步步高高中数学北师大版必修5练习第一章 数列 单元检测B含答案解析Word下载.docx
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C.16D.24
7.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a10-a12的值为( )
A.10B.11
C.12D.13
8.已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和,若a2·
a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为,则S5等于( )
A.35B.33
C.31D.29
9.已知等差数列{an}中,Sn是它的前n项和.若S16>
0,且S17<
0,则当Sn最大时n的值为( )
A.8B.9
C.10D.16
10.已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成一个首项为的等比数列,则|m-n|等于( )
A.1B.
C.D.
11.将正偶数集合{2,4,6,…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组:
{2,4},{6,8,10,12},{14,16,18,20,22,24},….则2010位于第( )组.
A.30B.31
C.32D.33
12.a1,a2,a3,a4是各项不为零的等差数列且公差d≠0,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列,则的值为( )
A.-4或1B.1
C.4D.4或-1
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.定义“等和数列”:
在一个数列中,如果每一项与它后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.
已知数列{an}是等和数列,且a1=-1,公和为1,那么这个数列的前2011项和S2011=________.
14.等差数列{an}中,a10<
0,且a11>
|a10|,Sn为数列{an}的前n项和,则使Sn>
0的n的最小值为__________.
15.某纯净水厂在净化过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质的20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需过滤的次数为________.(lg2≈0.3010)
16.数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则它的通项公式是________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)数列{an}中,a1=,前n项和Sn满足Sn+1-Sn=()n+1(n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn;
(2)若S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列,求实数t的值.
18.(12分)已知点(1,2)是函数f(x)=ax(a>
0且a≠1)的图象上一点,数列{an}的前n项和Sn=f(n)-1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=logaan+1,求数列{anbn}的前n项和Tn.
19.(12分)设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知S3,S4的等比中项为S5;
S3,S4的等差中项为1,求数列{an}的通项公式.
20.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=nan-2n(n-1).
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)设数列{}的前n项和为Tn,求证:
≤Tn<
.
21.(12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn,已知a1=1,b1=3,a2+b2=8,T3-S3=15.
(1)求{an},{bn}的通项公式;
(2)若数列{cn}满足a1cn+a2cn-1+…+an-1c2+anc1=2n+1-n-2对任意n∈N+都成立,求证:
数列{cn}是等比数列.
22.(12分)甲、乙两大超市同时开业,第一年的全年销售额为a万元,由于经营方式不同,甲超市前n年的总销售额为(n2-n+2)万元,乙超市第n年的销售额比前一年销售额多an-1万元.
(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式;
(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购,判断哪一超市有可能被收购?
如果有这种情况,将会出现在第几年?
第一章 数 列(B)
答案
1.B [S5==5a3=10.]
2.B [∵3S3=a4-2,3S2=a3-2.
∴3(S3-S2)=a4-a3,∴3a3=a4-a3.
∴a4=4a3.∴q=4.]
3.C [当项数n为偶数时,由S偶-S奇=d知30-15=5d,∴d=3.]
4.B [T5=a1a2a3a4a5=(a1a5)(a2a4)a3=a53=1.∴a3=1.]
5.A [q3==,∴q=.
∵a1+a3=a1(1+q2)=a1=10,∴a1=8.∴an=a1·
qn-1=8·
()n-1=24-n.]
6.C [∵S10=6,S5=2,S10=3S5.∴q≠1.
∴∴=1+q5=3.q5=2.
∴a16+a17+a18+a19+a20=(a1+a2+a3+a4+a5)q15=S5·
q15=2×
23=16.]
7.C [a4+a6+a8+a10+a12=(a4+a12)+(a6+a10)+a8=5a8=120,a8=24.
∴a10-a12=(2a10-a12)=[2(a1+9d)-(a1+11d)]=(a1+7d)=a8=12.]
8.C [设公比为q(q≠0),则由a2a3=2a1知a1q3=2,∴a4=2.
又a4+2a7=,∴a7=.∴a1=16,q=.∴S5===31.]
9.A [∵S16==8(a8+a9)>
0,
∴a8+a9>
0.
∵S17==17a9<
∴a9<
0,∴a8>
0.故当n=8时,Sn最大.]
10.B [易知这四个根依次为:
,1,2,4.不妨设,4为x2-mx+2=0的根,
1,2为x2-nx+2=0的根.∴m=+4=,n=1+2=3,∴|m-n|=|-3|=.]
11.C [∵前n组偶数总的个数为:
2+4+6+…+2n==n2+n.
∴第n组的最后一个偶数为2+[(n2+n)-1]×
2=2n(n+1).
令n=30,则2n(n+1)=1860;
令n=31,则2n(n+1)=1984;
令n=32,则2n(n+1)=2112.
∴2010位于第32组.]
12.A [若删去a1,则a2a4=a,
即(a1+d)(a1+3d)=(a1+2d)2,化简,得d=0,不合题意;
若删去a2,则a1a4=a,
即a1(a1+3d)=(a1+2d)2,化简,得=-4;
若删去a3,则a1a4=a,
即a1(a1+3d)=(a1+d)2,化简,得=1;
若删去a4,则a1a3=a,
即a1(a1+2d)=(a1+d)2,化简,得d=0,不合题意.故选A.]
13.1004
解析 a1=-1,a2=2,a3=-1,a4=2,…,
∴a2011=-1,∴S2011=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2009+a2010)+a2011=1005×
1+(-1)
=1004.
14.20
解析 ∵S19==19a10<
0;
S20==10(a10+a11)>
∴当n≤19时,Sn<
当n≥20时,Sn>
故使Sn>
0的n的最小值是20.
15.14
解析 设原杂质数为1,各次过滤杂质数成等比数列,且a1=1,公比q=1-20%,
∴an+1=(1-20%)n,由题意可知:
(1-20%)n<
5%,即0.8n<
0.05.
两边取对数得nlg0.8<
lg0.05,
∵lg0.8<
0,∴n>
,
即n>
==≈≈13.41,取n=14.
16.an=
解析 当n=1时,
a1=S1=3-2+1=2.
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5.
则当n=1时,6×
1-5=1≠a1,
∴an=.
17.解
(1)由Sn+1-Sn=()n+1得an+1=()n+1(n∈N+),
又a1=,故an=()n(n∈N+).
从而Sn==[1-()n](n∈N+).
(2)由
(1)可得S1=,S2=,S3=.
从而由S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列得+3×
(+)=2×
(+)t,解得t=2.
18.解
(1)把点(1,2)代入函数f(x)=ax得a=2,
所以数列{an}的前n项和为Sn=f(n)-1=2n-1.
当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,
对n=1时也适合,
∴an=2n-1.
(2)由a=2,bn=logaan+1得bn=n,
所以anbn=n·
2n-1.
Tn=1·
20+2·
21+3·
22+…+n·
2n-1,①
2Tn=1·
21+2·
22+3·
23+…+(n-1)·
2n-1+n·
2n.②
由①-②得:
-Tn=20+21+22+…+2n-1-n·
2n,
所以Tn=(n-1)2n+1.
19.解 设等差数列{an}的首项a1=a,公差为d,则Sn=na+d,依题意,有
整理得
∴a=1,d=0或a=4,d=-.
∴an=1或an=-n,
经检验,an=1和an=-n均合题意.
∴所求等差数列的通项公式为an=1或an=-n.
20.
(1)解 由Sn=nan-2n(n-1)得
an+1=Sn+1-Sn=(n+1)an+1-nan-4n,
即an+1-an=4.
∴数列{an}是以1为首项,4为公差的等差数列,
∴an=4n-3.
(2)证明 Tn=++…+
=+++…+
=(1-+-+-+…+-)
=(1-)<
又易知Tn单调递增,故Tn≥T1=,得≤Tn<
21.
(1)解 设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q(q>
0).
由题意得
解得∴an=n.bn=3×
(2)证明 由cn+2cn-1+…+(n-1)c2+nc1=2n+1-n-2,
知cn-1+2cn-2+…+(n-2)c2+(n-1)c1=2n-(n-1)-2(n≥2).
两式相减:
cn+cn-1+…+c2+c1=2n-1(n≥2),
∴cn-1+cn-2+…+c2+c1=2n-1-1(n≥3),
∴cn=2n-1(n≥3).
当n=1,2时,c1=1,c2=2,适合上式.
∴cn=2n-1(n∈N+),即{cn}是等比数列.
22.解
(1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an,bn.则有:
a1=a,n≥2时:
an=(n2-n+2)-[(n-1)2-(n-1)+2]=(n-1)a.
∴an=
bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)
=a+a+a2+…+an-1
=a,(n∈
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