高考数学一轮复习 第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第4讲 指数与指数函数教案 理 新人教版Word格式.docx
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(1)幂的有关概念
①正整数指数幂:
an=a·
a·
…·
(n∈N*);
②零指数幂:
a0=1(a≠0);
③负整数指数幂:
a-p=(a≠0,p∈N*);
④正分数指数幂:
a=(a>0,m、n∈N*,且n>1);
⑤负分数指数幂:
a-==(a>0,m、n∈N*且n>1).
⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理数指数幂的性质
①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q)
②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q)
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
3.指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
性质
过定点(0,1)
x<0时,0<y<1
x<0时,y>1.
在(-∞,+∞)上是减函数
当x>0时,0<y<1;
当x>0时,y>1;
在(-∞,+∞)上是增函数
一个关系
分数指数幂与根式的关系
根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可以相互转化,通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.
两个防范
(1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的,因此解题时通常对底数a按:
0<a<1和a>1进行分类讨论.
(2)换元时注意换元后“新元”的范围.
三个关键点
画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:
(1,a),(0,1),.
双基自测
1.(xx·
山东)若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tan的值为( ).
A.0B.
C.1D.
解析 由题意有3a=9,则a=2,∴tan=tan=.
答案 D
2.(xx·
郴州五校联考)函数f(x)=2|x-1|的图象是( ).
解析 f(x)=故选B.
答案 B
3.若函数f(x)=,则该函数在(-∞,+∞)上是( ).
A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值
C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值
解析 设y=f(x),t=2x+1,
则y=,t=2x+1,x∈(-∞,+∞)
t=2x+1在(-∞,+∞)上递增,值域为(1,+∞).
因此y=在(1,+∞)上递减,值域为(0,1).
答案 A
4.(xx·
天津)已知a=5log23.4,b=5log43.6,c=log30.3,则( ).
A.a>b>cB.b>a>c
C.a>c>bD.c>a>b
解析 c=log30.3=5-log30.3=5log3,log23.4>log22=1,log43.6<log44=1,log3>log33=1,
又log23.4>log2>log3,∴log23.4>log3>log43.6
又∵y=5x是增函数,∴a>c>b.
答案 C
5.(xx·
天津一中月考)已知a+a-=3,则a+a-1=______;
a2+a-2=________.
解析 由已知条件(a+a-)2=9.整理得:
a+a-1=7
又(a+a-1)2=49,因此a2+a-2=47.
答案 7 47
考向一 指数幂的化简与求值
【例1】►化简下列各式(其中各字母均为正数).
(1);
(2)a·
b-2·
(-3a-b-1)÷
(4a·
b-3).
[审题视点]熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键.
解
(1)原式=
=a---·
b+-=.
(2)原式=-a-b-3÷
b-3)
=-a-b-3÷
=-a-·
b-
=-·
=-.
化简结果要求
(1)若题目以根式形式给出,则结果用根式表示;
(2)若题目以分数指数幂的形式给出,则结果用分数指数幂表示;
(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数幂.
【训练1】计算:
(1)0.027---2+-0;
(2)-·
.
解
(1)原式=--(-1)-2-2+-1
=-49+-1=-45.
(2)原式=·
a-·
b·
b-=a0·
b0=.
考向二 指数函数的性质
【例2】►已知函数f(x)=·
x3(a>0且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)讨论函数f(x)的奇偶性;
(3)求a的取值范围,使f(x)>0在定义域上恒成立.
[审题视点]对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形;
恒成立问题可通过求最值解决.
解
(1)由于ax-1≠0,且ax≠1,所以x≠0.
∴函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0}.
(2)对于定义域内任意x,有
f(-x)=(-x)3
=(-x)3=(-x)3
=x3=f(x),
∴f(x)是偶函数.
(3)当a>1时,对x>0,由指数函数的性质知ax>1,
∴ax-1>0,+>0.
又x>0时,x3>0,∴x3>0,
即当x>0时,f(x)>0.
又由
(2)知f(x)为偶函数,即f(-x)=f(x),
则当x<0时,-x>0,有f(-x)=f(x)>0成立.
综上可知,当a>1时,f(x)>0在定义域上恒成立.
当0<a<1时,f(x)=.
当x>0时,1>ax>0,ax+1>0,
ax-1<0,x3>0,此时f(x)<0,不满足题意;
当x<0时,-x>0,f(-x)=f(x)<0,也不满足题意.
综上可知,所求a的取值范围是a>1.
(1)判断此类函数的奇偶性,常需要对所给式子变形,以达到所需要的形式,另外,还可利用f(-x)±
f(x),来判断.
(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题,是解决恒成立问题的常用方法.
【训练2】设f(x)=+是定义在R上的函数.
(1)f(x)可能是奇函数吗?
(2)若f(x)是偶函数,试研究其在(0,+∞)的单调性.
解
(1)假设f(x)是奇函数,由于定义域为R,
∴f(-x)=-f(x),即+=-,
整理得(ex+e-x)=0,
即a+=0,即a2+1=0显然无解.
∴f(x)不可能是奇函数.
(2)因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),
即+=+,
整理得(ex-e-x)=0,
又∵对任意x∈R都成立,∴有a-=0,得a=±
1.
当a=1时,f(x)=e-x+ex,以下讨论其单调性,
任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=ex1+e-x1-ex2-e-x2
=,
∵x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,
∴ex1+x2>1,ex1-ex2<0,∴ex1+x2-1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)=+,
当a=1时在(0,+∞)为增函数,
同理,当a=-1时,f(x)在(0,+∞)为减函数.
考向三 指数函数图象的应用
【例3】►(xx·
山东)函数y=的图象大致为( ).
[审题视点]函数图象的判断要充分利用函数的性质,如奇偶性、单调性.
解析 y==1+,当x>0时,e2x-1>0且随着x的增大而增大,故y=1+>1且随着x的增大而减小,即函数y在(0,+∞)上恒大于1且单调递减,又函数y是奇函数,故选A.
利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质,比如:
函数y=,y=,y=lg(10x-1)等.
【训练3】已知方程10x=10-x,lgx+x=10的实数解分别为α和β,则α+β的值是________.
解析 作函数y=f(x)=10x,y=g(x)=lgx,y=h(x)=10-x的图象如图所示,由于y=f(x)与y=g(x)互为反函数,∴它们的图象是关于直线y=x对称的.又直线y=h(x)与y=x垂直,∴y=f(x)与y=h(x)的交点A和y=g(x)与y=h(x)的交点B是关于直线y=x对称的.而y=x与y=h(x)的交点为(5,5).又方程10x=10-x的解α为A点横坐标,同理,β为B点横坐标.∴=5,即α+β=10.
答案 10
难点突破3——如何求解新情景下指数函数的问题
高考中对指数函数的考查,往往突出新概念、新定义、新情景中的问题,题目除最基本问题外,注重考查一些小、巧、活的问题,突出考查思维能力和化归等数学思想.
一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法
【示例】►(xx·
福建五市模拟)设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内
有定义.对于给定的正数K,定义函数fK(x)=取函数f(x)=2+x+e-x,若对任意的x∈(-∞,+∞),恒有fK(x)=f(x),则K的最大值为________.
二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法
【示例】►若f1(x)=3|x-1|,f2(x)=2·
3|x-a|,x∈R,且f(x)=则f(x)=f1(x)对所有实数x成立,则实数a的取值范围是________.
2019-2020年高考数学一轮复习第二篇函数与基本初等函数Ⅰ第5讲 对数与对数函数教案理新人教版
1.考查对数函数的定义域与值域.
2.考查对数函数的图象与性质的应用.
3.考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质.
4.考查对数函数与指数函数互为反函数的关系.
复习本讲首先要注意对数函数的定义域,这是研究对数函数性质.判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依据,同时熟练把握对数函数的有关性质,特别注意底数对函数单调性的影响.
1.对数的概念
(1)对数的定义
如果ax=N(a>0且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
(2)几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为a(a>0且a≠1)
logaN
常用对数
底数为10
lgN
自然对数
底数为e
ln_N
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
①alogaN=N;
②logaaN=N(a>0且a≠1).
(2)对数的重要公式
①换底公式:
logbN=(a,b均大于零且不等于1);
②logab=,推广logab·
logbc·
logcd=logad.
(3)对数的运算法则
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
①log
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