高中文科数学函数复习.docx
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高中文科数学函数复习
第二讲、函数
二.函数概念与基本初等函数I(指数函数、对数函数、幂函数)
(一)函数
1.了解函数、映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域。
2.理解函数的三种表示法:
解析法、图想法和列表法。
3.了解简单的分段函数,并能简单应用。
4.理解函数的单调性,会讨论和证明函数的单调性;理解函数的奇偶性,会判断函数的奇偶性。
5.理解函数的最大(小)值及其几何意义,并能求函数的最大(小)值。
6.会运用函数图像理解和讨论函数的性质。
(二)指数函数
1.了解指数函数模型的实际背景。
2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。
3.理解指数函数的概念,会解决与指数函数性质有关的问题。
(三)对数函数
1.理解对数的概念及其运算性质,会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用。
2.理解对数函数的概念,能解决与对数函数性质有关的问题。
(四)幂函数
1.了解幂函数的概念。
2.结合函数
的图象,了解它们的变化情况。
(五)函数与方程
了解函数零点的概念,能判断函数在某个区间上是否存在零点。
(六)函数模型及其应用
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征。
2.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。
1.函数的定义:
y=f(x),x∈A,其中x叫做自变量。
x的取值范围A叫做函数的定义域;
与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域
2.函数的相等:
函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定
因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数
3.映射的定义:
一般地,设A、B是两个集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么,这样的对应(包括集合A、B,以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:
A→B
由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射,它要求A、B非空且皆为数集
4.映射的概念中象、原象的理解:
(1)A中每一个元素都有象且唯一;
(2)B中每一个元素不一定都有原象,不一定只一个原象
5.函数的三种表示法
(1)解析法:
就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式
(2)列表法:
就是列出表格来表示两个变量的函数关系
(3)图象法:
就是用函数图象表示两个变量之间的关系
6.求函数解析式的题型有:
(1)已知函数类型,求函数的解析式:
待定系数法;
(2)已知
求
或已知
求
:
换元法、配凑法;
(3)已知函数图像,求函数解析式;
(4)
满足某个等式,这个等式除
外还有其他未知量,需构造另个等式解方程组法;
(5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等
题型讲解
例1
(1)已知
,求
;(配凑法)
(2)已知
是一次函数,且满足
,求
;
(3)已知
满足
,求
(方程组法)
7
求函数定义域一般有三类问题:
(1)给出函数解析式的:
函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合;
(2)实际问题:
函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意义;
(3)已知
的定义域求
的定义域或已知
的定义域求
的定义域:
①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域;
②若已知
的定义域
,其复合函数
的定义域应由
解出
8
求函数值域的各种方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的
其类型依解析式的特点分可分三类:
(1)求常见函数值域;
(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域
①直接法:
利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a
0)的定义域为R,值域为R;
反比例函数
的定义域为{x|x
0},值域为{y|y
0};
二次函数
的定义域为R,
当a>0时,值域为{
};
当a<0时,值域为{
}
②配方法:
转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:
的形式;
③分式转化法(或改为“分离常数法”)
④换元法:
通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;
⑤三角有界法:
转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;
⑥基本不等式法:
转化成型如:
,利用平均值不等式公式来求值域;
⑦单调性法:
函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域
⑧数形结合:
根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域
⑨逆求法(反求法):
通过反解,用
来表示
,再由
的取值范围,通过解不等式,得出
的取值范围;常用来解,型如:
函数单调性
1
证明函数单调性的一般方法:
①定义法:
设
;作差
,判断正负号
②用导数证明:
若
在某个区间A内有导数,则
在A内为增函数;
在A内为减函数
2
求单调区间的方法:
定义法、导数法、图象法
3
复合函数
在公共定义域上的单调性:
①若f与g的单调性相同,则
为增函数;
②若f与g的单调性相反,则
为减函数
注意:
先求定义域,单调区间是定义域的子集
4
一些有用的结论:
①奇函数在其对称区间上的单调性相同;
②偶函数在其对称区间上的单调性相反;
③在公共定义域内:
增函数
增函数
是增函数;
减函数
减函数
是减函数;
增函数
减函数
是增函数;
减函数
增函数
是减函数
④函数
在
上单调递增;在
上是单调递减
函数奇偶性
1
奇偶函数的性质:
(1)定义域关于原点对称;
(2)偶函数的图象关于
轴对称,奇函数的图象关于原点对称;
2
为偶函数
3
若奇函数
的定义域包含
,则
4
判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定义域不受影响;
5
牢记奇偶函数的图象特征,有助于判断函数的奇偶性;
6
判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:
,
7
设
,
的定义域分别是
,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇
奇=偶,偶+偶=偶,偶
偶=偶,奇
偶=奇
1
判断函数的奇偶性,必须按照函数的奇偶性定义进行,为了便于判断,常应用定义的等价形式:
f(-x)=±f(x)⇔f(-x)
f(x)=0;
2
讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称,要重视这一点;
3
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性
函数周期性
定义:
若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使
恒成立,则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期
反函数
1
反函数存在的条件:
从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数;
2
定义域、值域:
反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域,若
与
互为反函数,函数
的定义域为
、值域为
,则
,
;
3
单调性、图象:
互为反函数的两个函数具有相同的单调性,它们的图象关于
对称
4
求反函数的一般方法:
(1)由
解出
,
(2)将
中的
互换位置,得
,(3)求
的值域得
的定义域
二次函数
1
二次函数的图象及性质:
二次函数
的图象的对称轴方程是
,顶点坐标是
2
二次函数的解析式的三种形式:
用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式,即
,
和
(顶点式)
3
根分布问题:
一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题,用图象求解,有如下结论:
令f(x)=ax2+bx+c(a>0)
(1)x1<α,x2<α,则
;
(2)x1>α,x2>α,则
(3)α (4)x1<α,x2>β(α<β),则 (5)若f(x)=0在区间(α,β)内只有一个实根,则有 4 最值问题: 二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[α,β]上的最值一般分为三种情况讨论,即: (1)对称轴-b/(2a)在区间左边,函数在此区间上具有单调性;; (2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边 要注意系数a的符号对抛物线开口的影响 5 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系: ① f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴无交点 ax2+bx+c=0无实根 ax2+bx+c>0(<0)的解集为 或者是R; ② f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴相切 ax2+bx+c=0有两个相等的实根 ax2+bx+c>0(<0)的解集为 或者是R; ③ f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点 ax2+bx+c=0有两个不等的实根 ax2+bx+c>0(<0)的解集为 或者是 指数对数函数 1 根式的运算性质: ①当n为任意正整数时,( ) =a ②当n为奇数时, =a;当n为偶数时, =|a|= ⑶根式的基本性质: ,(a 0) 2 分数指数幂的运算性质: 3 的图象和性质 a>1
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