高考数学大一轮复习第五章平面向量51平面向量的概念及线性运算学案文doc.docx
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高考数学大一轮复习第五章平面向量51平面向量的概念及线性运算学案文doc
§5.1平面向量的概念及线性运算
基础知识
自主学习
最新考纲
考情考向分析
1.了解向量的实际背景.
2•理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.
3.理解向量的几何表示.
4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.
5.掌握向量数乘的运算及其儿何意义,理解两个向童共线的含义.
6.了解向量线性运算的性质及其儿何意义.
主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理常与三角函数、解析几何交汇考查,有时也会有创新的新定义问题;题型以选择题、填空题为主,属于中低档题目.偶尔会在解答题中作为工具出现.
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小,又有方向的量;向量的大小叫作向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为E的向量;其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于单位1的向量
非零向量£的单位向量为土石-
平行向量
(共线向
量)
表示两个向呈的有向线段所在的直线平行或重合
0与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向塑
两向量只有相等或不等,不能比较大小
相反向暈
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
a
(1)三角形法则
^7a
(2)平行四边形法则
(3)交换律:
a+A=Z>+a;
(4)结合律:
($+〃)+c=a+(b+
c)
减法
求a与6的相反向量
—6的和的运算
(5)形法则
a~b=a+(—方)
数乘
求实数久与向量0的
积的运算
(6)|心|=|A11a1;
(7)当久>0时,久日与$的方向相同;当久<0时,久$与2的方向相反;当久=0时,人a=0
(8)A(pa)=
(久P)a;
⑼(人+〃)£=Aa+ua;
(10)A(a+A)=Aa+
Ab
3.向量共线的判定定理
日是一个非零向量,若存在一个实数人,使得b=a,则向量0与非零向量0共线.
【知识拓展】
1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的
向量,即儿二几=岛”特别地,一个封闭图形,首尾连接而成的向量
和为零向量.
2.若P为线段初的中点,0为平面内任一点,则~0P=^(0A+7)B).
3.~0A=AOB+“为实数),若点昇,B,C共线,贝I」久+“=1.
•基础自测
题组一思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“或“X”)
(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段來表示向量.(X)
(2)|a|与|引是否相等与爲,6的方向无关.(V)
⑶若a//b,b//c,则a//c.(X)
(4)若向量乔与向量施共线向量,则B,C,〃四点在一条直线上.(X)
(5)当两个非零向量日,方共线时,一定有b=",反之成立.(V)
(6)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反.(X)
题组二教材改编
2.己知M磁的对角线化和別相交于点0,且OA=a,OB=b.则庞=,BC=
.(用a,b表示)
答案b~a—a—b
解析如图,DC=AB=OB-~OA=b-a,~BC=OC-OB=-OA-OB=-a~b.
3.在平行四边形肋CZ?
中,若|乔+劝=|乔一劝,则四边形必6的形状为
答案矩形
解析如图,因为乔+乔=庞;AB-AD=DB,所以|初=|励.
由对角线长相等的平行四边形是矩形可知,四边形/刃皿是矩形.
题组三易错自纠
4.对于非零向量a,b,“a+6=0”是W的(
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分乂不必要条件
答案A
解析若a+b=O,则a=—b,所以a//b.
若a//b,则日+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要条件.
5.设向量日,b不平行,向量Aa+b与$+2方平行,则实数A=.
答案I
解得A=jj=£.
解析•・•向量方不平行,."+26H0,又向量Aa+b与廿2方平行,则存在唯一的实数
P,使^a+b=p(a+22?
)成立,即Aa+b=pa+2ub,则<
]2—►—►
6.设〃,F分别是△初C的边個%上的点,AD=~AB,BE=§BC.若辰儿為+仏花(几
人2为实数),则儿+久2的值为・
答案7
21久2=§,即人1+久2=$
题型分类深度剖析
真题典題深度剖析童点难点多维探完
题型一平面向量的概念-•””•“““-••“•自主演练
1.有下列命题:
①两个相等向量,它们的起点相同,终点也相同;②若\a\=\b\,则a=b;③若|丽=|死|,则四边形個⑦是平行四边形;④若m=n,n=k,则m=k;⑤若刃〃方,b//c,则曰〃6⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段.其中,假命题的个数是()
A.2B.3
C.4D・5
答案C
解析对于①,两个相等向量,它们的起点相同,终点也相同,①正确;对于②,若|引=
b\,方向不确定,则日,b不一定相等,.••②错误;对于③,若|M|=|〃C|,~AB.〃6不一定相等,.•・四边形個⑦不一定是平行四边形,③错误;对于④,若口=刀,n=k,则m=k,④正确;对于⑤,若a//b,b//c,当6=0时,a//c不一定成立,.••⑤错误;对于⑥,有向线段不是向虽,向虽可以用有向线段表示,
・・・⑥错误.综上,假命题是②③⑤⑥,共4个,故选C.
2.设越为单位向量,①若$为平面内的某个向量,则a=laia,;②若2与越平行,贝2=|a|a.;③若2与禺平行且|a|=l,则a=a..±述命题中,假命题的个数是()
A.0B.1
C.2D.3
答案D
解析向量是既有大小又有方向的量,日与I引戲的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与戲平行,则$与戲的方向有两种情况:
一是同向,二是反向,反向时a=—|a|a.,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.
思维升华向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度.
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.
(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任何向量共线.
题型二平面向量的线性运算
命题点1向量的线性运算
典例
(1)(2018届贵州遵义航天高级中学一模)如图所示,向量OA=a,OB=b,OC=c、昇,B,
c在一条直线上,且走贝9(
)
B.
3,1
A.c=-b-~a
c=\a~\b
C.c=—a+2b
答案A
D.
c=a+2b
解析由庞'=一3励,可得~OC-OA=-3(OB-~OC),
r3—►]—►3|
则OC=^OB—-OA=:
^b—-a>故选A.
⑵(2017•青海西宁一模)如图,在中,点〃在腮边上,且CD=2DB,点E在初边上,
AAD=^AE,则用向量乔,天表示埶()
答案B
D.
解析由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得~CE=~AE-AC=^Ab-AC=^(AB+^O
-AC
命题点2根据向量线性运算求参数
典例
(1)(2018届河北省武邑中学调研)如图,在平行四边形加砂中,AQ血相交于点0,
0为线段〃。
的中点.若庞=人励+〃励(人,UWR),贝IJ久+〃等于()
4D
321A.1B.[C.~D.~
答案B
解析・・・F为线段加的中点,
—►丄一A―A―A
BA+~BD=ABA+uBD,
i13
・••久+〃=2+4=4,故选B*
⑵在△/!
虑中,点〃在线段〃C的延长线上,且虑=3⑦点0在线段Q?
上(与点C,〃不重
合),若AO=xAB+-x)AQ
则比的取值范围是()
B.
A.(0,|
D.
(0,|
C.
答案D解析设CO=yBC,9:
AO=AC+Cd=AC+yBC=AC+y(AC-A^)=-yAB+{l+y)AC.
•:
衣=血点0在线段〃上(与点G〃不重合),
•••死=匚莎+(1_方庞;
Ax=~y,
思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的儿何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.
(2)求己知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则;求差用三角形法则;求首尾相连向量的和用三角形法则.
(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系,通过向量的运算将向量表示出來,进行比较,求参数的值.
跟踪训练
(1)(2017•江西赣州二模)如图,已知AB=a,~AC=b,~DC=3BD,7e=2EC,则庞等于()
答案D
解析由平面向量的三角形法则可知,
—~AC
35
=—故选D.
(2)如图,直线矿与平行四边形/I妙的两边加?
,畀〃分别交于/F两点,且与对角线
交于点其中,AE=vAB,AF=-ADf~AK=AAC,贝ij4的值为.
2]解析皿祚旋亦=評,
:
.7b=…庞;乔=2旋
由向呈加法的平行四边形法则可知,
农=為+乔,:
.Ak=AAC=4(AB+Ab)
=A=扌久旋+2久旋
59
•:
E,F,斤三点共线,・•・㊁人+2人=1,A=-题型三向量共线定理的应用》师生共研
典例设两个非零向量0与〃不共线.
⑴若AB=a+b,BC=2a+8b,励=3(日一勿,求证:
J,B,〃三点共线;
(2)试确定实数乩使ka+b和曰+肋共线.
(1)证明*:
AB=a+b,貶=2a+8方,励=3@—方),:
.BD=BC+cb=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a~3b=5(a+b)=5乔,
・••亦触线.
又•・•它们有公共点〃,・•・/,B,〃三点共线.
(2)解假设ka+b与a+kb共线,
则存在实数久,使ka+b=A(a+kb)f
即(k—久)a=(久斤一1)方.
又〃是两个不共线的非零向量,
:
・k—人=人&―'1=0.
消去人,得护一1=0,k=±l.
引申探究
若将本例
(1)中“貶=2$+86”改为“衣=aib”,则刃为何值时,畀,B,〃三点共线?
解BC+CD=(a+mH}+3(a—th=4a+(/〃一3)b,即BD=4a~\~S—3)b.
若弭,B,〃三点共线,则存在实数Af使~BD=
即4日+(zz7—3)b—人(a+/>).
4=A,冷o]解得仍=7.
刃—3=A,
故当m=7时,A,B,〃三点共线.
思维升华
(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别
与联系.当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
(2)向量⑦b共线是指存在不全为零的实数几仏,使久山+仏〃=0成立,若久山+久』
=0,当且仅当久1=仏=0时成立,则向量日,b不共线.
跟踪训练⑴(2017・资阳模拟)已知向量乔=2+仏花=5曰+3方,励=一3$+3厶则()
A.A,B,C三点共
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