二项式定理教学设计AWord格式文档下载.docx
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现在的学生字母运算能力普遍偏弱,多个多项式的乘法对运算要求又较高,而本节课又需要进行多个多项式的乘法去观察展开式的特征,因此,解决运算问题是本节课的第一个教学问题.解决方案:
运用图形计算器的代数运算功能,可以让学生快速得到正确结果,让学生把主要精力用在观察、发现规律上.
2.教学问题二:
怎样发现二项式展开式的规律是本节课的第二个教学问题.这不仅是本节课的重点,也是教学难点.解决方案:
通过比较多项式展开式中项与项的异同点,得出的展开式的项的规律,从而得到二项式定理的内容.
3.教学问题三:
如何证明二项式定理是第三个教学问题.学生很容易把发现二项式展开式的过程就当成二项式定理的证明过程.二项式定理的证明可以用数学归纳法,但难度较大.较为恰当的选择是把发现二项式定理过程中用到的组合计数模型来证明.解决方案:
通过对的展开式项的分析,并用组合数进行刻画,由此用组合数对一般的展开式进行刻画.
基于上述情况,本节课的教学难点定为:
发现及归纳二项式展开式系数的规律.
四、教学策略分析
本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.为了让学生通过观察、归纳得到二项式定理,应该为学生创造积极探究的平台.因此,在教学过程中使用TI-图形计算器.既可以解决多项式乘法的复杂计算问题,也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来.
在教学设计中,采取问题引导方式来组织课堂教学.问题的设置给学生留有充分的思考空间,让学生围绕问题主线,通过自主探究达到突出教学重点,突破教学难点.
在教学过程中,重视二项式定理的发现与证明,让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程,同时,定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范.因此,本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.
五、教学过程与设计
教学环节
问题或任务
师生活动
设计意图
回
顾
前
知
引
出
猜
想
[问题1]有人说
的展开式中
有项,你认为对
吗?
若有,它的系数是多少?
[问题2]为了解决问题1,需要用到的展开,你认为这个展开式式会怎样呢?
教师1:
提出问题1.
学生1:
学生思考.
教师2:
提出问题2.
学生2:
教师3:
观察、、、
、的展开式,你能得到哪些规律?
学生3:
利用图形计算器CAS的expand()函数,得出、、的展开式.
教师4:
根据你所计算的结果,填对应表格.
学生4:
发现项数、项的次数、项的系数并猜想:
问题引入.
提出问题.
引导学生通过对特殊情形的观察,归纳猜想一般情形的基本特征.
教师引导,学生根据所得具体的展开式,从展开式中的项数、项的次数、项的系数等角度进行归纳,并根据归纳所得猜想一般的展开式的结果.
学生体会由特殊到一般的归纳猜想的过程.
探
寻
规
律
获
得
结
论
[问题3]猜想一:
中的?
教师5:
提出问题3.
学生5:
引起思考,并提出想法.
教师6:
提出问题:
在中,为什么“,,,”?
学生6:
展开式计算,寻找答案.
教师7:
与是什么关系?
当,时,.
探究展开式的特点.
学生7:
利用图形计算器的CAS功能中expand()函数,得出的展开式.
教师8:
引导学生分析展开式的各项,并提出问题在展开式中为什么没有项,等项?
学生8:
学生根据所得的计算结果,观察得到展开式的项的特点:
展开式中的每一项是由每个括号中“取且只取”一个字母相乘得到的.
教师9:
通过表格呈现特殊与
的展开式的
并提出问题:
中,为什么?
学生9:
展开式中的项是由展开式中的项,,去掉足码得到,,后合并同类项得到.从三个括号中的一个括号选择“”剩余两个括号选择“”构成的,因为从三个括号中的一个括号选择“”,一旦确定哪个括号选“”,剩余两个括号选择也就确定了,因为“”有三种选择,所以对应同类项的个数就为,即“”的系数为.
教师10:
能否用计数模型进行解释?
学生10:
“”可以看成是从三个括号中选择一个括号选“”,剩余两个括号选择“”,完成这件事的所有可能,要做这件是,我们可分成两步来完成:
第一、从三个括号中选择一个括号选“”,有种选择;
第二、剩余两个括号选择“”就种选法,故有种选法,所以,.依此可以得到其它系数的组合数形式:
.
教师11:
根据所得展开式的规律,你能否得猜想的展开式中的值?
学生11:
一般问题回到特殊情形进行研究.
把问题回到已知的结构进行处理.
学生通过计算器得到计算结果.
教师通过引导学生对展开式各项构成的观察,得到项的构成.
通过特殊与一般的项的关系对比,得到对系数意义的理解.
根据展开式系数即同类项的个数这一结论,引导同学们通过一般到特殊,用组合计数模型对各项系数进行研究.
得到展开式系数的猜想.
证明
定理
明晰概念
[问题3]你能证明
[问题4]从数列的角度看二项式展开式,你能获得什么认识?
[问题5]你能根据
的展开式得出的展开式吗?
[课堂练习1]
(1)求的展开式;
(2)求的展开式.
[课堂练习2]
求展开式中的系数.
教师12:
学生12:
提出想法.
教师13:
你认为证明问题3,关键是几步?
学生13:
(1)项的结构;
(2)项的系数.
教师14:
证明:
是个相乘,根据多项式的乘法,展开式每一项都满足().
对项()看成问题:
从个括号中选择个括号选“”,剩余括号选择“”,相乘而成.可这样设计计数模型,要做这件事,可分成两步来完成:
第一、从个括号中选择个括号选“”,有种选择;
第二、剩余括号选择“”就种选法,
根据分步计数原理有种选法.
所以,项的同类项有,故的系数为().
所以,展开式每一项满足().
教师15:
上述公式叫二项式定理,展开式共有项,其中各项的系数()叫做二项式系数.
教师16:
提出问题4.
学生14:
二项展开式可以看成是一个数列的和,数列的通项公式是,表示数列第项.
教师17:
二项式展开式的通项是展开式中第项:
学生15:
根据二项式定理,把化成的形式,把此式子中的“”看成二项式定理中的“”即可得到结论(写出具体展开式).
教师18:
布置课堂练习1、2.
学生16:
完成课堂练习,并通过计算器核对答案.
由归纳猜想到理论证明.
引导提炼学生提炼证明要点.
强调规范表达.
明晰概念.
学生从数列的角度获得对二项式展开式的再认识.
让学生体会利用二项式定理模型进行计算,感受数学模型的在数学应用中的价值.
[课堂练习1]
熟悉二项式定理模型.
[课堂练习2]让学生体会用通项公式表示展开式的简洁性.
课堂小结
升华认知
[问题6] 你从二项式定理的发现、证明与应用的过程中体会到一些什么?
[课后练习]
1.写出的展开式.
2.写出的展开式的第项.
[课后思考]
1.的展开式为.
2.请同学们观察下表(我国宋朝时期数学家杨辉所做的一个表),你有什么发现?
教师19:
提出问题6.
学生17:
本节课获取二项式定理的过程:
先由特殊察、、的展开式猜想一般的展开式项的结构,再通过对特殊形式展开式项的研究得到的展开式项的规律,最后进行理论证明;
课堂展示了获取一个一般性结论的过程:
首先要通过特殊到一般进行猜想结论,体现了数学抽象过程;
其次,得到猜想后,要进行理论论证,体现了数学逻辑推理;
最后,得到结论后,要以此为模型进行应用,体现了数学模型的应用.
学生18:
学生课后进行思考,并完成课后练习.
师生共同回顾总结.引领学生感悟数学认知的过程,体会数学核心素养.
课后练习是对定理巩固,思考练习是对本节知识的一个深化认识,同时也为下节内容做好铺垫.
知识落实为明线核心素养为暗线
——课例《二项式定理》点评
《二项式定理》是高中数学教学的一个难点.此定理规律的发现与证明很好的体现了获取一个一般性的结论的基本过程.我们知道,学生在学习某一项知识之前,头脑里并非一片空白。
他们通过学习、生活的各种经历,已经形成了一些科学的或非科学的概念、经验和一套他们独有的思维方式。
黄文辉老师善于从已知(“最近发展区”)出发,“采用问题引导”,置疑、思疑和解疑,循循善诱、化难为易;
他既以学生为主体,将课堂还给学生,又注意“发挥教师引导作用”。
作用→反馈→再作用→再反馈,在这种反复的信息交互中,学生由表及里、思维不断优化,教学目标逐步实现;
他“注重知识的发生过程”,与学生共同经历从个别现象,探索、挖掘、发现普遍规律的心路历程,感受数学之美,潜移默化的发展了学生的科学创新能力;
他突出重点,强化数学核心素养训练,通过“建构计数原理模型”,演绎证明猜想,形成定理,提升了学生严谨的科学态度和逻辑思辨能力.
具体来说,有以下几个特点:
1、现代技术为更好的实现教学目标服务.本节课的主题是探究规律、发现结论、证明定理,计算不是本节课的任务,但要完成对规律的探究,又必须借助于一些特殊多项式的展开式,故图形计算器在课堂上的使用,能使学生从繁杂的计算中解放出来,更注重于教学的核心任务.
2、整个设计充分体现了由特殊到一般的抽象过程。
在课堂教学中核心素养的培养不是仅仅停留在口头上,本节课的设计很好的诠释了这一点,教师通过问题引导学生不断的通过多个特殊形式的展开式的特点引导学生观察、归纳出一般性的规律,让学生充分感受了数学抽象的过程。
3、问题的生成是自然的。
整节课的问题,教师没有生硬的塞给学生,而是在学生
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- 二项式 定理 教学 设计