高中数学人教A版选修11 模块综合测评 Word版含答案文档格式.docx
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D.x2=-
y或y2=9x
【解析】 P(1,-3)在第四象限,所以抛物线只能开口向右或向下,设方程为y2=2px(p>0)或x2=-2py(p>0),代入P(1,-3)得y2=9x或x2=-
y.故选D.
3.(2016·
南阳高二检测)下列命题中,正确命题的个数是( )
①命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”;
②“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件;
③若p∧q为假命题,则p,q均为假命题;
④对命题p:
∃x0∈R,使得x
+x0+1<
0,则¬
p:
∀x∈R,均有x2+x+1≥0.
A.1 B.2C.3 D.4
【解析】 ①正确;
②由p∨q为真可知,p,q至少有一个是真命题即可,所以p∧q不一定是真命题;
反之,p∧q是真命题,p,q均为真命题,所以p∨q一定是真命题,②不正确;
③若p∧q为假命题,则p,q至少有一个假命题,③不正确;
④正确.
【答案】 B
4.函数f(x)=x2+2xf′
(1),则f(-1)与f
(1)的大小关系为( )
A.f(-1)=f
(1)B.f(-1)<
f
(1)
C.f(-1)>
f
(1)D.无法确定
【解析】 f′(x)=2x+2f′
(1),
令x=1,得f′
(1)=2+2f′
(1),∴f′
(1)=-2.
∴f(x)=x2+2x·
f′
(1)=x2-4x,
f
(1)=-3,f(-1)=5.
∴f(-1)>
f
(1).
【答案】 C
5.(2014·
福建高考)命题“∀x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是( )
A.∀x∈(-∞,0),x3+x<
B.∀x∈(-∞,0),x3+x≥0
C.∃x0∈[0,+∞),x
+x0<
D.∃x0∈[0,+∞),x
+x0≥0
【解析】 故原命题的否定为:
∃x0∈[0,+∞),x
0.故选C.
6.已知双曲线的离心率e=2,且与椭圆
+
=1有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±
xB.y=±
x
C.y=±
xD.y=±
2
【解析】 双曲线的焦点为F(±
4,0),e=
=2,∴a=2,b=
=2
,∴渐近线方程为y=±
x=±
x.
7.已知双曲线
-
=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为
,则p=( )【导学号:
26160107】
A.1 B.
C.2 D.3
【解析】 因为双曲线的离心率e=
=2,所以b=
a,所以双曲线的渐近线方程为y=±
x,与抛物线的准线x=-
相交于A
,B
,所以△AOB的面积为
×
p=
,又p>0,所以p=2.
8.点P在曲线y=x3-x+3上移动,过点P的切线的倾斜角的取值范围为( )
A.[0,π)B.
∪
C.
D.
【解析】 f′(x)=3x2-1≥-1,即切线的斜率k≥-1,所以切线的倾斜角的范围为
.
9.椭圆有如下的光学性质:
从椭圆的一个焦点发出的光线,经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A,B是它的两个焦点,其长轴长为2a,焦距为2c(a>c>0),静放在点A的小球(小球的半径不计),从点A沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是( )
A.2(a-c)B.2(a+c)
C.4aD.以上答案均有可能
【解析】 如图,本题应分三种情况讨论:
当小球沿着x轴负方向从点A出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是2(a-c);
当小球沿着x轴正方向从点A出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是2(a+c);
当是其他情况时,从点A沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是4a.
10.若函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在区间(0,4)上是减函数,则k的取值范围是( )
A.
B.
D.
【解析】 f′(x)=3kx2+6(k-1)x.
由题意知3kx2+6(k-1)x≤0,
即kx+2k-2≤0在(0,4)上恒成立,
得k≤
,x∈(0,4),又
<
<1,∴k≤
11.若直线y=2x与双曲线
=1(a>
0,b>
0)有公共点,则双曲线的离心率的取值范围为( )
A.(1,
)B.(
,+∞)
C.(1,
]D.[
【解析】 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y=
x.由条件知,应有
>
2,
故e=
=
12.(2014·
湖南高考)若0<
x1<
x2<
1,则( )
A.ex2-ex1>
lnx2-lnx1
B.ex2-ex1<
C.x2ex1>
x1ex2
D.x2ex1<
【解析】 设f(x)=ex-lnx(0<
x<
1),
则f′(x)=ex-
令f′(x)=0,得xex-1=0.
根据函数y=ex与y=
的图象,可知两函数图象交点x0∈(0,1),因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数,故A,B选项不正确.
设g(x)=
(0<
1),则g′(x)=
又0<
1,∴g′(x)<
0.
∴函数g(x)在(0,1)上是减函数.
1,∴g(x1)>
g(x2),
∴x2ex1>
x1ex2.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是________.
【解析】 a+b+c=3的否定是a+b+c≠3,
a2+b2+c2≥3的否定是a2+b2+c2<
3.
【答案】 若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<
3
14.曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为________________.【导学号:
26160108】
【解析】 y′=ex+xex+2,k=y′|x=0=e0+0+2=3,
所以切线方程为y-1=3(x-0),
即3x-y+1=0.
【答案】 3x-y+1=0
15.如图1为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象,f′(x)为函数f(x)的导函数,则不等式xf′(x)<0的解集为________________.
图1
【解析】 当x<0时,f′(x)>0,此时f(x)为增函数,
由图象可知x∈(-∞,-
);
当x>0时,f′(x)<0,此时f(x)为减函数,由图象可知x∈(0,
).
∴xf′(x)<0的解集为(-∞,-
)∪(0,
【答案】 (-∞,-
)
16.若O和F分别是椭圆
=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则
·
的最大值为________.
【解析】 由椭圆
=1可得点F(-1,0),点O(0,0),设P(x,y),-2≤x≤2,则
=x2+x+y2=x2+x+3
x2+x+3=
(x+2)2+2,当且仅当x=2时,
取得最大值6.
【答案】 6
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)设命题p:
方程
=1表示的曲线是双曲线;
命题q:
∃x∈R,3x2+2mx+m+6<
0.若命题p∧q为假命题,p∨q为真命题,求实数m的取值范围.
【解】 对于命题p,因为方程
=1表示的曲线是双曲线,所以(1-2m)(m+4)<
0,解得m<
-4或m>
,则命题p:
m<
对于命题q,因为∃x∈R,3x2+2mx+m+6<
0,即不等式3x2+2mx+m+6<
0在实数集R上有解,
所以Δ=(2m)2-4×
3×
(m+6)>
0,
解得m<
-3或m>
6.
则命题q:
因为命题p∧q为假命题,p∨q为真命题,所以命题p与命题q有且只有一个为真命题.
若命题p为真命题且命题q为假命题,
即
得
<
m≤6;
若命题p为假命题且命题q为真命题,
得-4≤m<
-3.
综上,实数m的取值范围为[-4,-3)∪
18.(本小题满分12分)设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数.
(1)求b,c的值;
(2)求g(x)的单调区间与极值.
【解】
(1)∵f(x)=x3+bx2+cx,
∴f′(x)=3x2+2bx+c.
从而g(x)=f(x)-f′(x)
=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)
=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c
∵g(x)是奇函数,
∴-x3+(b-3)x2-(c-2b)x-c
=-[x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c]
得(b-3)x2-c=0对x∈R都成立.
∴
得b=3,c=0.
(2)由
(1)知g(x)=x3-6x,从而g′(x)=3x2-6,由此可知,(-∞,-
)和(
,+∞)是函数g(x)的单调递增区间;
(-
,
)是函数g(x)的单调递减区间.g(x)在x=-
时,取得极大值,极大值为4
,g(x)在x=
时,取得极小值,极小值为-4
19.(本小题满分12分)已知抛物线y2=4x截直线y=2x+b所得的弦长为|AB|=3
(1)求b的值;
【导学号:
26160109】
(2)在x轴上求一点P,使△APB的面积为39.
【解】
(1)联立方程组
消去y,得方程:
4x2+(4b-4)x+b2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=1-b,x1x2=
|AB|=
=3
解得b=-4.
(2)将b=-4代入直线y=2x+b,得AB所在的直线方程为2x-y-4=0,
设P(a,0),则P到直线AB的距离为d=
△APB的面积S=
=39,则a=-11或15,
所以P点的坐标为(-11,0)或(15,0).
20.(本小题满分12分)某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:
元,0≤x≤30)的平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数;
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?
【解】
(1)
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