高中数学必备解题模板之模板十三求空间角文档格式.docx
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解析
题后
反思
本题考查线线垂直的证明以及二面角的平面角的计算,一般地,线线垂直的判定可由线面垂直得到,也可以由两条线所成的角为
得到,而线面垂直又可以由面面垂直得到,解题中注意三种垂直关系的转化.空间中的角的计算,可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算,也可以构建空间角,把角的计算归结平面图形中的角的计算.
针对训练*举一反三
1.(2020·
安徽省高三二模)如图,在四面体
中,E是线段
的中点,
;
(2)求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
2.(2020·
梅河口市第五中学高三三模)如图在四棱锥
中底面
为直角梯形,
,侧面
为正三角形且平面
底面
分别为
平面
(2)求
所成角
的正弦值.
3.(2020·
新疆维吾尔自治区高三三模)如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是正方形,梯形
底面ABCD,且
.
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)求直线AF与平面CDE所成角的大小.
4.(2020·
陕西省榆林中学高三三模)如图,在三棱锥
中,底面是边长为4的正三角形,
,点
(1)求证:
(2)在线段
上是否存在点
,使得直线
所成的角的正弦值为
若存在,确定点
的位置;
若不存在,请说明理由.
5.(2020·
四川省新津中学高三二模)如图,在四棱柱ABCD-PGFE中,底面ABCD是直角梯形,侧棱垂直于底面,AB//DC,∠ABC=45o,DC=1,AB=2,PA=1.
(1)求PD与BC所成角的大小;
(2)求证:
BC⊥平面PAC;
(3)求二面角A-PC-D的大小.
6.(2020·
陕西省安康中学高三三模)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BCC1B1是菱形,AC=BC=2,∠CBB1=
,点A在平面BCC1B1上的投影为棱BB1的中点E.
四边形ACC1A1为矩形;
(2)求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值.
7.(2020·
上海高三二模)如图,在直三棱柱
是等腰直角三角形,
为侧棱
(2)求二面角
的大小(结果用反三角函数值表示)
8.(2020·
湖南省高三三模)在如图的空间几何体中,四边形
,且平面
为棱
中点.
9.(2020·
山东省高三二模)在四边形
如图,将
沿
边折起,连结
,使
,求证:
(1)平面
(2)若
上一点,且
所成角的正弦值为
,求二面角
的大小.
10.(2020·
北京八中高三二模)已知在四棱锥
中,底面
是边长为
的正方形,
是正三角形,CD⊥平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点.
(Ⅰ)求证:
PO⊥平面
(Ⅱ)求平面EFG与平面
所成锐二面角的大小;
(Ⅲ)线段
所成角为
,若存在,求线段
的长度;
若不存在,说明理由.
高中数学必备考试技能之套用18个解题模板”原创精品【2020版】
(1)如图,取
的中点为
,取
的中点
,连接
因为
,所以
,故
且
(2)由
(1)可得
所以
为二面角
的平面角,
因为二面角
为直二面角,所以
即
建立如图所示的空间直角坐标系,
则
故
设平面
的法向量为
,则
的平面角为锐角,
故二面角
的余弦值为
【答案】
(1)证明见解析;
(2)
【解析】
(1)取线段
的中点F,连接
、
因为E是线段
的中点,所以
.又
,F是
,而
(2)解法一:
令
那么
又
,故可以以点F为原点,射线
分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.
、平面
的法向量分别为
由
,得
故平面
所成锐二面角的余弦值为
解法二:
,由已知及
(1)可得:
均为棱长为a的正三角形.
取
中点G,则
在
由余弦定理可得:
(1)如图所示:
中点
为
中位线,
又因为
所以四边形
为平行四边形,
所以平面
(2)取
因为平面
以
为坐标原点,
轴建立空间直角坐标系,
如图所示:
设
的一个法向量为
,即
可取
,解得
(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
∵梯形
底面ABCD,且梯形
在梯形ADEF中,过F作
,垂足为G,
,可得
,且
平面ABF,
而
平面CDF,
∴平面
平面CDF;
(Ⅱ)解:
以A为坐标原点,分别以AB,AD所在直线为x,y轴建立空间直角坐标系,
设平面CDE的一个法向量为
设直线AF与平面CDE所成角的大小为
,即直线AF与平面CDE所成角的大小为
(1)见解析
(2)见解析
∵
∴
,∴
(2)解:
如图,由
(1)知,
,又
两两垂直,分别以
方向为
轴建立坐标系.
,设平面
的法向量
,令
由已知
或
(舍去)
故线段
上存在点
此时
(1)60o
(2)见解析.(3)60o
(1)取的AB中点H,连接DH,易证BH//CD,且BD="
CD"
所以四边形BHDC为平行四边形,所以BC//DH
所以∠PDH为PD与BC所成角
因为四边形,ABCD为直角梯形,且∠ABC=45o,所以⊥DA⊥AB
又因为AB=2DC=2,所以AD=1,因为Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都为等腰直角三角形
所以PD=DH=PH=
,故∠PDH=60o
(2)连接CH,则四边形ADCH为
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