线性代数第五章 课后习题及解答Word格式文档下载.docx
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(6)
(单根),(单根),(单根),
2.已知矩阵的特征值(二重),,求的值,并求其特征向量。
因此,的属于3的所有特征向量为:
(为不全为零的任意常数)
因此,的属于12的所有特征向量为:
3.设是矩阵不同特征值的特征向量,证明不是的一个特征向量。
证:
(反证法)
若是的属于特征值的一个特征向量,是的属于特征值的特征向量且,则:
所以,
属于不同特征值线性无关
即与矛盾。
所以,不是的一个特征向量。
4.设分别是矩阵对应于互不相同的特征值的特征向量,证明不是的一个特征向量。
类似3题可证。
5.证明对合矩阵(即)的特征值只能为1或.
的特征值只有1.
若为的特征值,则为的特征值
的特征值只能为1或.
6.设可逆,讨论与的特征值(特征向量)之间的相互关系。
若则.
7.若问:
是否成立?
成立。
8.已知求
相似矩阵具有相同的特征值
9.已知求
10.设是矩阵属于特征值的特征向量。
证明:
是矩阵对应其特征值的一个特征向量。
11.设为非奇异矩阵,证明与相似。
为非奇异矩阵存在
与相似
12.设证明:
存在可逆矩阵,使得
13.证明:
阶矩阵只有零特征值,且特征子空间是的一维子空间,并求它的基。
只有零特征值。
的基础解系为:
14.若可逆,不可逆,那么,关于的特征值能做出怎样的断语?
可逆,不可逆
不是的特征值,1是的特征值。
15.若证明:
1或至少有一个是的特征值。
或
16.在第1题中,哪些矩阵可对角化?
并对可对角化的矩阵,求矩阵和对角矩阵,使得
由矩阵可对角化的条件及第1题的求解过程易知:
(1),(6)可对角化。
(1)
17.主对角元互不相等的上(下)三角形矩阵是否与对角阵相似(说明理由)?
可以,因为有个互不相等的特征值。
18.设阶矩阵的个元素全为1,试求可逆矩阵使为对角阵,并写出与相似的对角阵。
所以,特征值为:
(单根),(重根)
所以,与相似的对角阵为:
19.已知4阶矩阵的特征值为(三重),对应于的特征向量有对应于的特征向量为问:
可否对角化?
如能对角化,求出及(为正整数)。
容易验证,线性无关,所以,可对角化。
令则
20.设三阶矩阵有二重特征值如果都是对应于的特征向量,问可否对角化?
所以,线性无关。
又因为剩余的那个特征值是单根,所以可对角化。
21.已知
(1)求(为正整数)。
(2)若求
(单根),(单根)
令则:
22.设求(为正整数)。
(提示:
按对角块矩阵求.)
令则从而,
令则
23.对5.2节例1的矩阵求正交矩阵使为对角阵。
借助5.2节例1的求解过程,对单位化,对构成的线性无关向量组利用施密特正交化方法进行处理,即得所求的正交矩阵为:
24.对下列实对称矩阵求正交矩阵和对角矩阵使
(1)
(2)(3)
(4)(5)
(1)解:
(二重根),(单根)
用施密特正交化方法得:
单位化得:
(2),(3),(4),(5)类似
(1)可求解。
25.设是阶实对称矩阵,且证明存在正交矩阵使得
设是的对应于特征值的一个特征向量,则:
为非零向量或0
为实对称矩阵存在正交矩阵使得
26.设阶实对称矩阵的特征值证明存在特征值非负的实对称矩阵,使得
为实对称矩阵存在正交阵使得
取则满足条件。
27.设为阶实对称幂等矩阵试求
解:
(求解过程参考p240例4)
补充题
28.设多项式是矩阵的一个特征值,是对应于的特征向量。
证明是的特征值,且仍是对应于的特征向量。
=
是的特征值,且仍是对应于的特征向量
29.设证明:
存在可逆矩阵使得
30.设已知0是的二重特征值,1是的(一重)特征值,求矩阵的特征多项式
的所有特征值为:
0(二重根),1(单根),(单根)
31.设阶矩阵的每行元素之和皆为1,问:
能否至少求得的一个特征值?
设则:
即:
所以,的一个特征值为1.
32.设是矩阵的个特征值,证明:
是矩阵的个特征值
是的个特征值
的主对角元之和=
33.设是对应于特征值的特征向量,证明:
(的特征子空间)
34.证明:
若阶矩阵有个互不相同的特征值,则的充要条件是的特征向量也是的特征向量。
(充分性)
不妨设是的个线性无关的特征向量(因为,有个互不相同的特征
值,所以,必可取出这样的)
的特征向量也是的特征向量
也是的个线性无关的特征向量
令则(为对角形矩阵),则
(必要性)
由33题可知:
若是对应于特征值的特征向量,则
有个互不相同的特征值是一维的特征子空间
为中的非零向量存在使得即也是的特征向量。
35.设皆为阶矩阵,证明:
可逆的充要条件为的任一特征值都不是的特征值。
设利用不是的特征值时,讨论的充分必要条件。
)
设,则
所以,的充要条件是即()都不是的特征值。
36.证明反对称实矩阵的特征值是0或纯虚数。
设为反对称实矩阵,则设是对应于特征值的一特征向量,即
是0或纯虚数
37.已知中两个非零的正交向量
矩阵的特征值全为0,且不可对角化。
为两个非零正交实向量
的特征值全为0
的基础解系中含个向量
不可对角化
38.设且试求矩阵的特征值,并求可逆矩阵使成对角形。
0是的特征值且是的特征方程的重根。
的所有特征值之和等于其主对角元之和
是的特征方程的单根
的每列向量都是的解
可取为的一个基础解系
的一个基础解系为:
可取
39.已知的一个特征向量
(1)确定及对应的特征值;
(2)能否相似于对角矩阵?
说明理由。
(1)由求解得:
(2)特征值为:
只有一个线性无关的特征向量
不能与对角矩阵相似
40.设已知且有一特征值其特征向量试求及
是的一特征值,是对应的一特征向量
由及可得到
41.设已知有3个线性无关的特征向量,且是其二重特征值,求使(对角矩阵)。
有3个线性无关的特征向量可对角化
属于的线性无关的特征向量有两个
设另一特征值为则
的一基础解系为:
可取则
42.设均为非零向量,已知试求:
(1)
(2)的特征值与特征向量。
(2)0是的特征值
0至少是重特征值。
设另一特征值为则:
0是的特征方程的重根。
的特征值为0.特征向量为:
(为不全为零的任意常数)。
下列43~46题为选择题。
43.已知是阶矩阵的个特征值,则行列式
44.已知阶矩阵的行列式为的一个特征值,则(为单位矩阵)必有特征值
45.若均为阶矩阵,且则
与有相同的特征值和特征向量;
对于任意常数均有
46.已知与相似,则
相似矩阵有相同的特征值。
由特征值的性质有:
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- 线性代数第五章 课后习题及解答 线性代数 第五 课后 习题 解答