高中数学苏教版必修四教学案第3章 31 两角和与差的三角函数 含答案Word下载.docx
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1.公式中的角α、β是任意角,特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数,cos(α-β)、cos(α+β)是一个整体.
2.公式特点:
公式右端的两部分为同名三角函数积,连接符号与左边角的连接符号相反,可用口诀“余余、正正、号相反”记忆公式.
[例1] 求下列各式的值:
(1)cos40°
cos70°
+cos20°
cos50°
;
(2)
.
[思路点拨]
(1)逆用公式可得角;
(2)7°
=15°
-8°
,可用两角差的余弦公式解决.
[精解详析]
(1)原式=cos40°
+sin70°
sin40°
=cos(70°
-40°
)
=cos30°
=
(2)原式=
=cos15°
=cos(60°
-45°
=cos60°
cos45°
+sin60°
sin45°
[一点通] 对非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分求值;
要善于逆用或变用公式.
1.cos(α-35°
)cos(25°
+α)+sin(α-35°
)sin(25°
+α)=________.
解析:
原式=cos[(α-35°
)-(25°
+α)]=cos(-60°
答案:
2.cos105°
=________.
cos105°
+45°
-sin60°
×
-
3.求
解:
原式=
[例2] 已知α,β∈
,sin(α+β)=-
,sin
,求cos
[思路点拨] 由α+β,β-
的正弦值已知,可用同角三角函数的基本关系式,结合α,β的范围求其余弦值,所以可利用角变换,α+
=(α+β)-
来求值.
[精解详析] ∵α,β∈
,∴(α+β)∈
∴cos(α+β)=
又
∈
,
∴cos
=-
=cos
=cos(α+β)cos
+sin(α+β)sin
+
[一点通]
(1)解决条件求值问题的关键是:
找出已知条件与待求式之间的角、运算及函数的差异,一般可适当变换已知条件,求得另外函数式的值,以备应用;
同时也要注意变换待求式,便于将已知条件及求得的函数值代入,从而达到解题的目的.
(2)在将所求角分解成某两角的和差时,应注意如下变换:
α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=(2α-β)-(α-β),
2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α)等.
4.已知sinα=
,α∈
,cosβ=-
,β是第三象限角,则cos(α-β)的值为________.
由sinα=
,α∈(
,π),
得cosα=-
又cosβ=-
,β是第三象限角,所以sinβ=-
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=
5.若α∈(0,π),且cos
,则cosα=________.
∵α∈(0,π),∴α+
又∵cos
>
0,∴α+
∴sin
∴cosα=cos
cos
+sin
sin
[例3] 已知α,β为锐角,cosα=
,cos(α+β)=-
,求β的值.
[思路点拨] β=(α+β)-α,然后求得β的某一三角函数值即可求得结论.
[精解详析] ∵α为锐角,且cosα=
∴sinα=
又∵α,β均为锐角,∴0<
α+β<
π.
又cos(α+β)=-
∴sin(α+β)=
则cosβ=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
,∴β=
[一点通] 解决给值求角型题目,一般分三个步骤:
(1)求角的某一三角函数值;
(2)确定角所在的范围;
(3)根据角的范围写出所求的角.
6.已知α、β均为锐角,且sinα=
,cosβ=
,则α-β的值为________.
∵α、β均为锐角,sinα=
∴cosα=
,sinβ=
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
.又sinα<
sinβ,
∴0<
α<
β<
,从而-
<
α-β<
0.故α-β=-
7.已知sinα=
,且α和β均为钝角,求α+β的值.
∵α和β均为钝角,
∴cosα=-
cosβ=-
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
由α和β均为钝角,得π<
2π,∴α+β=
1.求解给角求值问题的方法
(1)给角求值,一般所给出的角都是非特殊角,要仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系,结合三角公式转化为特殊角求解.
(2)在解答过程中常会利用诱导公式实现角的前后统一,有时还会用到一些特殊角的三角函数值,如sin
等.
2.解决给值(或)求值问题的方法
对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数的值,求另外一些角的三角函数的值,关键在于“变角”,使“所求角”变为“已知角”.一般地
(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;
(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”;
(3)角的拆分方法不唯一,可根据题目合理选择拆分方式.
3.解决给值求角问题的方法
先求出所求角的一个三角函数值,再根据所求的范围确定所求角的具体值.
课下能力提升(二十三)一、填空题
1.cos(x+27°
)cos(x-18°
)+sin(x+27°
)sin(x-18°
)=________.
原式=cos[(x+27°
)-(x-18°
)]=cos45°
2.若sinα=
,则cos
的值为________.
∵sinα=
且α∈
cosα+sin
sinα=-
3.已知
<β<α<
,cos(α-β)=
,则cos2α的值为________.
∵
,∴-
<-β<-
∴0<α-β<
,π<α+β<
∴sin(α-β)=
cos(α+β)=-
于是cos2α=cos[(α+β)+(α-β)]
=cos(α+β)·
cos(α-β)-sin(α+β)·
sin(α-β)
4.
原式=sin
-cos
=-cos
5.已知cosα-cosβ=
,sinα-sinβ=-
,则cos(α-β)=________.
将两条件等式平方后相加得
(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2
=2-2cos(α-β)=
,∴cos(α-β)=
二、解答题
6.(广东高考)已知函数f(x)=
,x∈R.
(1)求f
的值;
(2)若cosθ=
,θ∈
,求f
(1)f
=1.
(2)∵cosθ=
∴sinθ=-
∴f
7.在△ABC中,已知cosA=
,sinB=
,求cosC.
∵△ABC中,0<A<π,0<B<π,
由cosA=
知sinA=
又0<
<
,∴A>
.又sinB=
,且
若B为锐角,则
<B<
,此时cosB=
若B为钝角,则
.由于A>
,故B不可能为钝角.
∴cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)
=-cosAcosB+sinAsinB
8.已知函数f(x)=2cos
(其中ω>
0,x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值;
(2)设α,β∈
,f
,求cos(α+β)的值.
(1)∵f(x)=2cos
,ω>
0的最小正周期T=10π=
,∴ω=
(2)由
(1)知f(x)=2cos
而α,β∈
∴2cos
2cos
即cos
于是sinα=
,cosα=
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=
.第2课时 两角和与差的正弦
诱导公式cos
=sinα,sin
=cosα,其公式作用是什么?
正弦、余弦的互化.
你能把sin(α+β),sin(α-β)表示为余弦的形式吗?
能.sin(α+β)=cos
sin(α-β)=cos
你能推导一下两角和与差的正弦公式吗?
sin(α+β)=cos
cosβ+sin
sinβ
=sinαcosβ+cosαsinβ
=sinαcosβ-cosαsinβ
两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦
S(α+β)
sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β
α,β
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