最新中考数学2013版专题复习第十三讲:反比例函数(含答案共38讲).doc
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最新中考数学2013版专题复习
第十三讲反比例函数
【基础知识回顾】
一、反比例函数的概念:
一般地:
互数y(k是常数,k≠0)叫做反比例函数
【名师提醒:
1、在反比例函数关系式中:
k≠0、x≠0、y≠0
2、反比例函数的另一种表达式为y=(k是常数,k≠0)
3、反比例函数解析式可写成xy=k(k≠0)它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积,总等于】
二、反比例函数的同象和性质:
1、反比例函数y=(k≠0)的同象是它有两个分支,关于对称
2、反比例函数y=(k≠0)当k>0时它的同象位于象限,在每一个象限内y随x的增大而当k<0时,它的同象位于象限,在每一个象限内,y随x的增大而
【名师提醒:
1、在反比例函数y=中,因为x≠0,y≠0所以双曲线与坐标轴无限接近,但永不与x轴y轴
2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】
3、反比例函数中比例系数k的几何意义:
反曲线y=(k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线→
两线与坐标轴围成的形面积,即如图:
AOBP=
S△AOP=
【名师提醒:
k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】
三、反比例函数解析式的确定
因为反比例函数y=(k≠0)中只有一个被定系数所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可,步骤同一次函数解析式的求法
一、反比例函数的应用
二、解反比例函数的实际问题时,先确定函数解析式,再利用同象找出解决问题的方案,这里要特别注意自变量的
【重点考点例析】
考点一:
反比例函数的同象和性质
例1(2012•张家界)当a≠0时,函数y=ax+1与函数在同一坐标系中的图象可能是( )
A.B.
C.D.
思路分析:
分a>0和a<0两种情况讨论,分析出两函数图象所在象限,再在四个选项中找到正确图象.
解:
当a>0时,y=ax+1过一、二、三象限,y=过一、三象限;
当a<0时,y=ax+1过一、二、四象限,y=过二、四象限;
故选C.
点评:
本题考查了一次函数与二次函数的图象和性质,解题的关键是明确在同一a值的前提下图象能共存.
例2(2012•佳木斯)在平面直角坐标系中,反比例函数
图象的两个分支分别在( )
A.第一、三象限B.第二、四象限
C.第一、二象限D.第三、四象限
思路分析:
把a2-a+2配方并根据非负数的性质判断出是恒大于0的代数式,再根据反比例函数的性质解答.
解:
a2-a+2,
=a2-a+-+2,
=(a-)2+74,
∵(a-)2≥0,
∴(a-)2+74>0,
∴反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限.
故选A.
点评:
本题考查了反比例函数图象的性质,先判断出a2-a+2的正负情况是解题的关键,对于反比例函数(k≠0):
(1)k>0,反比例函数图象在一、三象限;
(2)k<0,反比例函数图象在第二、四象限内.
例3(2012•台州)点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)均在函数的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y3<y2<y1B.y2<y3<y1C.y1<y2<y3D.y1<y3<y2
思路分析:
先根据反比例函数的解析式判断出此函数图象所在的象限,再根据各点的坐标判断出各点所在的象限,根据函数图象在各象限内点的坐标特点解答.
解:
∵函数中k=6>0,
∴此函数的图象在一、三象限,且在每一象限内y随x的增大而减小,
∵-1<0,
∴点(-1,y1)在第三象限,
∴y1<0,
∵0<2<3,
∴(2,y2),(3,y3)在第一象限,
∴y2>y3>0,
∴y2>y3>y1.
故选D.
点评:
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,根据题意判断出函数图象所在象限是解答此题的关键.
对应训练
1.(2012•毕节地区)一次函数y=x+m(m≠0)与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中是( )
A.B.C.D.
1.C
2.(2012•内江)函数的图象在( )
A.第一象限B.第一、三象限C.第二象限D.第二、四象限
2.A
2.解:
∵中x≥0,中x≠0,
故x>0,此时y>0,
则函数在第一象限.
故选A.
3.(2012•佛山)若A(x1,y1)和B(x2,y2)在反比例函数的图象上,且0<x1<x2,则y1与y2的大小关系是y1y2.
3.>
考点二:
反比例函数解析式的确定
例4(2012•哈尔滨)如果反比例函数的图象经过点(-1,-2),则k的值是( )
A.2B.-2C.-3D.3
思路分析:
根据反比例函数图象上点的坐标特征,将(-1,-2)代入已知反比例函数的解析式,列出关于系数k的方程,通过解方程即可求得k的值.解答:
解:
根据题意,得
-2=,即2=k-1,
解得k=3.
故选D.
点评:
此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式,是中学阶段的重点.解答此题时,借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点.
对应训练
4.(2012•广元)已知关于x的方程(x+1)2+(x-b)2=2有唯一的实数解,且反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大,那么反比例函数的关系式为( )
A.B.C.D.
4.D
4.分析:
关于x的方程(x+1)2+(x-b)2=2有唯一的实数解,则判别式等于0,据此即可求得b的值,然后根据反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大,则比例系数1+b<0,则b的值可以确定,从而确定函数的解析式.
解:
关于x的方程(x+1)2+(x-b)2=2化成一般形式是:
2x2+(2-2b)x+(b2-1)=0,
△=(2-2b)2-8(b2-1)=-4(b+3)(b-1)=0,
解得:
b=-3或1.
∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大,
∴1+b<0
∴b<-1,
∴b=-3.
则反比例函数的解析式是:
y=,即.
故选D.
考点三:
反比例函数k的几何意义
例5(2012•铁岭)如图,点A在双曲线上,
点B在双曲线(k≠0)上,AB∥x轴,
分别过点A、B向x轴作垂线,垂足分别为
D、C,若矩形ABCD的面积是8,则k的值为( )
A.12B.10C.8D.6
思路分析:
先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k的符号,再延长线段BA,交y轴于点E,由于AB∥x轴,所以AE⊥y轴,故四边形AEOD是矩形,由于点A在双曲线上,所以S矩形AEOD=4,同理可得S矩形OCBE=k,由S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD即可得出k的值.
解:
∵双曲线(k≠0)上在第一象限,
∴k>0,
延长线段BA,交y轴于点E,
∵AB∥x轴,
∴AE⊥y轴,
∴四边形AEOD是矩形,
∵点A在双曲线上,
∴S矩形AEOD=4,
同理S矩形OCBE=k,
∵S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD=k-4=8,
∴k=12.
故选A.
点评:
本题考查的是反比例函数系数k的几何意义,即反比例函数图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.
对应训练
5.(2012•株洲)如图,直线x=t(t>0)与
反比例函数的图象分别交于
B、C两点,A为y轴上的任意一点,
则△ABC的面积为( )
A.3B.
C.D.不能确定
5.C
5.解:
把x=t分别代入,得,
所以B(t,)、C(t,),
所以BC=-()=.
∵A为y轴上的任意一点,
∴点A到直线BC的距离为t,
∴△ABC的面积=.
故选C.
考点四:
反比例函数与一次函数的综合运用
例6(2012•岳阳)如图,一次函数y1=x+1的图象与反比例函数的图象交于A、B两点,过点作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,
连接AO、BO,下列说法正确的是( )
A.点A和点B关于原点对称
B.当x<1时,y1>y2
C.S△AOC=S△BOD
D.当x>0时,y1、y2都随x的增大而增大
思路分析:
求出两函数式组成的方程组的解,即可得出A、B的坐标,即可判断A;根据图象的特点即可判断B;根据A、B的坐标和三角形的面积公式求出另三角形的面积,即可判断C;根据图形的特点即可判断D.
解:
A、,
∵把①代入②得:
x+1=,
解得:
x1=-2,x2=1,
代入①得:
y1=-1,y2=2,
∴B(-2,-1),A(1,2),
∴A、B不关于原点对称,故本选项错误;
B、当-2<x<0或x>1时,y1>y2,故本选项错误;
C、∵S△AOC=×1×2=1,S△BOD=×|-2|×|-1|=1,
∴S△BOD=S△AOC,故本选项正确;
D、当x>0时,y1随x的增大而增大,y2随x的增大而减小,故本选项错误;
故选C.
点评:
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用,主要考查学生观察图象的能力,能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键,题目比较典型,是一道具有一定代表性的题目.
对应训练
6.(2012•达州)一次函数y1=kx+b(k≠0)与反比例函数y2=(m≠0),在同一直角坐标系中的图象如图所示,若y1>y2,则x的取值范围是( )
A.-2<x<0或x>1B.x<-2或0<x<1
C.x>1D.-2<x<1
6.A
6.解:
由函数图象可知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=(m≠0)的交点坐标为(1,4),(-2,-2),
由函数图象可知,当-2<x<0或x>1时,y1在y2的上方,
∴当y1>y2时x的取值范围是-2<x<0或x>1.
故选A.
【聚焦山东中考】
1.(2012•青岛)点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都是反比例函数的图象上,若x1<x2<0<x3,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y3<y1<y2B.y1<y2<y3C.y3<y2<y1D.y2<y1<y3
1.A
1.解:
∵反比例函数y=-3x中,k=-3<0,
∴此函数图象在二四象限,且在每一象限内y随x的增大而增大,
∵x1<x2<0<x3,
∴y3<0,y3<0<y1<y2,
∴y3<y1<y2.
故选A.
2.(2012•菏泽)反比例函数的两个点(x1,y1)、(x2,y2),且x1>x2,则下式关系成立的是( )
A.y1>y2B.y1<y2C.y1=y2D.不能确定
2.D
3.(2012•滨州)下列函数:
①y=2x-1;②y=;③y=x2+8x-2;④y=;⑤y=;⑥y=中,y是x的反比例函数的有(填序号)。
3.②⑤
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- 最新 中考 数学 2013 专题 复习 第十 三讲 反比例 函数 答案 38