全国初中数学竞赛试题及答案Word下载.docx
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一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
1(甲).如果实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,那么代数式可以化简为().
(第1(甲)题)
(A)2c-a(B)2a-2b(C)-a(D)a
1(乙).如果,那么的值为().
(A)(B)(C)2(D)
2(甲).如果正比例函数y=ax(a≠0)与反比例函数y=(b≠0)的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为().
(A)(2,3)(B)(3,-2)(C)(-2,3)(D)(3,2)
2(乙).在平面直角坐标系中,满足不等式x2+y2≤2x+2y的整数点坐标(x,y)的个数为().
(A)10(B)9(C)7(D)5
3(甲).如果为给定的实数,且,那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是().
(A)1(B)(C)(D)
3(乙).如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,△ABC是等边三角形.,AD=3,BD=5,则CD的长为
().
(第3(乙)题)
(A)(B)4(C)(D)4.5
4(甲).小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:
“你若给我2元,我的钱数将是你的n倍”;
小玲对小倩说:
“你若给我n元,我的钱数将是你的2倍”,其中n为正整数,则n的可能值的个数是().
(A)1(B)2(C)3(D)4
4(乙).如果关于x的方程是正整数)的正根小于3,那么这样的方程的个数是().
(A)5(B)6(C)7(D)8
5(甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为,则中最大的是().
(A)(B)(C)(D)
5(乙).黑板上写有共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数,然后删去,并在黑板上写上数,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是().
(A)2012(B)101(C)100(D)99
二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
6(甲).按如图的程序进行操作,规定:
程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>
487?
”为一次操作.如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是.
(第6(甲)题)
6(乙).如果a,b,c是正数,且满足,,那么的值为.
7(甲).如图,正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB,BC的中点,AF与DE,DB分别交于点M,N,则△DMN的面积是.
(第7(甲)题) (第7(乙)题)
7(乙).如图,的半径为20,是上一点.以为对角线作矩形,且.延长,与分别交于两点,则的值等于.
8(甲).如果关于x的方程x2+kx+k2-3k+=0的两个实数根分别为,,那么的值为.
8(乙).设为整数,且1≤n≤2012.若能被5整除,则所有的个数为.
9(甲).2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:
每场比赛胜者得3分,负者得0分;
平局各得1分.比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m的值为.
9(乙).如果正数x,y,z可以是一个三角形的三边长,那么称是三角形数.若和均为三角形数,且a≤b≤c,则的取值范围是.
10(甲).如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,AD=DC.分别延长BA,CD,交点为E.作BF⊥EC,并与
EC的延长线交于点F.若AE=AO,BC=6,则CF的长为.
(第10(甲)题)
10(乙).已知是偶数,且1≤≤100.若有唯一的正整数对使得成立,则这样的的个数为.
三、解答题(共4题,每题20分,共80分)
11(甲).已知二次函数,当时,恒有;
关于x的方程的两个实数根的倒数和小于.求的取值范围.
11(乙).如图,在平面直角坐标系xOy中,AO=8,AB=AC,sin∠ABC=.
CD与y轴交于点E,且S△COE=S△ADE.已知经过B,C,E三点的图象是一条抛物线,求这条抛物线对应的二次函数的解析式.
(第11(乙)题)
12(甲).如图,的直径为,过点,且与内切于点.为上的点,与交于点,且.点在上,且,BE的延长线与交于点,求证:
△BOC∽△.
(第12(甲)题)
12(乙).如图,⊙O的内接四边形ABCD中,AC,BD是它的对角线,AC的中点I是△ABD的内心.求证:
(1)OI是△IBD的外接圆的切线;
(2)AB+AD=2BD.
(第12(乙)题)
13(甲).已知整数a,b满足:
a-b是素数,且ab是完全平方数.当a≥2012时,求a的最小值.
13(乙).凸边形中最多有多少个内角等于?
并说明理由
14(甲).求所有正整数n,使得存在正整数,满足,且.
14(乙).将(n≥2)任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数(可以相同)使得,求的最小值.
2012年全国初中数学竞赛试题(正题)参考答案
一、选择题
1(甲).C
解:
由实数a,b,c在数轴上的位置可知
,且,
所以.
1(乙).B
.
2(甲).D
由题设知,,,所以.
解方程组得
所以另一个交点的坐标为(3,2).
注:
利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2).
2(乙).B
由题设x2+y2≤2x+2y,得0≤≤2.
因为均为整数,所以有
解得
以上共计9对.
3(甲).D
解:
由题设知,,所以这四个数据的平均数为
,
中位数为,
于是.
3(乙).B
如图,以CD为边作等边△CDE,连接AE.
由于AC=BC,CD=CE,
∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE,
所以△BCD≌△ACE,BD=AE.
又因为,所以.
在Rt△中,
于是DE=,所以CD=DE=4.
4(甲).D
设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,均为非负整数.由题设可得
消去x得(2y-7)n=y+4,
2n=.
因为为正整数,所以2y-7的值分别为1,3,5,15,所以y的值只能为4,5,6,11.从而n的值分别为8,3,2,1;
x的值分别为14,7,6,7.
4(乙).C
由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为,故方程的根为一正一负.由二次函数的图象知,当时,,所以,即.由于都是正整数,所以,1≤q≤5;
或,1≤q≤2,此时都有.于是共有7组符合题意.
5(甲).D
掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以,因此最大.
5(乙).C
因为,所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加1后的乘积不变.
设经过99次操作后黑板上剩下的数为,则
解得,.
二、填空题
6(甲).7<x≤19
前四次操作的结果分别为
3x-2,3(3x-2)-2=9x-8,3(9x-8)-2=27x-26,3(27x-26)-2=81x-80.
由已知得27x-26≤487,
81x-80>487.
解得7<x≤19.
容易验证,当7<x≤19时,≤487≤487,故x的取值范围是
7<x≤19.
6(乙).7
由已知可得
7(甲).8
连接DF,记正方形的边长为2.由题设易知△∽△,所以
,
由此得,所以.
(第7(甲)题)
在Rt△ABF中,因为,所以
由题设可知△ADE≌△BAF,所以,
.
于是,
.
又,所以.
因为,所以.
7(乙).
如图,设的中点为,连接,则.因为,所以
(第7(乙)题)
所以.
8(甲).
根据题意,关于x的方程有
=k2-4≥0,
由此得(k-3)2≤0.
又(k-3)2≥0,所以(k-3)2=0,从而k=3.此时方程为x2+3x+=0,解得x1=x2=.
故==.
8(乙).1610
因为==.
当被5除余数是1或4时,或能被5整除,则能被5整除;
当被5除余数是2或3时,能被5整除,则能被5整除;
当被5除余数是0时,不能被5整除.
所以符合题设要求的所有的个数为.
9(甲).8
设平局数为,胜(负)局数为,由题设知
由此得0≤b≤43.
又,所以.于是
0≤≤43,
87≤≤130,
由此得,或.
当时,;
当时,,,不合题设.
故.
9(乙).≤1
解:
由题设得
所以,
即.
整理得
由二次函数的图象及其性质,得.
又因为≤1,所以≤1.
10(甲).
如图,连接AC,BD,OD.
由AB是⊙O的直径知∠BCA=∠BDA=90°
.
依题设∠BFC=90°
,四边形ABCD是⊙O
的内接四边形,所以
∠BCF=∠BAD,
所以Rt△BCF∽Rt△BAD,因此.
因为OD是⊙O的半径,AD=CD,所以OD垂直平分AC,OD∥BC,
于是.因此
由△∽△,知.因为,
所以,BA=AD,故
10(乙).12
由已知有,且为偶数,所以同为偶数,于是是4的倍数.设,则1≤≤25.
(Ⅰ)若,可得,与b是正整数矛盾.
(Ⅱ)若至少有两个不同的素因数,则至少有两个正整数对满足;
若恰是一个素数的幂,且这个幂指数不小于3,则至少有两个正整数
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