版高考数学一轮复习 第十章 计数原理概率随机文档格式.docx
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3.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,其中Ai(i=1,2,…,n)是第i次试验结果,则
P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An).
(2)二项分布
在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.
牢记且理解事件中常见词语的含义
(1)A,B中至少有一个发生的事件为A∪B;
(2)A,B都发生的事件为AB;
(3)A,B都不发生的事件为;
(4)A,B恰有一个发生的事件为A∪B;
(5)A,B至多一个发生的事件为A∪B∪.
一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)相互独立事件就是互斥事件.( )
(2)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B).( )
(3)公式P(AB)=P(A)P(B)对任意两个事件都成立.( )
(4)二项分布是一个概率分布列,是一个用公式P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n表示的概率分布列,它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.( )
[答案]
(1)×
(2)√ (3)×
(4)√
二、教材改编
1.如果某一批玉米种子中,每粒发芽的概率均为,那么播下5粒这样的种子,恰有2粒不发芽的概率是( )
A. B. C. D.
A [用X表示发芽的粒数,则X~B,则P(X=3)=C×
3×
=,故播下5粒这样的种子,恰有2粒不发芽的概率为.]
2.两个实习生每人加工一个零件,加工成一等品的概率分别为和,两个零件中能否被加工成一等品相互独立,则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( )
A.B.
C.D.
B [因为两人加工成一等品的概率分别为和,且相互独立,所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P=×
+×
=.]
3.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,则在第1次抽到文科题的条件下,第2次抽到理科题的概率为( )
D [根据题意,在第1次抽到文科题后,还剩4道题,其中有3道理科题;
则第2次抽到理科题的概率P=,故选D.]
4.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机抽取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品的件数,则X服从二项分布,记作.
X~B(100,0.02) [根据题意,X~B(100,0.02).]
考点1 条件概率
求条件概率的2种方法
(1)利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)=,这是求条件概率的通法.
(2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=.
1.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=( )
B [法一(直接法):
P(A)===,P(AB)==.由条件概率计算公式,得P(B|A)===.
法二(缩小样本空间法):
事件A包括的基本事件:
(1,3),(1,5),(3,5),(2,4)共4个.
事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形,即n(AB)=1.
故由古典概型概率P(B|A)==.]
2.(2019·
运城模拟)有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为.
0.72 [设“种子发芽”为事件A,“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽,又成活为幼苗).出芽后的幼苗成活率为P(B|A)=0.8,P(A)=0.9,根据条件概率公式得P(AB)=P(B|A)·
P(A)=0.8×
0.9=0.72,即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.]
判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的“已知”“在……前提下(条件下)”等字眼.第2题中没有出现上述字眼,但已知事件的发生影响了所求事件的概率,也认为是条件概率问题.运用P(AB)=P(B|A)·
P(A),求条件概率的关键是求出P(A)和P(AB),要注意结合题目的具体情况进行分析.
考点2 相互独立事件的概率
求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立.
(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有:
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
②正面计算较繁或难以入手时,可从其对立事件入手计算.
(1)天气预报,在元旦假期甲地的降雨概率是0.2,乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响,则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( )
A.0.2B.0.3
C.0.38D.0.56
(2)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛,本次选拔赛只有出线和未出线两种情况.规定一名运动员出线记1分,未出线记0分.假设甲、乙、丙出线的概率分别为,,,他们出线与未出线是相互独立的.
①求在这次选拔赛中,这三名运动员至少有一名出线的概率;
②记在这次选拔赛中,甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列.
(1)C [
(1)设甲地降雨为事件A,乙地降雨为事件B,则两地恰有一地降雨为A+B,
∴P(A+B)=P(A)+P(B)
=P(A)P()+P()P(B)=0.2×
0.7+0.8×
0.3=0.38.]
(2)[解] ①记“甲出线”为事件A,“乙出线”为事件B,“丙出线”为事件C,“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D,
则P(D)=1-P()=1-×
×
=.
②由题意可得,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(ξ=0)=P()=×
=;
P(ξ=1)=P()+P()+P()=×
P(ξ=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=×
P(ξ=3)=P(ABC)=×
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
含有“恰好、至多、至少”等关键词的问题,求解的关键在于正确分析所求事件的构成,将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积,然后利用相关公式进行计算.
[教师备选例题]
从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.
(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列;
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
[解]
(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=×
=,
P(X=1)=×
P(X=2)=×
P(X=3)=×
所以随机变量X的分布列为
X
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为
P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)
=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)
=×
所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
(2019·
全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
[解]
(1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×
0.4+(1-0.5)×
(1-0.4)=0.5.
(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:
前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.
因此所求概率为
[0.5×
(1-0.4)+(1-0.5)×
0.4]×
0.5×
0.4=0.1.
考点3 独立重复试验与二项分布
独立重复试验的概率
独立重复试验概率求解的策略
(1)首先判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验,判断时注意各次试验之间是相互独立的,并且每次试验的结果只有两种,在任何一次试验中,某一事件发生的概率都相等,然后用相关公式求解.
(2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.
(1)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:
质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是.
(2)(2019·
苏州模拟)某射手每次射击击中目标的概率是,且各次射击的结果互不影响.
①假设这名射手射击5次,求恰有2次击中目标的概率;
②假设这名射手射击5次,求有3次连续击中目标,另外2次未击中目标的概率;
③假设这名射手射击3次,每次射击,击中目标得1分,未击中目标得0分.在3次射击中,若有2次连续击中,而另外1次未击中,则额外加1分;
若3次全击中,则额外加3分.记ξ为射手射击3次后的总分数,求ξ的分布列.
(1) [由于质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,移动五次后位于点(2,3),所以质点P必须向右移动两次,向上移动三次,故其概率为C·
=C=.]
(2)[解] ①设X为射手在5次射击中击中目标的次数,则X~B.在5次射击中,恰有2次击中目标的概率为P(X=2)=C×
②设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i=1,2,3,4,5),“射手在5次射击中,有3次连续击中目标,另外2次未击中目标”为事件A,则
P(A)=P(A1A2A345)+P(1A2A3A45)+P(12A3A4A5)=3×
③设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i=1,2,3).
由题意可知,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.
P(ξ=0)=P(123)==;
P(ξ=1)=P(A123)+P(1A23)+P(12A3)
P(ξ=2)=P(A12A3)=×
P(ξ=3)=P(A1A23)+P(1A2A3)
P(ξ=6)=P(A1A2A3)==.
所以ξ的分布列是
6
在求解过程中,本例
(2)中②常因注意不到题设条件“有3次连续击中目标,另外2次未
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