徐州数学 二次函数专题练习解析版Word下载.docx
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【详解】
解:
(1)∵抛物线L:
y=ax2﹣4ax(a>0),
∴抛物线的对称轴x=﹣=2.
(2)如图1中,
对于抛物线y=ax2﹣4ax,令y=0,得到ax2﹣4ax=0,
解得x=0或4,
∴A(4,0),
∵四边形OMAM′是正方形,
∴OD=DA=DM=DM′=2,
∴M((2,﹣2),M′(2,2)
把M(2,﹣2)代入y=ax2﹣4ax,
可得﹣2=4a﹣8a,
∴a=,
∴抛物线L′的解析式为y=﹣(x﹣2)2+2=﹣x2+2x.
(3)如图3中,由题意OD=2.
当OD为平行四边形的边时,PQ=OD=2,设P(m,m2﹣2m),则Q[m﹣2,﹣(m﹣2)2+2(m﹣2)]或[m+2,﹣(m+2)2+2(m+2)],
∵PQ∥OD,
∴m2﹣2m=﹣(m﹣2)2+2(m﹣2)或m2﹣2m=﹣(m+2)2+2(m+2),
解得m=3±
或1±
,
∴P(3+,)或(3﹣,﹣)或(1﹣,)和(1+,﹣),
当OD是平行四边形的对角线时,点P的横坐标为1,此时P(1,﹣),
综上所述,满足条件的点P的坐标为(3+,)或(3﹣,﹣)或(1﹣,)和(1+,﹣)或(1,﹣).
【点睛】
本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,正方形的性质,平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题
2.在平面直角坐标系中,抛物线经过点和点,与y轴交于点D,与x轴的另一交点为点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,连接,在抛物线上是否存在点P,使得?
若存在,请求出点P的坐标;
若不存在,请说明理由;
(3)如图2,连接,交y轴于点E,点M是线段上的动点(不与点A,点D重合),将沿所在直线翻折,得到,当与重叠部分的面积是面积的时,请直接写出线段的长.
(2)存在,(,)或(,);
(3)或
(1)根据点A和点C的坐标,利用待定系数法求解;
(2)在x轴正半轴上取点E,使OB=OE,过点E作EF⊥BD,垂足为F,构造出∠PBC=∠BDE,分点P在第三象限时,点P在x轴上方时,点P在第四象限时,共三种情况分别求解;
(3)设EF与AD交于点N,分点F在直线AC上方和点F在直线AC下方时两种情况,利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN,FN=NE,从而证明四边形FMEA为平行四边形,继而求解.
(1)∵抛物线经过点A(-2,-4)和点C(2,0),
则,解得:
∴抛物线的解析式为;
(2)存在,理由是:
在x轴正半轴上取点E,使OB=OE,过点E作EF⊥BD,垂足为F,
在中,
令y=0,解得:
x=2或-1,
∴点B坐标为(-1,0),
∴点E坐标为(1,0),
可知:
点B和点E关于y轴对称,
∴∠BDO=∠EDO,即∠BDE=2∠BDO,
∵D(0,2),
∴DE==BD,
在△BDE中,有×
BE×
OD=×
BD×
EF,
即2×
2=×
EF,解得:
EF=,
∴DF==,
∴tan∠BDE===,
若∠PBC=2∠BDO,
则∠PBC=∠BDE,
∵BD=DE=,BE=2,
则BD2+DE2>BE2,
∴∠BDE为锐角,
当点P在第三象限时,
∠PBC为钝角,不符合;
当点P在x轴上方时,
∵∠PBC=∠BDE,设点P坐标为(c,),
过点P作x轴的垂线,垂足为G,
则BG=c+1,PG=,
∴tan∠PBC===,
解得:
c=,
∴=,
∴点P的坐标为(,);
当点P在第四象限时,
同理可得:
PG=,BG=c+1,
tan∠PBC===,
∴点P的坐标为(,),
综上:
点P的坐标为(,)或(,);
(3)设EF与AD交于点N,
∵A(-2,-4),D(0,2),设直线AD表达式为y=mx+n,
∴直线AD表达式为y=3x+2,
设点M的坐标为(s,3s+2),
∵A(-2,-4),C(2,0),设直线AC表达式为y=m1x+n1,
∴直线AC表达式为y=x-2,
令x=0,则y=-2,
∴点E坐标为(0,-2),
可得:
点E是线段AC中点,
∴△AME和△CME的面积相等,
由于折叠,
∴△CME≌△FME,即S△CME=S△FME,
由题意可得:
当点F在直线AC上方时,
∴S△MNE=S△AMC=S△AME=S△FME,
即S△MNE=S△ANE=S△MNF,
∴MN=AN,FN=NE,
∴四边形FMEA为平行四边形,
∴CM=FM=AE=AC==,
∵M(s,3s+2),
∴,
s=或0(舍),
∴M(,),
∴AM==,
当点F在直线AC下方时,如图,
四边形AFEM为平行四边形,
∴AM=EF,
由于折叠可得:
CE=EF,
∴AM=EF=CE=,
AM的长度为或.
本题是二次函数综合题,涉及到待定系数法,二次函数的图像和性质,折叠问题,平行四边形的判定和性质,中线的性质,题目的综合性很强.难度很大,对学生的解题能力要求较高.
3.已知函数(为常数).
(1)若点在此函数图象上,求的值.
(2)当时,
①求此函数图象与轴的交点的横坐标.
②若此函数图象与直线有三个交点,求的取值范围.
(3)已知矩形的四个顶点分别为点,点,点,点,若此函数图象与矩形无交点,直接写出的取值范围.
(1)或;
(2)①或;
②或;
(3)或或
(1)本题根据点横坐标大于零,故将点代入对应解析式即可求得的取值.
(2)①本题将代入解析式,分别令两个函数解析式y值为零即可求得函数与x轴交点横坐标;
②本题可求得分段函数具体解析式,继而求得顶点坐标,最后平移直线观察其与图像交点,即可得到答案.
(3)本题可根据对称轴所在的位置分三种情况讨论,第一种为当,将函数值与2比大小,将与0比大小;
第二种为当,函数值与0比大小,且该函数与y轴的交点和0比大小,函数值与2比大小,且该函数与y轴交点与2比大小;
第三种为与y轴交点与2比大小,与y轴交点与0比大小.
(1)将代入中,得,解得或.
(2)当时,函数为,
①令,解得或.(不合题意,舍去)
令,解得或.(不合题意,舍去)
综上,或.
②对于函数,其图象开口向上,顶点为;
对于函数,其图象开口向下,顶点为,与轴交于点.
综上,若此函数图象与直线有三个交点,则需满足或.
(3)对称轴为;
对称轴为.
①当时,若使得图像与矩形ABCD无交点,需满足当时,,解不等式得或,在此基础上若使图像与矩形ABCD无交点,需满足当时,,
解得或,
综上可得:
.
②当时,若使得图像与矩形ABCD无交点,需满足时,;
当时,;
得,
在此基础上若使图像与矩形ABCD无交点,需满足时,;
时,;
求得;
③当时,若使函数图像与矩形ABCD无交点,需满足时,且;
求解上述不等式并可得公共解集为:
若使得函数与矩形ABCD无交点,则或或.
本题考查二次函数综合,求解函数解析式常用待定系数法,函数含参数讨论时,往往需要分类讨论,分类讨论时需要先选取特殊情况以用来总结规律,继而将规律一般化求解题目.
4.已知抛物线过点.
(1)若点也在该抛物线上,请用含的关系式表示;
(2)若该抛物线上任意不同两点、都满足:
若以原点为圆心,为半径的圆与抛物线的另两个交点为、(点在点左侧),且有一个内角为,求抛物线的解析式;
(3)在
(2)的条件下,若点与点关于点对称,且、、三点共线,求证:
平分.
(2);
(3)见解析.
(1)把点、代入抛物线解析式,然后整理函数式即可得到答案.
(2)根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为轴、开口向上,进而可得出,由抛物线的对称性可得出为等腰三角形,结合其有一个的内角可得出为等边三角形,设线段与轴交于点,根据等边三角形的性质可得出点的坐标,再利用待定系数法可求出值,此题得解;
(3)由
(1)的结论可得出点的坐标为,、点的坐标为,,由、、三点共线可得出,进而可得出点及点的坐标,由点、的坐标利用待定系数法可求出直线的解析式,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点在直线上,进而即可证出平分.
(1)把点、分别代入,得
所以.
(2),如图1,
当时,,
,,
当时,随的增大而减小;
同理:
当时,随的增大而增大,
抛物线的对称轴为轴,开口向上,
为半径的圆与拋物线的另两个交点为、,
为等腰三角形,
又有一个内角为,
为等边三角形.
设线段与轴交于点,则,且,
又,
,.
不妨设点在轴右侧,则点的坐标为,.
点在抛物线上,且,,
抛物线的解析式为.
(3)证明:
由
(1)可知,点的坐标为,,点的坐标为,.
如图2,直线的解析式为.
、、三点共线,
,,且,
,即,
点的坐标为,.
设点关于轴的对称点为点,则点的坐标为,.
点是点关于点的对称点,
点的坐标为.
设直线的解析式为,
点的坐标为,,
直线的解析式为.
点在直线上,
本题考查了待定系数法求一次(二次)函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次(二次)函数图象上点的坐标特征,解题的关键是:
(1)利用二次函数图象上点的坐标特征求出、满足的关系式;
(2)①利用等边三角形的性质找出点的坐标;
②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点在直线上.
5.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).
(1)若b=1,a=﹣c,求证:
二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点;
(2)若a0,c=0,且对于任意的实数x,都有y1,求4a+b2的取值范围;
(3)若函数图象上两点(0,y1)和(1,y2)满足y1•y2>0,且2a+3b+6c=0,试确定二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围.
(1)见解析;
(3)
(1)根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论;
(2)根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标,再整理即可;
(3)将(0,y1)和(1,y2)分别代入函数解析式,由y1•y2>0,及2a+3b+6c=0,得不等式组,变形即可得出答案.
(1)证明:
∵y=ax2+bx+c(a≠0),
∴令y=0得:
ax2+bx+c=0
∵b
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