高中数学人教a版选修12 章末综合测评2 含答案Word下载.docx
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,四边形内角和是360°
,五边形内角和是540°
,由此得凸多边形内角和是(n-2)·
180°
.
A.①②B.①③④
C.①②④D.②④
【解析】 合情推理分为类比推理和归纳推理,①是类比推理,②④是归纳推理,③是演绎推理.
【答案】 C
5.设a=21.5+22.5,b=7,则a,b的大小关系是( )
A.a>
bB.a=b
C.a<
bD.a>
2(b+1)
【解析】 因为a=21.5+22.5>
2
=8>
7,故a>
b.
6.将平面向量的数量运算与实数的乘法运算相类比,易得到下列结论:
①a·
b=b·
a;
②(a·
b)·
c=a·
(b·
c);
③a·
(b+c)=a·
b+a·
c;
④|a·
b|=|a||b|;
⑤由a·
b=a·
c(a≠0),可得b=c.以上通过类比得到的结论中,正确的个数是( )
A.2个B.3个
C.4个D.5个
【解析】 ①③正确;
②④⑤错误.
7.证明命题:
“f(x)=ex+
在(0,+∞)上是增函数”.现给出的证法如下:
因为f(x)=ex+
,所以f′(x)=ex-
.因为x>
0,所以ex>
1,0<
<
1.所以ex-
>
0,即f′(x)>
0.所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,使用的证明方法是( )
A.综合法B.分析法
C.反证法D.以上都不是
【解析】 从已知条件出发利用已知的定理证得结论,是综合法.
8.已知c>
1,a=
-
,b=
,则正确的结论是( )
【19220032】
bB.a<
b
C.a=bD.a,b大小不定
【解析】 要比较a与b的大小,由于c>
1,所以a>
0,b>
0,故只需比较
与
的大小即可,
而
=
+
,
显然
,从而必有a<
b,故选B.
9.设n为正整数,f(n)=1+
+…+
,经计算得f
(2)=
,f(4)>
2,f(8)>
,f(16)>
3,f(32)>
,观察上述结果,可推测出一般结论( )
A.f(2n)>
B.f(n2)≥
C.f(2n)≥
D.以上都不对
【解析】 f
(2)=
,f(4)=f(22)>
,f(8)=f(23)>
,f(16)=f(24)>
,f(32)=f(25)>
由此可推知f(2n)≥
.故选C.
10.定义A*B,B*C,C*D,D*A的运算分别对应下面图1中的
(1)
(2)(3)(4),则图中a,b对应的运算是( )
图1
A.B*D,A*DB.B*D,A*C
C.B*C,A*DD.C*D,A*D
【解析】 根据
(1)
(2)(3)(4)可知A对应横线,B对应矩形,C对应竖线,D对应椭圆.由此可知选B.
11.观察下列各式:
a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( )
A.28B.76
C.123D.199
【解析】 从给出的式子特点观察可推知,等式右端的值,从第三项开始,后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和,照此规律,则a10+b10=123.
12.在等差数列{an}中,若an>
0,公差d>
0,则有a4·
a6>
a3·
a7,类比上述性质,在等比数列{bn}中,若bn>
0,公比q>
1,则b4,b5,b7,b8的一个不等关系是( )
A.b4+b8>
b5+b7B.b4+b8<
b5+b7
C.b4+b7>
b5+b8D.b4+b7<
b5+b8
【解析】 在等差数列{an}中,由于4+6=3+7时,有a4·
a7,所以在等比数列{bn}中,由于4+8=5+7,所以应有b4+b8>
b5+b7或b4+b8<
b5+b7.
因为b4=b1q3,b5=b1q4,b7=b1q6,b8=b1q7,
所以(b4+b8)-(b5+b7)=(b1q3+b1q7)-(b1q4+b1q6)
=b1q6·
(q-1)-b1q3(q-1)=(b1q6-b1q3)(q-1)
=b1q3(q3-1)(q-1).
因为q>
1,bn>
0,所以b4+b8>
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上.)
13.已知x,y∈R,且x+y>
2,则x,y中至少有一个大于1,在用反证法证明时假设应为________.
【解析】 “至少有一个”的否定为“一个也没有”,故假设应为“x,y均不大于1”(或x≤1且y≤1).
【答案】 x,y均不大于1(或x≤1且y≤1)
14.如图2,第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来(n=1,2,3,…),则第n-2(n>
2)个图形中共有________个顶点.
图2
【解析】 设第n个图形中有an个顶点,
则a1=3+3×
3,a2=4+4×
4,…,
an=(n+2)+(n+2)·
(n+2),an-2=n2+n.
【答案】 n2+n
15.设a>
0,则下面两式的大小关系为lg(1+
)________
[lg(1+a)+lg(1+b)].
【解析】 因为(1+
)2-(1+a)(1+b)=1+2
+ab-1-a-b-ab
=2
-(a+b)=-(
)2≤0,
所以(1+
)2≤(1+a)(1+b),
所以lg(1+
)≤
[lg(1+a)+lg(1+b)].
【答案】 ≤
16.(2016·
杭州高二检测)对于命题“如果O是线段AB上一点,则|
|·
+|
=0”将它类比到平面的情形是:
若O是△ABC内一点,有S△OBC·
+S△OCA·
+S△OBA·
=0,将它类比到空间的情形应为:
若O是四面体ABCD内一点,则有_______________________________________________.
【19220033】
【解析】 根据类比的特点和规律,所得结论形式上一致,又线段类比平面,平面类比到空间,又线段长类比为三角形面积,再类比成四面体的体积,故可以类比为VOBCD·
+VOACD·
+VOABD·
+VOABC·
=0.
【答案】 VOBCD·
=0
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分10分)已知a,b,c成等差数列,求证:
ab+ac,b2+ac,ac+bc也成等差数列.
【证明】 因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,所以(ab+ac)+(ac+bc)=b(a+c)+2ac=2(b2+ac).
所以ab+ac,b2+ac,ac+bc也成等差数列.
18.(本小题满分12分)在平面几何中,对于Rt△ABC,∠C=90°
,设AB=c,AC=b,BC=a,则
(1)a2+b2=c2;
(2)cos2A+cos2B=1;
(3)Rt△ABC的外接圆半径r=
把上面的结论类比到空间写出类似的结论,无需证明.
【解】 在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.
(1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S1,S2,S3,底面积为S,则S
+S
=S2.
(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1.
(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a,b,c,则这个四面体的外接球半径R=
19.(本小题满分12分)已知△ABC的三条边分别为a,b,c,且a>
b,求证:
<
【证明】 依题意a>
0,
所以1+
0,1+a+b>
0.
所以要证
只需证
(1+a+b)<
(1+
)(a+b),
a+b,
因为a>
b,所以
所以
20.(本小题满分12分)(2016·
大同高二检测)在数列{an}中,a1=1,an+1=
,n∈N*,求a2,a3,a4,并猜想数列的通项公式,并给出证明.
【解】 数列{an}中,a1=1,a2=
,a3=
,a4=
,…,
所以猜想{an}的通项公式an=
(n∈N*).
此猜想正确.
证明如下:
因为a1=1,an+1=
即
所以数列
是以
=1为首项,
公差为
的等差数列,
=1+(n-1)
即通项公式an=
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3-x2,x∈R.
(1)若正数m,n满足m·
n>
1,证明:
f(m),f(n)至少有一个不小于零;
(2)若a,b为不相等的正实数且满足f(a)=f(b),求证:
a+b<
【证明】
(1)假设f(m)<
0,f(n)<
即m3-m2<
0,n3-n2<
∵m>
0,n>
∴m-1<
0,n-1<
∴0<
m<
n<
1,
∴mn<
1,这与m·
1矛盾,
∴假设不成立,即f(m),f(n)至少有一个不小于零.
(2)证明:
由f(a)=f(b),得a3-a2=b3-b2,
∴a3-b3=a2-b2,
∴(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)(a+b),
∵a≠b,
∴a2+ab+b2=a+b,
∴(a+b)2-(a+b)=ab<
2,
∴
(a+b)2-(a+b)<
解得a+b<
22.(本小题满分12分)设f(x)=
,g(x)=
(其中a>
0,且a≠1).
(1)5=2+3,请你推测g(5)能否用f
(2),f(3),g
(2),g(3)来表示;
(2)如果
(1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广.
【解】
(1)f(3)g
(2)+g(3)f
(2)
·
又g(5)=
∴g(
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