强烈推荐高三数学第二轮专题复习平面向量Word下载.docx
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①若
=(x1,y1)、
=(x2,y2),则
·
=x1y1+x2y2
②若A(x1,y1)、B(x2,y2),则|
|=
③若
=(x2,y2),则
=0
x1x2+y1y2=0
④若
⊥
A、①②B、②③C、③④D、①④
解:
根据向量数量积的坐标表示;
若
=(x1,y1),
=x1x2+y1y2,对照命题
(1)的结论可知,它是一个假命题、
于是对照选择支的结论、可以排除(A)与(D),而在(B)与(C)中均含有(3)、故不必对(3)进行判定,它一定是正确的、对命题
(2)而言,它就是两点间距离公式,故它是真命题,这样就以排除了(C),应选择(B)、
说明:
对于命题(3)而言,由于
=
或
x1x2+y1y2=0,故它是一个真命题、
而对于命题(4)来讲,
x1x2+y1y2=0、但反过来,当x1x2+y1y2=0时,可以是x1=y1=0,即
,而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定,因此x1x2+y1y2=0
),所以命题(4)是个假命题、
【例2】已知
=(-
-1),
=(1,
),那么
,
的夹角θ=()
A、30°
B、60°
C、120°
D、150°
-1)·
(1,
)=-2
|
=2
∴cosθ=
【例3】已知
=(2,1),
=(-1,3),若存在向量
使得:
=4,
=-9,试求向量
的坐标、
设
=(x,y),则由
=4可得:
2x+y=4;
又由
=-9可得:
-x+3y=-9
于是有:
由
(1)+2
(2)得7y=-14,∴y=-2,将它代入
(1)可得:
x=3
∴
=(3,-2)、
已知两向量
可以求出它们的数量积
,但是反过来,若已知向量
及数量积
,却不能确定
、
【例4】求向量
=(1,2)在向量
=(2,-2)方向上的投影、
设向量
与
的夹角θ、
有cosθ=
=
=-
在
方向上的投影=|
|cosθ=
×
(-
)=-
【例5】已知△ABC的顶点分别为A(2,1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高AD,求
及点D的坐标、
设点D的坐标为(x,y)
∵AD是边BC上的高,
∴AD⊥BC,∴
又∵C、B、D三点共线,
∥
又
=(x-2,y-1),
=(-6,-3)
=(x-3,y-2)
解方程组,得x=
y=
∴点D的坐标为(
),
的坐标为(-
)
【例6】设向量
满足:
|=|
|=1,且
+
=(1,0),求
∵|
|=1,
∴可设
=(cosα,sinα),
=(cosβ,sinβ)、
∵
=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(1,0),
由
(1)得:
cosα=1-cosβ……(3)
由
(2)得:
sinα=-sinβ……(4)
∴cosα=1-cosβ=
∴sinα=±
sinβ=
【例7】对于向量的集合A={
=(x,y)|x2+y2≤1}中的任意两个向量
与两个非负实数α、β;
求证:
向量α
+β
的大小不超过α+β、
证明:
=(x1,y1),
=(x2,y2)
根据已知条件有:
x21+y21≤1,x22+y22≤1
又因为|α
其中x1x2+y1y2≤
≤1
所以|α
|≤
=|α+β|=α+β
【例8】已知梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°
CD=DA=
AB、
AC⊥BC
以A为原点,AB所在直线为x轴,建立直角坐标系、如图,设AD=1
则A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,1)
=(-1,1),
=(1,1)
=-1×
1+1×
1=0
∴BC⊥AC、
【例9】已知A(0,a),B(0,b),(0<a<b),在x轴的正半轴上求点C,使∠ACB最大,并求出最大值、
解,设C(x,0)(x>0)
则
=(-x,a),
=(-x,b)
=x2+ab、
cos∠ACB=
令t=x2+ab
故cos∠ACB=
当
即t=2ab时,cos∠ACB最大值为
当C的坐标为(
0)时,∠ACB最大值为arccos
【例10】
如图,四边形ABCD是正方形,P是对角线BD上的一点,PECF是矩形,用向量法证明
(1)PA=EF
(2)PA⊥EF
建立如图所示坐标系,设正方形边长为1,
|=λ,则A(0,1),P(
λ,
λ),E(1,
λ),F(
λ,0)
λ,1-
λ),
=(
λ-1,-
λ)
(1)|
|2=(-
λ)2+(1-
λ)2=λ2-
λ+1
|2=(
λ-1)2+(-
∴|
|2=|
|2,故PA=EF
(2)
λ)(
λ-1)+(1-
λ)(-
λ)=0
∴PA⊥EF、
【例11】已知
1求
;
②当k为何实数时,k
平行,平行时它们是同向还是反向?
①
=(1,0)+3(2,1)=(7,3),∴
=
.
②k
=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).
设k
=λ(
),即(k-2,-1)=λ(7,3),
.
故k=
时,它们反向平行.
【例12】已知
的夹角为
若向量
垂直,求k.
=2×
1×
=1.
垂直,
∴(
∴2
k=-5.
【例13】如果△ABC的三边a、b、c满足b2+c2=5a2,BE、CF分别为AC边与AB上的中线,求证:
BE⊥CF.
即BE⊥CF.
【例14】是否存在4个平面向量,两两不共线,其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?
如图所示,在正△ABC中,O为其内心,P为圆周上一点,
满足
两两不共线,有
(
)·
=(2
(2
-
=4
2-
2
2=0
有(
)与(
)垂直、
同理证其他情况、从而
满足题意、故存在这样4个平面向量、
平面向量的综合应用
1.利用向量的坐标运算,解决两直线的夹角,判定两直线平行、垂直问题
【例1】已知向量
满足条件
,求证:
是正三角形
令O为坐标原点,可设
由
,即
两式平方和为
由此可知
的最小正角为
同理可得
这说明
三点均匀分部在一个单位圆上,
所以
为等腰三角形.
【例2】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数
如图,分别以等腰直角三角形的两直角边为
轴、
轴建立直角坐标系,设
,则
从而可求:
.
2.利用向量的坐标运算,解决有关线段的长度问题
,AD为中线,求证
以B为坐标原点,以BC所在的直线为
轴建立如图2直角坐标系,
从而
3.利用向量的坐标运算,用已知向量表示未知向量
【例4】已知点
是
且
试用
以O为原点,OC,OB所在的直线为
轴和
轴建立如图3所示的坐标系.
由OA=2,
,所以
易求
,设
【例5】如图,
用
表示
以O为坐标原点,以OA所在的直线为
轴,建立如图所示的直角坐标系,则
4.利用向量的数量积解决两直线垂直问题
【例6】
如图,已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.
(1)求证:
C1C⊥BD.
(2)当
的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?
请给出证明.
(1)证明:
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