广东省广州市五校联考高二上期中文数试题.docx
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广东省广州市五校联考高二上期中文数试题
2017—2018学年上学期期中五校联考试卷
高二数学(文科)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知集合,,则等于().
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】因为集合,所以,
则.
故选.
2.已知命题,,则是().
A.,B.,
C.,D.,
【答案】D
【解析】由题意,的否定是,,
故选.
3.设某大学的女生体重(单位:
)与身高(单位:
)具有线性相关关系,根据一组样本数据,用最小二乘法建立的回归方程为,则下列结论中不正确的是().
A.与有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心
C.若该大学某女生身高增加,则其体重约增加
D.若该大学某女生身高为,则可断定其体重必为
【答案】D
【解析】解:
对于,,所以与具有正的线性相关关系,故正确;
对于,回归直线过样本点的中心,故正确;
对于,∵回归方程为,∴该大学某女生身高增加,则其体重约增加,故正确;
对于,时,,但这是预测值,不可断定其体重为,故不正确.
故选.
4.设,是两个不同的平面,是一条直线,下列命题中:
①若,,则;②若,,则;③若,,则;④若,,则.其中正确命题的个数是().
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】利用线面垂直、线面平行、面面平行的性质定理和判定定理对四个命题分别分析选择.
【解答】解:
对于①,若,,则或,故①错误;
对于②,若,,则或,故②错误;
对于③,若,,则,正确;
对于④,若,,则与的位置关系不确定,故④错误.
故选.
5.已知两条直线和互相平行,则等于().
A.或B.或C.或D.或
【答案】A
【解析】两条直线和互相平行,
所以,
解得或,
故选.
6.已知为第一象限角,设,,且,则一定为().
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】∵,,,
∴,
即,而为第一象限角,
∴,
故选.
7.已知数列为等比数列,是它的前项和,若,且与的等差中项为,则().
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】∵,
∴,
∵,
∴,,
∴.
故选.
8.若正三棱锥的正视图与俯视图如右图所示,底面是正三角形,则它的侧视图的面积为().
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由题意,此物体的侧视图如图,
根据三视图间的关系可得侧视图中,底边是正三角形的高,底面三角形是边长为的三角形,
所以,侧视图的高是棱锥的高:
,
∴.
9.已知,,为集合中三个不同的数,通过如图所示算法框图给出的一个算法输出一个整数,则输出的数的概率是().
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由算法可知输出的是、、中最大的一个数,
若输出的数为,则这三个数中必须要有.
从集合中选三个不同的数共有种取法,即、、、、、、、、、.
∴满足条件的种,
∴所求概率为.
故选.
10.已知实数,满足约束条件,若目标函数的最大值与最小值的差为,则实数的值为().
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】本题主要考查线性规划.
根据题中约束条件作可行域如图阴影区域所示,
由图可知,在点时目标函数值最大,
由得,
则;
在点时目标函数值最小,
由得,
则,
则,
解得.
故选.
11.函数在区间上可找到个不同数,,,,使得,则的最大值等于().
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】设,
则条件等价为的根的个数,
作出函数和的图象,
由图象可知与函数最多有个交点,
即的最大值为,
故选.
12.已知奇函数(为常数)和函数,若对,,使得,则实数的取值范围是().
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】解:
因为为奇函数,所以,
所以时,,
因为,所以,
由,,使得得:
,
所以,
故选.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.如果角的终边过点,则__________.
【答案】
【解析】∴,
故答案为:
.
14.如图是甲、乙两人在次综合测评中的成绩的茎叶图,其中一个数字被污损;则甲平均成绩超过乙的平均成绩的概率为__________.
【答案】
【解析】是被污损的数字为,则且,
甲的平均成绩为,【注意有文字】
,【注意有文字】
解得,故的可能值有个,
即甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为.
15.设,,,,,的大小关系(用“”连接)是__________.
【答案】
【解析】解:
因为,,,
所以.
16.已知点是直线上的一个动点,,是圆的两条切线,,是切点,若四边形的面积的最小值为,则实数的值为__________.
【答案】
【解析】
圆的圆心,半径是,
由圆的性质知:
,四边形的最小面积是,【注意有文字】
∴的最小值(是切线长),
∴,【注意有文字】
圆心到直线的距离就是的最小值,
,
∵,
∴.
故答案为:
.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分分)
已知的内角,,所对的边分别为,,,且.
()求角的大小.
()若,的面积为,求.
【答案】见解析
【解析】()在中,,
又,
∴,
∵,
∴.
综上所述:
.
()由,得,
∵,
∴.
综上所述:
.
18.(本小题满分分)
已知各项为正数的数列的前项和为,并且满足:
,,成等差数列.
()求数列的通项公式.
()若,求数列的前项和.
【答案】见解析
【解析】解:
()∵,,成等差数列,
∴,
∴,,计算得出.
当时,,
∴,化为,
∴数列成等比数列,首项为,公比为,
∴.
(),
∴数列的前项和
,
,
∴,
∴.
19.(本小题满分分)
某校高二文科分四个班,各班人数恰好成等差数列,高二数学调研测试后,对四个文科班的学生试卷按每班人数进行分层抽样,对测试成绩进行统计,人数最少的班抽取了人,抽取的所有学生成绩分为组:
,,,,,,得到如图所示的频率分布直方图,其中第六组分数段的人数为人.
()求的值,并求出各班抽取的学生数各为多少人?
()在抽取的学生中,任取一名学生,求分数不小于分的概率(视频率为概率).
()估计高二文科四个班数学成绩的平均分.
【答案】见解析
【解析】解:
()由频率分布条形图知,抽取的学生总数为人.
∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为,
由,解得.
∴各班被抽取的学生人数分别是人,人,人,人.
()在抽取的学生中,任取一名学生,则分数大小于分的概率为.
(),
平均成绩为分.
20.(本小题满分分)
如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面,,点是的中点,四面体的体积为.
()求证:
平面.
()若四面体的体积为.求的长.
【答案】见解析
【解析】()证明:
连接交于点,连接,
∵是正方形,
∴点是的中点,
又∵点是的中点,
∴是的中位线,
∴,
又∵平面,平面,
∴平面.
()取的中点,连接,
∵点是的中点,
∴,
又∵平面,
∴平面.
设,则,且,
所以,
解得,
故的长为.
21.(本小题满分分)
已知⊙的半径为,圆心的坐标为,其中.,为该圆的两条切线,为坐标原点,,为切点,在第一象限,在第四象限.
()若时,求切线,的斜率.
()若时,求外接圆的标准方程.
()当点在轴上运动时,将表示成的函数,并求函数的最小值.
【答案】见解析
【解析】解:
()时,圆为:
.
由题意设过点,圆的切线方程为,(不存在不成立),
则,
解得.
所以斜率为,为.
()由题意外接圆,圆心在轴上,设,
由题意,得,.
所以:
,
解得.
所以外接圆圆心为,
半径为.
所以圆.
()由()知得,,
所以,,,
所以
.
所以,
所以当时,取得最小值为.
22.(本小题满分分)
已知函数.
()在给定的平面直角坐标系中,画出函数的草图,并写出函数的单调区间(不必写作图过程,单调性不必证明).
()当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
()若函数,其中,函数恰有个零点,求实数的取值范围.
【答案】见解析
【解析】()在和上单调递增,
在上单调递减.
()由题意,在上恒成立,
即图像在下方,
由题意得.
()∴,
∵函数恰好有四个零点,
∴方程有四个解,
即有四个解,
即函数与的图象有四个交点,
,
作函数与的图象如下:
,
结合图象可知,
.
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