探究圆锥曲线中离心率的问题.doc
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探究圆锥曲线中离心率的问题
离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质,在高考中频繁出现,下面给同学们介绍常用的四种解法。
一、直接求出a、c,求解e
已知标准方程或a、c易求时,可利用离心率公式来求解。
例1.过双曲线C:
的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是()
A. B. C. D.
分析:
这里的,故关键是求出,即可利用定义求解。
解:
易知A(-1,0),则直线的方程为。
直线与两条渐近线和的交点分别为B、C,又|AB|=|BC|,可解得,则故有,从而选A。
二、变用公式,整体求出e
例2.已知双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
分析:
本题已知,不能直接求出a、c,可用整体代入套用公式。
解:
由(其中k为渐近线的斜率)。
这里,则,从而选A。
三、第二定义法
由圆锥曲线的统一定义(或称第二定义)知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比,特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。
例3.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为()
A. B. C. D.
解:
由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径,设焦点为F,则轴,知|MF|是通径的一半,则有。
由圆锥曲线统一定义,得离心率,从而选B。
四.构造a、c的齐次式,解出e
根据题设条件,借助a、b、c之间的关系,构造出a、c的齐次式,进而得到关于e的方程,通过解方程得出离心率e的值,这也是常用的一种方法。
例4.已知、是双曲线的两焦点,以线段F1F2为边作正,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是()
A. B. C. D.
解:
如图,设的中点为P,则点P的横坐标为,由,由焦半径公式,即,得,有,解得(舍去),故选D。
练一练
设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是(D)
A. B. C. D.
解:
由
高考试题分析
1.(2009全国卷Ⅰ)设双曲线(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率等于(C)
(A)(B)2(C)(D)
解:
渐进线的斜率与抛物线切线的斜率相等。
设切点,则切线的斜率为.由题意有又,
解得:
.
由题双曲线的一条渐近线方程为,代入抛物线方程整理得,因渐近线与抛物线相切,所以,即,
2.(2009浙江理)过双曲线的右顶点作斜率为的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为.若,则双曲线的离心率是()
A.B.C.D.
答案:
C
【解析】对于,则直线方程为,直线与两渐近线的交点为B,C,,,
因此.
3.(2009浙江文)已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点在椭圆上,且轴,直线交轴于点.若,则椭圆的离心率是()
A.B.C.D.
【解析】对于椭圆,因为,则
4.(2009山东卷理)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为().
A.B.5C.D.
【解析】:
双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,
所以,,故选D
5.(2009安徽卷理)下列曲线中离心率为的是
(A)(B)(C)(D)
[解析]由得,选B
6.(2009江西卷文)设和为双曲线()的两个焦点,若,是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为
A.B.C.D.3
【解析】由有,则,故选B.
7.(2009江西卷理)过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点,若,则椭圆的离心率为
A.B.C.D.
【解析】因为,再由有从而可得,故选B
8.(2009全国卷Ⅱ理)已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点,若,则的离心率(A)
A.B.C.D.
9.(2008福建理11)双曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为(B)
A.(1,3) B. C.(3,+) D.
利用第二定义及焦半径判断
10.(2008湖南理8)若双曲线(a>0,b>0)上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是(B)
A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D.(5,+)
解析:
利用第二定义
11.(2008江西理7)已知、是椭圆的两个焦点,满足的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是(C)
A.B.C.D.
解析:
满足的点总在椭圆内部,所以c 12.(2008全国二理9)设,则双曲线的离心率的取值范围是(B) A. B. C. D. 13.(2008陕西理8)双曲线(,)的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为(B) A. B. C. D. 14.(2008浙江理7)若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3: 2,则双曲线的离心率是(D) (A)3(B)5(C)(D) 15.(2008全国二文11)设是等腰三角形,,则以为焦点且过点的双曲线的离心率为(B) A. B. C. D. 16.(2008湖南文10)双曲线的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是(C) A.B.C.D. 利用焦半径公式及,解不等式即可。 17.(2007全国2理)设分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线上存在点,使且,则双曲线的离心率为(B) A. B. C. D. 解 18(07全国2文).已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于(D) A. B. C. D. 19(07江苏理3).在平面直角坐标系中,双曲线中心在原点,焦点在轴上,一条渐近线方程为,则它的离心率为(A) A.B.C.D. (注意焦点在轴上) 20.设分别是椭圆()的左、右焦点,若在其右准线上存在使线段的中垂线过点,则椭圆离心率的取值范围是(D) A. B. C. D. 21(07湖南文).设分别是椭圆()的左、右焦点,是其右准线上纵坐标为(为半焦距)的点,且,则椭圆的离心率是(D) A. B. C. D. 22(07北京文4).椭圆的焦点为,,两条准线与轴的交点分别为,若,则该椭圆离心率的取值范围是( D ) A. B. C. D. 23.(2009重庆卷文)已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆上存在一点使,则该椭圆的离心率的取值范围为. 【答案】 .解法1,因为在中,由正弦定理得 则由已知,得,即 设点由焦点半径公式,得则 记得由椭圆的几何性质知,整理得 解得,故椭圆的离心率 24.(2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为60,则双曲线C的离心率为 【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形,由条件知,这个三角形的两边直角分别是是虚半轴长,是焦半距,且一个内角是,即得,所以,所以,离心率 25.(2008全国一理15)在中,,.若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率. 26(2010辽宁文数)设双曲线的一个焦点为,虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为 (A)(B)(C)(D) 解析: 选D.不妨设双曲线的焦点在轴上,设其方程为: , 则一个焦点为 一条渐近线斜率为: ,直线的斜率为: ,, ,解得. 27(2010四川理数)(9)椭圆的右焦点,其右准线与轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点,则椭圆离心率的取值范围是 (A)(B)(C)(D) 解析: 由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点, 即F点到P点与A点的距离相等 而|FA|=,|PF|∈[a-c,a+c],于是∈[a-c,a+c] 即ac-c2≤b2≤ac+c2 ∴Þ又e∈(0,1)故e∈ 答案: D 28(2010广东文数)7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 A.B.C.D. (2010全国卷1文数)(16)已知是椭圆的一个焦点,是短轴的一个端点,线段的延长线交于点,且,则的离心率为. 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识,考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点: “数研究形,形助数”,利用几何性质可寻求到简化问题的捷径. 【解析1】如图,, 作轴于点D1,则由,得 所以, 即,由椭圆的第二定义得 又由,得 【解析2】设椭圆方程为第一标准形式,设,F分BD所成的比为2,,代入 , (2010全国卷1理数) (2010辽宁理数)(20)(本小题满分12分) 设椭圆C: 的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60o,. (I)求椭圆C的离心率; (II)如果|AB|=,求椭圆C的方程. 解: 设,由题意知<0,>0. (Ⅰ)直线l的方程为,其中. 联立得 解得 因为,所以. 即 得离心率.……6分 (Ⅱ)因为,所以. 由得.所以,得a=3,. 椭圆C的方程为.……12分 (2010全国卷2文数)(22)(本小题满分12分) 已知斜率为1的直线1与双曲线C: 相交于B、D两点,且BD的中点为M(1.3) (Ⅰ)(Ⅰ)求C的离心率; (Ⅱ)(Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F,|DF|·|BF|=17证明: 过A、B、D三点的圆与x轴相切。 【解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识,考查学生运用所学知识解决问题的能力。 (1)由直线过点(1,3)及斜率可得直线方程,直线与双曲线交于BD两点的中点为(1,3),可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出A,B的关系式即求得离心率。 (2)利用离心率将条件|FA||FB|=17,用含A的代数式表示,即可求得A,则A点坐标可得(1,0),由于A在X轴上所以,只要证明2AM=BD即证得。 (2010江西理数)21.(本小题满分12分)
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