全国I卷届高三五省优创名校联考数学文试题+Word版含答案文档格式.docx
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4.设x,y满足约束条件,则的取值范围是
A.(-∞,-9]∪[0,+∞)
B.(-∞,-11]∪[-2,+∞)
C.[-9,0]
D.[-11,-2]
5.函数的图象大致为
6.某几何体的三视图如图所示,其中,正视图中的曲线为圆弧,则该几何体的体积为
A.
B.64-4π
C.64-6π
D.64-8π
7.有一程序框图如图所示,要求运行后输出的值为大于1000的最小数值,则在空白的判断框内可以填入的是
A.i<6
B.i<7
C.i<8
D.i<9
8.袋子中有四个小球,分别写有“美、丽、中、国”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“中”“国”两个字都取到就停止,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“中、国、美、丽”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:
232321230023123021132220001
231130133231031320122103233
由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为
B.
C.
D.
9.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,则B=
10.在直角坐标系xOy中,F是椭圆C:
(a>b>0)的左焦点,A,B分别为左、右顶点,过点F作x轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,连接PB交y轴于点E,连接AE交PQ于点M,若M是线段PF的中点,则椭圆C的离心率为
11.已知奇函数f(x)在R上的导数为f′(x),且当x∈(-∞,0]时,f′(x)>1,则不等式f(2x-1)-f(x+2)≥x-3的解集为
A.(3,+∞)
B.[3,+∞)
C.(-∞,3]
D.(-∞,3)
12.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),,对任意x∈R恒有,且在区间(,)上有且只有一个x1使f(x1)=3,则ω的最大值为
第Ⅱ卷
二、填空题:
本大题共4小题.将答案填在答题卡中的横线上.
13.已知单位向量a,b的夹角为60°
,则(2a+b)·
(a-3b)=________.
14..
15.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的高为6,AB=4,点D为棱BB1的中点,则四棱锥C—A1ABD的表面积是________.
16.已知双曲线C:
(a>0,b>0),圆M:
.若双曲线C的一条渐近线与圆M相切,则当取得最小值时,C的实轴长为________.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
17.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,且Sn=nan+1-n2-n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足,求{bn}的前n项和Tn.
18.2018年8月8日是我国第十个全民健身日,其主题是:
新时代全民健身动起来.某市为了解全民健身情况,随机从某小区居民中抽取了40人,将他们的年龄分成7段:
[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值;
(2)(ⅰ)若从样本中年龄在[50,70)的居民中任取2人赠送健身卡,求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率;
(ⅱ)已知该小区年龄在[10,80]内的总人数为2000,若18岁以上(含18岁)为成年人,试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数.
19.如图所示,在四棱锥S—ABCD中,SA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,其中AB∥CD,∠ADC=90°
,AD=AS=2,AB=1,CD=3,点E在棱CS上,且CE=λCS.
(1)若,证明:
BE⊥CD;
(2)若,求点E到平面SBD的距离.
20.在直角坐标系xOy中,动圆P与圆Q:
(x-2)2+y2=1外切,且圆P与直线x=-1相切,记动圆圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)设过定点S(-2,0)的动直线l与曲线C交于A,B两点,试问:
在曲线C上是否存在点M(与A,B两点相异),当直线MA,MB的斜率存在时,直线MA,MB的斜率之和为定值?
若存在,求出点M的坐标;
若不存在,请说明理由.
21.已知函数.
(1)若函数f(x)在[1,+∞)上是单调递减函数,求a的取值范围;
(2)当-2<a<0时,证明:
对任意x∈(0,+∞),.
(二)选考题:
请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4—4:
坐标系与参数方程]
已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=48,其左焦点F在直线l上.
(1)若直线l与椭圆C交于A,B两点,求|FA|+|FB|的值;
(2)求椭圆C的内接矩形面积的最大值.
23.[选修4—5:
不等式选讲]
已知函数f(x)=|x+2|-|ax-2|.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥2x+1的解集;
(2)若不等式f(x)>x-2对x∈(0,2)恒成立,求a的取值范围.
数学参考答案(文科)
1.A
2.C
3.D
4.A
5.C
6.B
7.B
8.C
9.D
10.C
11.B
12.C
13.
14.2
15.
16.4
17.解:
(1)由条件知Sn=nan+1-n2-n,①
当n=1时,a2-a1=2;
当n≥2时,Sn-1=(n-1)an-(n-1)2-(n-1),②
①-②得an=nan+1-(n-1)an-2n,
整理得an+1-an=2.
综上可知,数列{an}是首项为3、公差为2的等差数列,从而得an=2n+1.
(2)由
(1)得,
所以.
18.解
(1)平均数.
前三组的频率之和为0.15+0.2+0.3=0.65,故中位数落在第3组,设中位数为x,
则(x-30)×
0.03+0.15+0.2=0.5,解得x=35,即中位数为35.
(2)(ⅰ)样本中,年龄在[50,70)的人共有40×
0.15=6人,其中年龄在[50,60)的有4人,设为a,b,c,d,年龄在[60,70)的有2人,设为x,y.
则从中任选2人共有如下15个基本事件:
(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y),(b,c),(b,d),(b,x),(b,y),(c,d),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y).
至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件:
(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y).
记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A,
故所求概率.
(ⅱ)样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1-(18-10)×
0.015=0.88,
故可以估计,该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×
0.88=1760.
19.
(1)证明:
因为,所以,在线段CD上取一点F使,连接EF,BF,则EF∥SD且DF=1.
因为AB=1,AB∥CD,∠ADC=90°
,
所以四边形ABFD为矩形,所以CD⊥BF.
又SA⊥平面ABCD,∠ADC=90°
所以SA⊥CD,AD⊥CD.
因为AD∩SA=A,所以CD⊥平面SAD,
所以CD⊥SD,从而CD⊥EF.
因为BF∩EF=F,所以CD⊥平面BEF.
又BE平面BEF,所以CD⊥BE.
(2)解:
由题设得,,
又因为,,,
所以,
设点C到平面SBD的距离为h,则由VS—BCD=VC—SBD得,
因为,所以点E到平面SBD的距离为.
20.解:
(1)设P(x,y),圆P的半径为r,
因为动圆P与圆Q:
(x-2)2+y2=1外切,
所以,①
又动圆P与直线x=-1相切,所以r=x+1,②
由①②消去r得y2=8x,
所以曲线C的轨迹方程为y2=8x.
(2)假设存在曲线C上的点M满足题设条件,不妨设M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则,,,
,,
所以,③
显然动直线l的斜率存在且非零,设l:
x=ty-2,
联立方程组,消去x得y2-8ty+16=0,
由Δ>0得t>1或t<-1,
所以y1+y2=8t,y1y2=16,且y1≠y2,
代入③式得,令(m为常数),
整理得,④
因为④式对任意t∈(-∞,-1)∪(1,+∞)恒成立,
所以或,即M(2,4)或M(2,-4),
即存在曲线C上的点M(2,4)或M(2,-4)满足题意.
21.
(1)解:
由题意得,
即a≥-2x在[1,+∞)上恒成立,
所以a≥-2.
(2)证明:
由
(1)可知,
所以f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减.
因为-2<a<0,
所以,即,
即,
22.解:
(1)将代入ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=48,
得x2+3y2=48,即,
因为c2=48-16=32,所以F的坐标为(,0),
又因为F在直线l上,所以.
把直线l的参数方程代入x2+3y2=48,
化简得t2-4t-8=0,所以t1+t2=4,t1t2=-8,
(2)由椭圆C的方程,可设椭圆C上在第一象限内的任意一点M的坐标为(,4sinθ)(),
所以内接矩形的面积,
当时,面积S取得最大值.
23.解:
(1)当a=2时,,
当x≤-2时,由x-4≥2x+1,解得x≤-5;
当-2<x<1时,由3x≥2x+1,解得x∈∅;
当x≥1时,由-x+4≥2x+1,解得x=1.
综上可得,原不等式的解集为{x|x≤-5或x=1}.
(2)因为x∈(0,2),所以f(x)>x-2等价于|ax-2|<4,
即等价于,
所以由题设得在x∈(0,2)上恒成立,
又由x∈(0,2),可知,,
所以-1≤a≤3,即a的取值范围为[-1,3].
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