专题6立体几何中点到面的距离求法基础练习题文档格式.docx
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(2)求点。
到平面P8C的距离儿
6.如图所示在长方体45GA中,AA=2,43=4,AD=6,M,N分别是。
G,4c的中点.
MN〃平而ADDA
(2)求C到平而AMN的距离.
7.直三棱柱ABC—A'
8'
C'
中,底面ABC为等腰直角三角形,AC=BC=2,AAf=yfb,E为AB中点.
AC'
〃而CE*:
(2)求大到面CE面的距离.
8.如图,在长方体ABCD-AMGA中,43=2,3c=1,A&
=3,M为AA1的
中点,N为CR的中点.
ALVB
MN〃平而A8CQ:
(2)求点2到平面CDW的距离.
所以8C_L平而所以BCLPB.
1112
所以匕•:
枝维p-scD=]xSABCDxPA=-x-x2xBCx2=-BC.
在RMR45中,AB=\,PB=JPA?
+ABi=E1=B
所以$△pe=;
xBCx逐=,8C.
设点D到平面PBC的距离为d,
则」xdx立bc=2bc,解得,/=拽.
3235
所以点E到平面PBC的距离是”.
【点睛】
本题主要考查证明线面平行,考查等体积法求点到而的距离,属于常考题型.
2.在
5
【分析】
利用等体积法列方程,解方程求得点B1到平而户的距离.
【详解】
依题意。
流=Jr+(2_1=正,
1V⑶2
•:
A'
BJ/EF=>
A瓦〃平而D】EF,
点Bi到平而D】EF的距离即为点儿到平面D.EF的距离,根据正方体的性质可知EF1Dfi,
设点B1到平而D.EF的距离为〃,即gx3*EFxO]Ex〃=;
xgxA[。
[xA]ExEF
A{D}xA}E~~D^E
即点Bi到平面D\EF的距离为4.5
要求点到平面的距离,可利用等体枳法列方程,通过解方程来求得点面距.
3.
(1)证明见解析:
(2)
(1)证明OP_L平面ABC得出QP_L8C,结合AC_LBC得出8C_L平而PAC:
(2)根据匕-/耽=%..•计算点A到平而P8C的距离.
解:
・.・AP=CP,。
是AC中点,.•.R9_L4C,
由已知得=08?
,:
.PO1OB,
又AC,no8=o,08u平面ABC,「.PO,平面ABC,
POYBC,
/ACIBC.POC\AC=O,POu平面PAC,
8C_L平面尸AC.
(2)解:
设点A到平而P8C的距离为/z,
•.•在RtAOCB中,OC=ylOB2-BC2=1>
则尸2+。
2=叵
3C_L平面P4C,8C_L尸。
,
S.卡
-Dy8r-'
**'
匕-P8C=^P-ABC»
Kpt8c=-SMBCPO=f
・;
S"
比.力=曰一h=呢,即点A到平面PBC的距离为V2.
【点睛】本题考查了线面垂直的判定,棱锥体积与点到平面的距离计算,属于基础题.
4.
(1)见解析;
(2)点3到平面PQE的距离为之匡.
22
【解析】试题分析:
(1)PC上DE,CDLOE,所以OEJL平面尸CQ;
(2)利用等体积法,
V*PDE=ViDE,所以点B到平而PDE的距离为大史.
试题解析:
(【)证明:
由PC,平面48C,。
石u平面48C,故PC_LO£
由CE=2,CD=DE=e,得△(?
£
>
为等腰直角三角形,故CDLDE.
又PCcCD=C,故。
石,平面尸8.
(,,)由⑴知‘A。
七为等腰直角三角形,"
CE=g
过。
作。
尸垂直CE于尸,易知DF=CF=EF=L又。
石,平面PCD,所以£
)E_LP£
),PD=^PC?
+CD?
=47.
设点B到平面P£
陀的距离为力,即为三棱锥B-PDE的高,
(IlVb-PD£
='
'
p_BDE得%Sy[)E.卜=1S油de,P。
即1.2..尸0.0七./?
=1.2_.8石。
尸尸。
,3232
即ViTx-Jix/?
=1x1x3»
所以。
=—,所以点B到平而PDE的距离为空2.
5.
(1)见解析;
(2)”
2
(1)由底而A8CO为正方形,可得AQ_L平面P48,由平面与平而垂直的判定定理即可证明.
(2)作PO_LA3交A8于。
,易得尸。
_L平而ABCD.可求得匕,由%-比•/)=匕)_W即可求得点D到平而PBC的距离h
•.•四边形A8CO为正方形,
:
-AD±
AB.
又•••A。
_LAE.即AO_L帖,且弘ClAS=A,
,AQ_L平面248,
又〈ADu平面ABCD
,平而PAB_L平而ABCD:
(2)过点尸作PO_L/W交AB于0,如下图所示:
由
(1)知平面248_L平而ABC。
・♦•PO_L平而ABCD
.v_1_161_Q
•Vp_BCD一寸P°
XS瓯D-
又•••Vp_bcd=Vd_pbc
.1c
3„12
冏11I」6
3212
解得力=正
所以点D到平而PBC的距离h=正
本题考查了平而与平面垂直的判定,等体枳法求点到平而的距离,属于基础题.
12
6.
(1)证明见解析:
(2)—.
(1)分别取和A0的中点及/,连接£
M.RV,利用中位线定理可证四边形EMNf是平行四边形,所以EF//MN,再根据线而平行的判定定理,即可证明结果:
(2)以。
为原点,。
4。
。
口分别为乂),逐,建立空间直角坐标系。
一冲2,根据题意可求出a,c,r,ua-M.n点的坐标,进而求出平面AMN的法向量,再根据空间向量中点到平面的距离公式即可求出结果.
分别取。
A和的中点瓦尸,连接
B
则AW〃DC且EW=,OC;
FNHDC&
FN,DC22
所以EM"
FN,且EM=FN,
所以四边形EA/A"
是平行四边形,所以EF//MN,
又EEu平面AO24,MN(Z平面AO24,所以MN〃平面AORA:
2分别为乂乂2,建立空间直角坐标系。
一不z,如图所示:
由题意,则A(6,0.0),C(0.4.0).R(0.0,2),C(0,4.0),A(6,0.2),
又M,N分别是。
G,AC的中点,
所以M(0,2,I),N(320),
所以m=(-3,2,-2),硒=(-6.2.T),萌=(0.-2」);
设平面4MN的法向量为/;
=(x,),,z),则
n-AM=0[-3x+2y-2z=09
—77=<
,c八,令Z=3,则x=l,y=7:
n-A}N=0[-6x+2y-z=02
所以〃=[1,5,3),
I™|-9+3|12
设。
到平面4MN的距离为/?
则'
=邛「=-^『=71.
本题主要考查了线而平行的判定定理的应用,以及空间向量的在求点到平面距离中的应用,属于基础题.
7.
(1)证明见解析:
(2)卡.
(1)利用线而平行的判定定理证明即可.
(2)利用面而垂直的判定定理证出而。
七&
_1_而433/‘,过A'
作A'
G_LE?
A'
G的长
即为A'
到面CE*的距离,根据△A'
B'
G=^EB即可求解.
连接3C'
设8C'
n&
C=O,连OE,
则。
上是三角形ABC的中位线,
AC//OE
ACaCEB,=AC//而CEB'
.
OEuCEB'
CE1AB]
(2)=而ABB'
A'
A而CE4上面ABB'
A,
CEA.AA
过H作AG_LEB'
垂足为G,易知AG_LifiiCE3'
则AG的长即为A'
到面CE19的距离,aA'
G与aB'
BE中,
A3'
=20=B'
E,A®
=2>
/2=B'
E,NA'
G=/B'
EB,ZAfGB'
=ZB'
EB,
可知△AB'
GvaB'
EB,所以46=3'
8=后.
本题考考查了线而平行的判定定理、而而垂直的性质定理、求点到面的距离,考察了逻辑推理能力,属于基础题.
8.
(1)证明见解析:
(2)也二
13
(D构造平行四边形AENM,通过线线平行即可证明线而平行:
(2)利用等体枳法,结合棱锥体枳的计算公式,即可求得点而距离.
如图,取CO的中点£
连接AE,EN.
A^~
:
DE=EC,CN=D\N、NE//DD、且NE=>
DD].
VM=2AM,AAJIDD\,:
AMMNE,AM=NE,
.四边形AENM为平行四边形,...MNIIAE.
又•・•AEu平而A8CQ,肠Vz平面A8CQ,;
・MN〃平面ABCD.
(2)设R到平而COM的距离为1,连接
又M到平面D}DC的距离,即为4点到平面D}DC的距离AD.
二mS^CDM'
A=3Srdc,A。
_S"
AO*x3x[6$屈
…”S"
dm-一巫"
713~^3-,F
故点A到平而CDM的距离为包旦.
本题考查线而平行的证明,以及用等体积法求点面距离,属综合基础题.
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- 专题 立体几何 中点 距离 求法 基础 练习题