数学高考真题北京卷文精校版Word文档格式.docx

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答案　B

解析　第一步：

s＝1－

，k＝2，k＜3；

第二步：

s＝

，k＝3，输出s.故选B.

4．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　a，b，c，d是非零实数，若a＜0，d＜0，b＞0，c＞0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列（可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3）．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．故选B.

5．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展作出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12

.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（　　）

A．3

fB．3

fC．12

fD．12

f

解析　由题意知，这十三个单音的频率构成首项为f、公比为12

的等比数列，则第八个单音的频率为（12

）7f＝12

f.

6．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　C

解析　由三视图得到空间几何体，如图所示，

则PA⊥平面ABCD，平面ABCD为直角梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，

所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC.

又BC⊥AB，AB∩PA＝A，

AB，PA⊂平面PAB，

所以BC⊥平面PAB.

又PB⊂平面PAB，

所以BC⊥PB.

在△PCD中，PD＝2

，PC＝3，CD＝

，

所以△PCD为锐角三角形．

所以侧面中的直角三角形为△PAB，△PAD，△PBC，共3个．故选C.

7．在平面直角坐标系中，

是圆x2＋y2＝1上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（　　）

B.

C.

D.

解析　由题意知，四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，在

上，tanα＞sinα，不满足；

在

上，sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，且cosα＞tanα，满足；

上，tanα＞0，sinα＜0，cosα＜0，不满足．

故选C.

8．设集合A＝{（x，y）|x－y≥1，ax＋y＞4，x－ay≤2}，则（　　）

A．对任意实数a，（2,1）∈A

B．对任意实数a，（2,1）∉A

C．当且仅当a＜0时，（2,1）∉A

D．当且仅当a≤

时，（2,1）∉A

解析　若点（2,1）∈A，则不等式x－y≥1显然成立，且同时要满足

即

解得a＞

.

即点（2,1）∈A⇒a＞

其等价命题为a≤

⇒点（2,1）∉A.

故选D.

二、填空题

9．设向量a＝（1,0），b＝（－1，m）．若a⊥（ma－b），则m＝________.

答案　－1

解析　a＝（1,0），b＝（－1，m），则ma－b＝（m＋1，－m）．

由a⊥（ma－b），得a·

（ma－b）＝0，

即m＋1＝0，得m＝－1.

10．已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．

答案　（1,0）

解析　由题意知，直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为（1，±

2

）（a＞0）．

又直线被抛物线截得的线段长为4，

所以4

＝4，即a＝1.

所以抛物线的焦点坐标为（1,0）．

11．能说明“若a＞b，则

＜

”为假命题的一组a，b的值依次为________．

答案　1，－1（答案不唯一）

解析　只要保证a为正b为负即可满足要求．

当a＞0＞b时，

＞0＞

12．若双曲线

＝1（a＞0）的离心率为

，则a＝________.

答案　4

解析　由e＝

知，

∴a2＝16.

又∵a＞0，∴a＝4.

13．若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________．

答案　3

解析　由条件得

作出可行域，如图中阴影部分所示．

设z＝2y－x，即y＝

x＋

z，

作直线l0：

y＝

x并向上平移，显然当l0过点A（1,2）时，z取得最小值，zmin＝2×

2－1＝3.

14．若△ABC的面积为

（a2＋c2－b2），且∠C为钝角，则∠B＝________；

的取值范围是________．

答案　

　（2，＋∞）

解析　由余弦定理得cosB＝

∴a2＋c2－b2＝2accosB.

又∵S＝

（a2＋c2－b2），

∴

acsinB＝

×

2accosB，

∴tanB＝

，又∠B∈（0，π），

∴∠B＝

又∵∠C为钝角，∴∠C＝

－∠A＞

∴0＜∠A＜

由正弦定理得

·

∵0＜tanA＜

，∴

＞

＝2，

＞2.

的取值范围是（2，＋∞）．

三、解答题

15．设{an}是等差数列，且a1＝ln2，a2＋a3＝5ln2.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求ea1＋ea2＋…＋ean.

解　

（1）设{an}的公差为d.

因为a2＋a3＝5ln2，所以2a1＋3d＝5ln2.

又a1＝ln2，所以d＝ln2.

所以an＝a1＋（n－1）d＝nln2（n∈N*）．

（2）因为ea1＝eln2＝2，

＝ean－an－1＝eln2＝2，

所以数列{ean}是首项为2，公比为2的等比数列，

所以ea1＋ea2＋…＋ean＝

＝2（2n－1）＝2n＋1－2（n∈N*）．

16．已知函数f（x）＝sin2x＋

sinxcosx.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）若f（x）在区间

上的最大值为

，求m的最小值．

解　

（1）f（x）＝sin2x＋

sinxcosx

cos2x＋

sin2x

＝sin

所以f（x）的最小正周期为T＝

＝π.

（2）由

（1）知，f（x）＝sin

由题意知－

≤x≤m，

所以－

≤2x－

≤2m－

要使得f（x）在区间

即sin

在区间

上的最大值为1，

所以2m－

≥

，即m≥

所以m的最小值为

17．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

好评率是指：

一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．

（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；

（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？

（只需写出结论）

解　

（1）由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，

获得好评的第四类电影的部数是200×

0.25＝50.

故所求概率为

＝0.025.

（2）由题意知，样本中获得好评的电影部数是

140×

0.4＋50×

0.2＋300×

0.15＋200×

0.25＋800×

0.2＋510×

0.1

＝56＋10＋45＋50＋160＋51

＝372.

故所求概率估计为1－

＝0.814.

（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．

18．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．

（1）求证：

PE⊥BC；

（2）求证：

平面PAB⊥平面PCD；

（3）求证：

EF∥平面PCD.

证明　

（1）因为PA＝PD，E为AD的中点，

所以PE⊥AD.

因为底面ABCD为矩形，

所以BC∥AD，所以PE⊥BC.

（2）因为底面ABCD为矩形，

所以AB⊥AD.

又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，

所以AB⊥平面PAD，

又PD⊂平面PAD，

所以AB⊥PD.

又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，

所以PD⊥平面PAB.

又PD⊂平面PCD，

所以平面PAB⊥平面PCD.

（3）如图，取PC的中点G，连接FG，DG.

因为F，G分别为PB，PC的中点，

所以FG∥BC，FG＝

BC，

因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，

所以DE∥BC，DE＝

BC.

所以DE∥FG，DE＝FG.

所以四边形DEFG为平行四边形，

所以EF∥DG.

又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，

所以EF∥平面PCD.

19．设函数f（x）＝[ax2－（3a＋1）x＋3a＋2]ex.

（1）若曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线斜率为0，求a；

（2）若f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．

解　

（1）因为f（x）＝[ax2－（3a＋1）x＋3a＋2]ex，

所以f′（x）＝[ax2－（a＋1）x＋1]ex，

f′

（2）＝（2a－1）e2.

由题意知f′

（2）＝0，即（2a－1）e2＝0，解得a＝

（2）由

（1）得f′（x）＝[ax2－（a＋1）x＋1]ex

＝（ax－1）（x－1）ex.

若a＞1，则当x∈

时，f′（x）＜0；

当x∈（1，＋∞）时，f′（x）＞0.

所以f（x）在x＝1处取得极小值．

若a≤1，则当x∈（0,1）时，ax－1≤x－1＜0，

所以f′（x）＞0.

所以1不是f（x）的极小值点．

综上可知，a的取值