全国卷3理科数学试题及参考答案WORD版Word格式.docx
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A.1B.
【答案】C
【解析】易知
,故
,选C
【考点】共轭复数、复数运算
(3)已知向量
=(
),则
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
【答案】A
【解析】法一:
法二:
可以B点为坐标原点建立如图所示直角坐标系,易知
【考点】向量夹角的坐标运算
(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为
,B点表示四月的平均最低气温约为
.下面叙述不正确的是
A.各月的平均最低气温都在
以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于
的月份有5个
【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于
的月份有七月、八月,六月为
左右,故最多3个
【考点】统计图的识别
(5)若
C.1D.
【解析】
【考点】二倍角公式、弦切互化、同角三角函数公式
(6)已知
【考点】指数运算、幂函数性质
(7)执行右面的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=
A.3B.4C.5D.6
【答案】B
【解析】列表如下
4
2
6
-2
10
16
20
1
3
【考点】程序框图
(8)在
中,
边上的高等于
则
A.
B.
C.
D.
【解析】如图所示,可设
,由余弦定理知,
【考点】解三角形
(9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为
C.90D.81
【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体,上下底面为俯视图的一半,各个侧面平行四边形,故表面积为
【考点】三视图、多面体的表面积
(10)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是
C.
【解析】由题意知,当球为直三棱柱的内接球时,体积最大,选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面,如图所示,则由切线长定理可知,内接圆的半径为2,
又
,所以内接球的半径为
,即
的最大值为
【考点】内接球半径的求法
(11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:
的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.
P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为
【考点】椭圆的性质、相似
(12)定义“规范01数列”{an}如下:
{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有( )
A.18个B.16个C.14个D.12个
【考点】数列、树状图
第
卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
本大题共3小题,每小题5分
(13)设x,y满足约束条件
的最大值为________.
【答案】
【解析】三条直线的交点分别为
,代入目标函数可得
,故最小值为
【考点】线性规划
(14)函数
的图像可由函数
的图像至少向右平移______个单位长度得到.
,故可前者的图像可由后者向右平移
个单位长度得到
【考点】三角恒等变换、图像平移
(15)已知f(x)为偶函数,当
时,
,则曲线
在点
处的切线方程是______
,故切线方程为
当
【考点】奇偶性、导数、切线方程
(16)已知直线
:
与圆
交于
两点,过
分别作
的垂线与
轴交于
两点,若
__________.
【答案】3
【解析】如图所示,作
于
,作
∴直线l的倾斜角为30°
【考点】直线和圆、弦长公式
三.解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知数列
的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明
是等比数列,并求其通项公式;
(2)若
,求λ.
(1);
(2)
解:
(1)
即
∴
是等比数列,公比
当n=1时,
则
【考点】等比数列的证明、由
求通项、等比数列的性质
(18)(本小题满分12分)
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:
亿吨)的折线图.
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注:
参考数据:
≈2.646.
参考公式:
回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
(1)见解析;
,1.82亿吨
(1)由题意得
因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归方程来拟合y与t的关系
(2)
所以
关于
的线性回归方程为
将
代入回归方程可得,
预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨
【考点】相关性分析、线性回归
(19)(本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(1)证明MN∥平面PAB;
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
(1)见解析;
(1)由已知得
,取
的中点
,连接
由
为
中点知
.......3分
平行且等于
,四边形
为平行四边形,
于是
.
因为
平面
,所以
.........6分
(2)取
中点
,则易知
,又
面
,故可以
为坐标原点,以
轴,以
轴建立空间直角坐标系,
则
故平面
的法向量
直线
所成角的正弦值为
【考点】线面平行证明、线面角的计算
(20)(本小题满分12分)
已知抛物线C:
y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
(1)法一:
由题设
.设
,且
记过
两点的直线为
的方程为
......3分
由于
在线段
上,故
记
的斜率为
所以
.......5分
证明:
连接RF,PF,
由AP=AF,BQ=BF及AP∥BQ,得∠AFP+∠BFQ=90°
∴∠PFQ=90°
∵R是PQ的中点,
∴RF=RP=RQ,
∴△PAR≌△FAR,
∴∠PAR=∠FAR,∠PRA=∠FRA,
∵∠BQF+∠BFQ=180°
﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR,
∴∠FQB=∠PAR,
∴∠PRA=∠PQF,
∴AR∥FQ.
(2)设
与
轴的交点为
由题设可得
(舍去),
设满足条件的
的中点为
轴不垂直时,由
可得
而
轴垂直时,
重合.所以,所求轨迹方程为
.....12分
【考点】抛物线、轨迹方程
(21)(本小题满分12分)
设函数
,其中
,记
.
(1)求
;
(2)求
(3)证明:
【答案】见解析
(1)
(2)当
因此,
.
时,将
变形为
令
是
在
上的最大值,
,且当
取得极小值,
极小值为
,解得
内无极值点,
时,由
,知
综上,
(3)由
(1)得
【考点】导函数讨论单调性、不等式证明
请考生在22、23、24题中任选一题作答,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
如果多做,则按所做的第一题计分。
(22)(本小题满分10分)选修
几何证明选讲
如图,⊙O中
的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点。
(I)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;
(II)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD。
(1)连结
,因此
(2)因为
,由此知
四点共圆,其圆心既在
的垂直平分线上,又在
的垂直平分线上,故
就是过
四点的圆的圆心,所以
的垂直平分线上,因此
【考点】几何证明选讲
(23)(本小题满分10分)选修
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