高一数学重要知识点总结.docx
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高一数学重要知识点总结
高一数学知识总结
必修一
一、集合
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性如:
世界上最高的山
(2)元素的互异性如:
由的字母组成的集合{}
(3)元素的无序性:
如:
{}和{}是表示同一个集合
3.集合的表示:
{…}如:
{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:
{我校的篮球队员}{1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:
列举法与描述法。
◆注意:
常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:
N
正整数集N*或整数集Z有理数集Q实数集R
1)列举法:
{……}
2)描述法:
将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
{x∈3>2},{3>2}
3)语言描述法:
例:
{不是直角三角形的三角形}
4)图:
4、集合的分类:
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合 例:
{2=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:
有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作或
2.“相等”关系:
(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:
设{2-1=0}{-1,1}“元素相同则两集合相等”
即:
①任何一个集合是它本身的子集。
A⊆A
②真子集:
如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集,记作(或)
③如果A⊆B,B⊆C,那么A⊆C
④如果A⊆B同时B⊆A那么
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
◆有n个元素的集合,含有2n个子集,21个真子集
二、函数
1、函数定义域、值域求法综合
2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略
3、恒成立问题的求解策略
4、反函数的几种题型及方法
5、二次函数根的问题——一题多解
&指数函数^x
a^a*a^^(a>0、b属于Q)
(a^a)^^(a>0、b属于Q)
()^^a*b^a(a>0、b属于Q)
指数函数对称规律:
1、函数^x与^关于y轴对称
2、函数^x与^x关于x轴对称
3、函数^x与^关于坐标原点对称
&对数函数^x
如果,且,,,那么:
·+;
-;
.
注意:
换底公式
(,且;,且;).
幂函数^a(a属于R)
1、幂函数定义:
一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;
(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.
方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:
对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义:
函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即:
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
3、函数零点的求法:
(代数法)求方程的实数根;
(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数.
(1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程有两相等实根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点.
三、平面向量
向量:
既有大小,又有方向的量.
数量:
只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:
起点、方向、长度.
零向量:
长度为的向量.
单位向量:
长度等于个单位的向量.
相等向量:
长度相等且方向相同的向量
&向量的运算
加法运算
+=,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
已知两个从同一点O出发的两个向量、,以、为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线就是向量、的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量a,有:
0+a=a+0=a。
+≤+。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
减法运算
与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0
(2)a-b=a+(-b)。
数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,|λ=|λ,当λ>0时,λa的方向和a的方向相同,当λ<0时,λa的方向和a的方向相反,当λ=0时,λa=0。
设λ、μ是实数,那么:
(1)(λμ)a=λ(μa)
(2)(λμ)a=λaμa(3)λ(a±b)=λa±λb(4)(-λ)a=-(λa)=λ(-a)。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
向量的数量积
已知两个非零向量a、b,那么θ叫做a与b的数量积或内积,记作,θ是a与b的夹角,θ(θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。
零向量与任意向量的数量积为0。
的几何意义:
数量积等于a的长度与b在a的方向上的投影θ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
四、三角函数
1、善于用“1“巧解题
2、三角问题的非三角化解题策略
3、三角函数有界性求最值解题方法
4、三角函数向量综合题例析
5、三角函数中的数学思想方法
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
图象
定义域
值域
最值
当时,;当
时,.
当时,
;当
时,.
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数;在
上是减函数.
在上是增函数;在
上是减函数.
在
上是增函数.
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
必修四
角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称为第几象限角.
第一象限角的集合为
第二象限角的集合为
第三象限角的集合为
第四象限角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
3、与角终边相同的角的集合为
4、已知是第几象限角,确定所在象限的方法:
先把各象限均分等份,再从轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域.
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度.
口诀:
奇变偶不变,符号看象限.
公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
(2kπ+α)=α
(2kπ+α)=α
(2kπ+α)=α
(2kπ+α)=α
公式二:
设α为任意角,πα的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
(π+α)=-α
(π+α)=-α
(π+α)=α
(π+α)=α
公式三:
任意角α与-α的三角函数值之间的关系:
(-α)=-α
(-α)=α
(-α)=-α
(-α)=-α
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
(π-α)=α
(π-α)=-α
(π-α)=-α
(π-α)=-α
公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
(2π-α)=-α
(2π-α)=α
(2π-α)=-α
(2π-α)=-α
公式六:
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:
(π/2+α)=α
(π/2+α)=-α
(π/2+α)=-α
(π/2+α)=-α
(π/2-α)=α
(π/2-α)=α
(π/2-α)=α
(π/2-α)=α
(3π/2+α)=-α
(3π/2+α)=α
(3π/2+α)=-α
(3π/2+α)=-α
(3π/2-α)=-α
(3π/2-α)=-α
(3π/2-α)=α
(3π/2-α)=α
(以上k∈Z)
其他三角函数知识:
同角三角函数基本关系
⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
α•α=1
α•α=1
α•α=1
商的关系:
αα=α=αα
αα=α=αα
平方关系:
^2(α)+^2(α)=1
1+^2(α)=^2(α)
1+^2(α)=^2(α)
两角和差公式
⒉两角和与差的三角函数公式
(α+β)=αβ+αβ
(α-β)=αβ-αβ
(α+β)=αβ-αβ
(α-β)=αβ+αβ
α+β
(α+β)=——————
1-α•β
α-β
(α-β)=——————
1+α•β
倍角公式
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)
2α=2αα
2α=^2(α)-^2(α)=2^2(α)-1=1-2^2(α)
2α
2α=—————
1-^2(α)
半角公式
⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)
1-α
^2(α/2)=—————
2
1+α
^2(α/2)=—————
2
1-α
^2(α/2)=—————
1+α
万能公式
⒌万能公式
2(α/2)
α=——————
1+^2(α/2)
1-^2(α/2)
α=——————
1+^2(α/2)
2(α/2)
α=——————
1-^2(α/2)
和差化积公式
⒎三角函数的和差化积公式
α+βα-β
α+β=2—•—
22
α+βα-β
α-β=2—•—
22
α+βα-β
α+β=2—•—
22
α+βα-β
α-β=-2—•—
22
积化和差公式
⒏三角函数的积化和差公式
α•β=0.5[(α+β)+(α-β)]
α•β=0.5[(α+β)-(α-β)]
α•β=0.5[(α+β)+(α-β)]
α•β=-0.5[(α+β)-(α-β)]
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