出m,n之间的关系式.
类型五 运用方程、函数思想求解实际问题
某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100.(利润=售价-制造成本)
(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得350万元的利润?
当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?
最大利润是多少?
(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?
5.(2015·
济宁)小明到服装店参加社会实践活动,服装店经理让小明帮助解决以下问题:
服装店准备购进甲乙两种服装,甲种每件进价80元,售价120元;
乙种每件进价60元,售价90元.计划购进两种服装共100件,其中甲种服装不少于65件.
(1)若购进这100件服装的费用不得超过7500元,则甲种服装最多购进多少件?
(2)在
(1)的条件下,该服装店对甲种服装以每件优惠a(0<a<20)元的价格进行优惠促销活动,乙种服装价格不变,那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润?
【开放探究题】
实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用二次函数y=-200x2+400x刻画;
1.5时后(包括1.5时)y与x可近似地用反比例函数y=(k>0)刻画(如图所示).
(1)根据上述数学模型计算:
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?
最大值为多少?
②当x=5时,y=45.求k的值;
(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:
00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:
00能否驾车去上班?
请说明理由.
【忽视变量范围而出错】
在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,P是BC上的任意一点(P与B、C不重合),过点P作AP⊥PE,垂足为P,PE交CD于点E.
(1)连结AE,当△APE与△ADE全等时,求BP的长;
(2)若设BP为x,CE为y,试确定y与x的函数关系式.当x取何值时,y的值最大?
最大值是多少?
(3)若PE∥BD,试求出此时BP的长.
课后练习35 方程、函数思想型问题
A组
1.若a+b=3,a-b=7,则ab=( )
A.-10B.-40C.10D.40
2.如图,小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°
,再往大树的方向前进4m,测得仰角为60°
,已知小敏同学身高(AB)为1.6m,则这棵树的高度为(结果精确到0.1m,≈1.73)( )
A.3.5mB.3.6mC.4.3mD.5.1m
第2题图
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( )
第3题图
A.-1<x<5B.x>5C.x<-1且x>5D.x<-1或x>5
4.如图,AB=4,射线BM和AB互相垂直,点D是AB上的一个动点,点E在射线BM上,BE=DB,作EF⊥DE并截取EF=DE,连结AF并延长交射线BM于点C.设BE=x,BC=y,则y关于x的函数解析式是( )
第4题图
A.y=-B.y=-C.y=-D.y=-
5.(2016·
宁夏)如图,Rt△AOB中,∠AOB=90°
,OA在x轴上,OB在y轴上,点A,B的坐标分别为(,0),(0,1),把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B,则点O′的坐标为 .
第5题图
6.如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D,使DC=CB,延长DA与⊙O的另一个交点为E,连结AC,CE.
第6题图
(1)求证:
∠B=∠D;
(2)若AB=4,BC-AC=2,求CE的长.
7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题:
第7题图
(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根;
(2)写出不等式ax2+bx+c>
0的解集;
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围;
(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
8.如图,在一个矩形空地ABCD上修建一个矩形花坛AMPQ,要求点M在AB上,点Q在AD上,点P在对角线BD上.若AB=6m,AD=4m,设AM的长为xm,矩形AMPQ的面积为S平方米.
第8题图
(1)求S与x的函数关系式;
(2)当x为何值时,S有最大值?
请求出最大值.
B组
9.(2017·
绍兴)某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m.设饲养室长为x(m),占地面积为y(m2).
(1)如图1,问饲养室长x为多少时,占地面积y最大?
(2)如图2,现要求在图中所示位置留2m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大,小敏说:
“只要饲养室长比
(1)中的长多2m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.
第9题图
10.(2017·
宁波模拟)如图,△ABC中,已知∠BAC=45°
,AD⊥BC于D,BD=2,DC=3,求AD的长.小萍同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换,巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路,探究并解答下列问题:
(1)分别以AB,AC为对称轴,画出△ABD,△ACD的轴对称图形,D点的对称点分别为E,F,延长EB,FC相交于G点,证明四边形AEGF是正方形;
(2)设AD=x,利用勾股定理,建立关于x的方程模型,求出x的值.
第10题图
C组
11.为了改善市民的生活环境,我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场.在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG,使顶点D、E在斜边AB上,F、G分别在直角边BC、AC上;
又分别以AB、BC、AC为直径作半圆,它们交出两弯新月(图中阴影部分),两弯新月部分栽植花草;
其余空地铺设地砖.其中AB=24米,∠BAC=60°
.设EF=x米,DE=y米.
(1)求y与x之间的函数解析式;
(2)当x为何值时,矩形DEFG的面积最大?
最大面积是多少?
(3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积,并求当x为何值时,矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的?
第11题图
参考答案
第35讲 方程、函数思想型问题
【例题精析】
例1
(1)根据题意AP=4xcm,AQ=
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