高二数学 斜线在平面上的射影直线和平面所成的角同步教案 新人教A版Word文档下载推荐.docx
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当向量的起点在原点时,向量的坐标就是终点的坐标;
当向量的起点不在原点时,向量的坐标是终点的坐标减去起点的坐标。
即若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则(x2-x1,y2-y1,z2-z1)不管是向量坐标还是点的坐标,任一向量与三元有序数组之间是一一对应的。
利用三角形法则=易证;
向量的坐标表示进一步揭示了向量的数的特征,体现了数形结合,形数互为利用的思想。
3、向量的直角坐标运算
设=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),则
+=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
-=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
·
=a1b1+a2b2+a3b3
λ=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R)
∥
⊥a1b1+a2b2+a3b3=0
4、夹角和距离公式
设=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3)
则||=,||=
cos<
>
=
已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
dA,B=||=
利用向量的坐标运算可以借助于代数运算解决立体几何中的有关问题。
例如利用夹角公式求两条异面直线所成的角,利用a1a2+b1b2+c1c2=0可以证明线线垂直,进而证明线面垂直。
其一般步骤是:
(1)建立空间直角坐标系;
(2)设出有关点或向量的坐标;
(3)利用向量的坐标运算求解几何问题所对应的向量问题;
(4)得出立体几何问题的结论。
6、如何求空间直角坐标系下点或向量的坐标。
不妨设向量的起点在原点O,终点为A。
当A在x轴上时,A(x,0,0),x为有向线段的数量,x=OA
当A在y轴上时,A(0,y,0),y=OA
当A在z轴上时,A(0,0,z),z=OA
在一般情况下,设点A在x轴,y轴,z轴的射影分别为A1,B1,C1,则
x=OA1,y=OB1,z=OC1
即x,y,z分别为在x轴、y轴、z轴上的射影。
进一步的,|x|、|y|、|z|就是以OA为对角线的长方体(如图)的三度:
长度、宽度、高度。
当点A在平面xOy,平面yOz,平面zOx中某一个时,一定有一个坐标值为0,上述位置对应的坐标特征为(x,y,0),(0,y,z),(x,0,z)
四、典型例题
例1、如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别是A1A、B1B的中点,求直线CM与D1N所成角的余弦值。
解题思路分析;
首先建立坐标系,设正方体棱长为1,取=,=,=,以,,为坐标向量建立空间直角坐标系D—xyz。
其次,求出相关点的坐标,即C、M、D1、N四点坐标。
C(0,1,0),D1(0,0,1),M(1,0,),N(1,1,)
在其基础上求出有关向量的坐标。
=(1,-1,),=(1,1,-)
再次,利用向量夹角公式求出与的夹角
=(·
)/(||·
||)=
最后,回到立体问题中去,同时注意向量概念与立体几何概念之间的差异。
∵cos<
<
∴<
是异面直线CM与D1N所成角的补角
∴异面直线CM与D1N所成角余弦值为
例2、正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD中点,
(1)求证:
AE⊥D1F
(2)求证:
D1F⊥平面ADE
(3)求异面直线EF与BD1所成的角
解题思路分析:
设正方体棱长为1,取,=,=,以,,为坐标向量建立空间直角坐标系D—xyz
则D1(0,0,1),F=(0,,0),A(1,0,0),E(1,1,)
∴=(0,1,),=(0,,-1)
∵·
=0×
0+1×
×
1=0
∴⊥,AE⊥D1F
(2)只要再证D1F⊥AD,即·
=0即可
∵=(-1,0,0)
∴·
=-1×
0+0×
-0×
∴⊥,AD⊥D1F
又由
(1)AE⊥D1F,AD∩AE=A
∴D1F⊥平面ADE
(4)利用夹角公式,分别求出·
,||,||即可
=(-1,-,-),=(-1,-1,1)
=1+=1
||=,||=
∴cos<
=arccos
∴异面直线EF与BD1所成的角为arccos
例3、正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是BC中点,P是CC1中点
BD1∥平面C1DE;
EC1⊥平面A1B1P。
(1)翻译为向量语言,就是把表示为平面C1DE中某两个向量的线性组合,例如证明与及共面
如图建立空间直角坐标系,则B(1,1,0),D1(0,0,1),E(,1,0)
∴=(-1,-1,1),,1,0),=(0,1,1)
∵=
∴与,共面
∵BD1平面DEC1
∴BD1∥平面DEC1
(2)只需证EC1与平面A1B1P中某两条直线垂直,即与平面A1B1P中某两个向量的数量积为0
∵B1(1,1,1),P(0,1,)
∴=(-1,0,)
∵=(,0,1)
=0
∴⊥,B1P⊥EC1①
又=(0,1,0)
·
∴⊥,A1B1⊥EC1②
由①②得,A1B1∩B1P=B1
∴EC1⊥平面A1B1P
例4、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,M、N分别在A1B、B1D1上,且A1M=A1B,B1N=B1D1,
MN是A1B和B1D1的公垂线;
(2)求异面直线A1B与B1D1间的距离。
如图建立空间直角坐标系
只需证:
=0,·
∵A1(1,0,1),B(1,1,0)
∴=(0,1,-1)
同理,=(-1,-1,0)
又M(1,),N(,1)
∴=()
∴⊥,⊥
∴MN⊥A1B1,MN⊥B1D1
又MN与A1B,B1D1分别相交
∴MN是A1B和B1D1的公垂线
(3)dM,N=
∴MN=,即异面直线A1B与B1D1之间的距离是
例5、正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为AC与BD交点,M为D1D中点
B1O⊥平面MAC
(2)求异面直线B1O与D1C所成角的大小
如图建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),O(,0),B1(1,1,1),M(0,0,)
则=(),=(1,0,),=(0,1,)
==0
即B1O⊥MA,B1O⊥MC
又MA∩MC=M
∴B1O⊥平面MAC
(2)∵=(0,1,-1),
=,||=,||=
,>
∴异面直线D1C与B1O所成的角为arccos
注:
由上面数例可以看出:
①用向量解决立体几何问题,重在算,技能要求稍高,但难度上比传统几何的逻辑思维及空间想象低得多,几乎也不不需要特殊的技巧;
所以向量方法可以说是一种“程序化”的方法;
②在右手直角坐标系建立后,如何求出点的坐标进而求出向量的坐标是向量法的基础,也是关键,因为下面的运算就是建立在坐标之上的。
在这里,需要一定的空间想象能力,能够正确地进行投影(分解);
③通常用向量夹角公式证明几何的角及垂直问题;
用向量距离公式求线段长度;
用数乘向量证明共线(共面)问题。
同步练习
(一)选择题
1、给出下列命题:
①若点(x,y,z)在xoy平面内,则z=0
②若点(x,y,z)在yoz平面内,则x=0
③若点(x,y,z)在zox平面内,则y=0
④若点(x,y,z)在y轴上,则y≠0
其中正确的命题个数是:
A、1B、2C、3D、4
2、下列命题错误的是;
A、点(x,y,z)关于xoy平面的对称点是(x,y,-z)
B、点(x,y,z)关于yoz平面的对称点是(-x,y,z)
C、点(x,y,z)关于zox平面的对称点是(x,-y,z)
D、点(x,y,z)关于原点的对称点是(-x,-y,z)
3、已知=(2,-1,3),=(-4,2,x),若与夹角是钝角,则x取值范围是
A、(-∞,)B、(-∞,2)C、(,+∞)D、(-∞,)
4、棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1和BB1的中点,那么直线AM和CN所成角的余弦值是:
A、B、C、D、
5、正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别是AA1和BB1的中点,则DM与D1N所成角的余弦值是
A、B、C、D、
(二)填空题
6、已知=(3,-3,-1),=(2,0,3),=(0,0,2),求·
(+)=__________。
7、=(2,-3,),=(1,0,0),则与夹角为__________。
8、与xoy平面的距离为1的点(x,y,z)所满足的条件是__________。
9、已知点A(3,-5,7),点B(1,-4,2),则的坐标是__________,AB中点坐标是__________。
10、已知A(3,2,1),B(1,0,4),则到A、B两点距离相等的点(x,y,z)的坐标所满足的条件是__________。
(三)解答题
11、在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是D1D,DB的中点,G在棱CD上,CG=CD,H是C1G的中点
EF⊥B1C
(2)求EF与C1G所成角的余弦值
(3)求FH的长
12、长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=a,BC=b,AA1=c,(a>
b),求异面直线D1B和AC所成角的余弦值。
13、M、N分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BB1和B1C1的中点,
(1)求MN与CD所成的角;
(2)求MN与AD所成的角。
14、长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=2AA1=2BC,E为C
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