高考数学文复习第1部分专题5 突破点12 圆锥曲线的定义方程几何性质含答案.docx
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高考数学文复习第1部分专题5突破点12圆锥曲线的定义方程几何性质含答案
突破点12圆锥曲线的定义、方程、几何性质
[核心知识提炼]
提炼1圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系
①在椭圆中:
a2=b2+c2;离心率为e=
=
;
②在双曲线中:
c2=a2+b2;离心率为e=
=
.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线
-
=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±
x;焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0);
②双曲线
-
=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±
x,焦点坐标F1(0,-c),F2(0,c).
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y2=±2px(p>0)的焦点坐标为
,准线方程为x=∓
;
②抛物线x2=±2py(p>0)的焦点坐标为
,准线方程为y=∓
.
提炼2弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长
斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|=
|x1-x2|=
或|AB|=
|y1-y2|=
.
(2)抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则①x1x2=
,y1y2=-p2;②弦长|AB|=x1+x2+p=
(α为弦AB的倾斜角);③
+
=
;④以弦AB为直径的圆与准线相切.
[高考真题回访]
回访1 圆锥曲线的定义与方程
1.(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4,
),且渐近线方程为y=±
x,则该双曲线的标准方程为________.
-y2=1 [法一:
∵双曲线的渐近线方程为y=±
x,
∴可设双曲线的方程为x2-4y2=λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4,
),
∴λ=16-4×(
)2=4,
∴双曲线的标准方程为
-y2=1.
法二:
∵渐近线y=
x过点(4,2),而
<2,
∴点(4,
)在渐近线y=
x的下方,在y=-
x的上方(如图).
∴双曲线的焦点在x轴上,故可设双曲线方程为
-
=1(a>0,b>0).
由已知条件可得
解得
∴双曲线的标准方程为
-y2=1.]
2.(2013·全国卷Ⅰ改编)已知圆M:
(x+1)2+y2=1,圆N:
(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C,则C的方程为________.
+
=1(x≠-2) [由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.
因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,
所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.
由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为
的椭圆(左顶点除外),其方程为
+
=1(x≠-2).]
回访2 圆锥曲线的重要性质
3.(2017·全国卷Ⅱ)若a>1,则双曲线
-y2=1的离心率的取值范围是( )
A.(
,+∞) B.(
,2)
C.(1,
)D.(1,2)
C [由题意得双曲线的离心率e=
.
∴e2=
=1+
.
∵a>1,∴0<
<1,∴1<1+
<2,
∴1<e<
.
故选C.]
4.(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的
,则该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
B [不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0,b)和一个焦点F(c,0),则直线l的方程为
+
=1,即bx+cy-bc
=0.由题意知
=
×2b,解得
=
,即e=
.故选B.]
回访3 弦长问题
5.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为
,E的右焦点与抛物线C:
y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( )
A.3 B.6
C.9 D.12
B [抛物线y2=8x的焦点为(2,0),
∴椭圆中c=2,
又
=
,∴a=4,b2=a2-c2=12,
从而椭圆方程为
+
=1.
∵抛物线y2=8x的准线为x=-2,
∴xA=xB=-2,
将xA=-2代入椭圆方程可得|yA|=3,
由图象可知|AB|=2|yA|=6.
故选B.]
热点题型1 圆锥曲线的定义、标准方程
题型分析:
圆锥曲线的定义、标准方程是高考常考内容,主要以选择、填空的形式考查,解题时分两步走:
第一步,依定义定“型”,第二步,待定系数法求“值”.
【例1】
(1)(2017·哈尔滨模拟)已知双曲线
-
=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为( )
【04024108】
A.
-
=1 B.
-
=1
C.
-y2=1D.x2-
=1
(2)(2016·通化一模)已知抛物线C:
y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若
=4
,则|QF|=( )
A.
B.3
C.
D.2
(1)D
(2)B [
(1)根据题意画出草图如图所示,不妨设点A在渐近线y=
x上.
由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF=60°,c=|OF|=2.
又点A在双曲线的渐近线y=
x上,∴
=tan60°=
.
又a2+b2=4,∴a=1,b=
,
∴双曲线的方程为x2-
=1.故选D.
(2)如图所示,因为
=4
,所以
=
,过点Q作QM⊥l垂足为M,则MQ∥x轴,
所以
=
=
,所以|MQ|=3,由抛物线定义知|QF|=|QM|=3.]
[方法指津]
求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”
1.定型,就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程.
2.计算,即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法确定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),椭圆常设mx2+ny2=1(m>0,n>0),双曲线常设为mx2-ny2=1(mn>0).
[变式训练1]
(1)(2016·郑州二模)经过点(2,1),且渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切的双曲线的标准方程为( )
【04024109】
A.
-
=1B.
-y2=1
C.
-
=1D.
-
=1
(2)(2017·衡水模拟)已知A(-1,0),B是圆F:
x2-2x+y2-11=0(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于点P,则动点P的轨迹方程为( )
A.
+
=1B.
-
=1
C.
-
=1D.
+
=1
(1)A
(2)D [
(1)设双曲线的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0,由题意知
=1,解得k=±
,则双曲线的焦点在x轴上,设双曲线方程为
-
=1,
则有
解得
故选A.
(2)由题意得|PA|=|PB|,∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=2
>|AF|=2,∴点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆,且a=
,c=1,∴b=
,∴动点P的轨迹方程为
+
=1,故选D.]
热点题型2 圆锥曲线的几何性质
题型分析:
圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点和热点,其中求圆锥曲线的离心率是最热门的考点之一,建立关于a,c的方程或不等式是求解的关键.
【例2】
(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C:
x2-
=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2017·合肥二模)已知椭圆
+
=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为e.P是椭圆上一点,满足PF2⊥F1F2,点Q在线段PF1上,且
=2
.若
·
=0,则e2=( )
A.
-1B.2-
C.2-
D.
-2
(1)D
(2)C [
(1)因为F是双曲线C:
x2-
=1的右焦点,所以F(2,0).
因为PF⊥x轴,所以可设P的坐标为(2,yP).
因为P是C上一点,所以4-
=1,解得yP=±3,
所以P(2,±3),|PF|=3.
又因为A(1,3),所以点A到直线PF的距离为1,
所以S△APF=
×|PF|×1=
×3×1=
.
故选D.
(2)由PF2⊥F1F2可得P
,不妨设P
,又由
=2
得Q
,则
·
=
·
=-
+
=0,整理得b4=2a2c2,(a2-c2)2=2a2c2,整理得c4-4a2c2+a4=0,即e4-4e2+1=0,又椭圆离心率0<e<1,解得e2=2-
,故选C.]
[方法指津]
1.求椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的方法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围,关键是根据已知条件确定a,b,c的等量关系或不等关系,然后把b用a,c代换,求
的值.
2.双曲线的渐近线的求法及用法
(1)求法:
把双曲线标准方程等号右边的1改为零,分解因式可得.
(2)用法:
①可得
或
的值.
②利用渐近线方程设所求双曲线的方程.[变式训练2]
(1)(2016·全国卷Ⅱ)已知F1,F2是双曲线E:
-
=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=
,则E的离心率为( )
A.
B.
C.
D.2
(2)(名师押题)已知椭圆
+
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与椭圆交于A,B两点,若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( )
【04024110】
A.
B.2-
C.
-2D.
-
(1)A
(2)D [
(1)法一:
如图,因为MF1与x轴垂直,所以|MF1|=
.又sin∠MF2F1=
,所以
=
,即|MF2|=3|MF1|.由双曲线的定义得2a=|MF2|-|MF1|=2|MF1|=
,所以b2=a2,所以c2=b2+a2=2a2,所以离心率e=
=
.
法二:
如图,因为MF1⊥x轴,
所以|MF1|=
.
在Rt△MF1F2中,由sin∠MF2F1=
得
tan∠MF2F1=
.
所以
=
,即
=
,即
=
,
整理得c2-
ac-a2=0,
两边同除以a2得e2-
e-1=0.
解得e=
(负值舍去).
(2)设|F1F2|=2c,|AF1|=m,
若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,
∴|AB|=|AF1|=m,|BF1|=
m.
由椭圆的定义可知△F1AB的周长为4a,
∴4a=2m+
m,m=2(2-
)a.
∴|AF2|=2a-m=(2
-2)a.
∵|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,
∴4(2-
)2a2+4(
-1)2a2=4c2,
∴e2=9-6
,e=
-
.]
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