高考数学考点归纳之曲线与方程Word格式.docx
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A.x2=4y B.y2=3x
C.x2=2yD.y2=4x
解析:
选A 设点P(x,y),则Q(x,-1).
∵
,
∴(0,y+1)·
(-x,2)=(x,y-1)·
(x,-2),
即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y,
∴动点P的轨迹C的方程为x2=4y.
2.在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-
.则动点P的轨迹方程为________________.
因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,
所以点B的坐标为(1,-1).
设点P的坐标为(x,y),由题意得
=-
化简得x2+3y2=4(x≠±
1).
故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x≠±
答案:
x2+3y2=4(x≠±
1)
3.已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为____________________.
设A(x,y),由题意可知D
.
∵|CD|=3,∴
2+
2=9,
即(x-10)2+y2=36,
由于A,B,C三点不共线,
∴点A不能落在x轴上,即y≠0,
∴点A的轨迹方程为(x-10)2+y2=36(y≠0).
(x-10)2+y2=36(y≠0)
考点二定义法求轨迹方程
[典例精析]
已知圆M:
(x+1)2+y2=1,圆N:
(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.
[解] 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;
圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.
因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,
所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4>|MN|=2.
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为
的椭圆(左顶点除外),其方程为
+
=1(x≠-2).
[解题技法]
定义法求曲线方程的2种策略
(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程,可从曲线定义出发直接写出方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出方程.
(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型,利用条件把待定系数求出来,使问题得解.
[题组训练]
如图,已知△ABC的两顶点坐标A(-1,0),B(1,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点C的轨迹为曲线M,求曲线M的方程.
解:
由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4>|AB|,
所以曲线M是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点).
设曲线M:
=1(a>b>0,y≠0),
则a2=4,b2=a2-
2=3,
所以曲线M的方程为
=1(y≠0).
考点三代入法(相关点)求轨迹方程
[典例精析]
如图所示,抛物线E:
y2=2px(p>0)与圆O:
x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.
(1)求p的值;
(2)求动点M的轨迹方程.
[解]
(1)由点A的横坐标为2,可得点A的坐标为(2,2),代入y2=2px,解得p=1.
(2)由
(1)知抛物线E:
y2=2x,
设C
,D
,y1≠0,y2≠0.切线l1的斜率为k,则切线l1:
y-y1=k
代入y2=2x,得ky2-2y+2y1-ky
=0,
由Δ=0,解得k=
,∴l1的方程为y=
x+
同理l2的方程为y=
联立
解得
易知CD的方程为x0x+y0y=8,
其中x0,y0满足x
+y
=8,x0∈[2,2
],
由
得x0y2+2y0y-16=0,
则
代入
可得M(x,y)满足
可得
代入x
=8,并化简,得
-y2=1.
考虑到x0∈[2,2
],知x∈[-4,-2
],
∴动点M的轨迹方程为
-y2=1,x∈[-4,-2
].
“相关点法”求轨迹方程的基本步骤
(1)设点:
设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1);
(2)求关系式:
求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换:
将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程.
已知曲线E:
ax2+by2=1(a>0,b>0),经过点M
的直线l与曲线E交于点A,B,且
=-2
.若点B的坐标为(0,2),求曲线E的方程.
设A(x0,y0),∵B(0,2),M
故
由于
,∴
∴x0=
,y0=-1,即A
∵A,B都在曲线E上,
∴
∴曲线E的方程为x2+
=1.
A级
1.平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足
=λ1
+λ2
(O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是( )
A.直线 B.椭圆
C.圆D.双曲线
选A 设C(x,y),因为
所以(x,y)=λ1(3,1)+λ2(-1,3),
即
又λ1+λ2=1,所以
=1,即x+2y=5,所以点C的轨迹是直线,故选A.
2.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(1,1),C(0,1),映射f将xOy平面上的点P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy,x2-y2),则当点P沿着折线ABC运动时,在映射f的作用下,动点P′的轨迹是( )
选D 当P沿AB运动时,x=1,设P′(x′,y′),则
(0≤y≤1),故y′=1-
(0≤x′≤2,0≤y′≤1).当P沿BC运动时,y=1,则
(0≤x≤1),所以y′=
-1(0≤x′≤2,-1≤y′≤0),由此可知P′的轨迹如D所示,故选D.
3.设点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则P点的轨迹方程为( )
A.y2=2xB.(x-1)2+y2=4
C.y2=-2xD.(x-1)2+y2=2
选D 如图,设P(x,y),
圆心为M(1,0).连接MA,PM,
则MA⊥PA,且|MA|=1,
又因为|PA|=1,
所以|PM|=
即|PM|2=2,所以(x-1)2+y2=2.
4.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若
=2
,且
=1,则点P的轨迹方程是( )
A.
x2+3y2=1(x>0,y>0)
B.
x2-3y2=1(x>0,y>0)
C.3x2-
y2=1(x>0,y>0)
D.3x2+
选A 设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0.由
,得(x,y-b)=2(a-x,-y),即a=
x>0,b=3y>0.点Q(-x,y),故由
=1,得(-x,y)·
(-a,b)=1,即ax+by=1.将a=
x,b=3y代入ax+by=1,得所求的轨迹方程为
x2+3y2=1(x>0,y>0).
5.如图所示,已知F1,F2是椭圆Γ:
=1(a>b>0)的左,右焦点,P是椭圆Γ上任意一点,过F2作∠F1PF2的外角的角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为( )
A.直线B.圆
C.椭圆D.双曲线
选B 延长F2Q,与F1P的延长线交于点M,连接OQ.因为PQ是∠F1PF2的外角的角平分线,且PQ⊥F2M,所以在△PF2M中,|PF2|=|PM|,且Q为线段F2M的中点.又O为线段F1F2的中点,由三角形的中位线定理,得|OQ|=
|F1M|=
(|PF1|+|PF2|).根据椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,所以|OQ|=a,所以点Q的轨迹为以原点为圆心,半径为a的圆,故选B.
6.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,0),B(2,2),若点C满足
+t(
-
),其中t∈R,则点C的轨迹方程是____________________.
设C(x,y),则
=(x,y),
)=(1+t,2t),所以
消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x-2.
y=2x-2
7.设F1,F2为椭圆
=1的左、右焦点,A为椭圆上任意一点,过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线,垂足为D,则点D的轨迹方程是________________.
由题意,延长F1D,F2A并交于点B,易证Rt△ABD≌Rt△AF1D,则|F1D|=|BD|,|F1A|=|AB|,又O为F1F2的中点,连接OD,则OD∥F2B,从而可知|DO|=
|F2B|=
(|AF1|+|AF2|)=2,设点D的坐标为(x,y),则x2+y2=4.
x2+y2=4
8.(2019·
福州质检)已知A(-2,0),B(2,0),斜率为k的直线l上存在不同的两点M,N满足|MA|-|MB|=2
,|NA|-|NB|=2
,且线段MN的中点为(6,1),则k的值为________.
因为|MA|-|MB|=2
由双曲线的定义知,点M,N在以A,B为焦点的双曲线的右支上,且c=2,a=
,所以b=1,所以该双曲线的方程为
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=12,y1+y2=2.设直线l的方程为y=kx+m,代入双曲线的方程,消去y,得(1-3k2)x2-6mkx-3m2-3=0,
所以x1+x2=
=12,①
y1+y2=k(x1+x2)+2m=12k+2m=2,②
由①②解得k=2.
2
9.如
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