13 导数法巧解单调性问题高考高三数学一轮复习.docx

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13导数法巧解单调性问题高考高三数学一轮复习

考纲要求:

1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数不超过三次）．

2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数不超过三次）.

基础知识回顾:

用导数研究函数的单调性

（1）用导数证明函数的单调性

证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内

（

）0

（2）用导数求函数的单调区间

求函数的定义域

→求导

→解不等式

＞

0得解集

→求

得函数的单调递增（减）区间。

一般地，函数

在某个区间可导，

＞0

在这个区间是增函数

一般地，函数

在某个区间可导，

＜0

在这个区间是减函数

（3）单调性的应用（已知函数单调性）

一般地，函数

在某个区间可导，

在这个区间是增（减）函数

≥

【注】①求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式

＞（＜）0（不要带等号），最后求二者的交集，把它写成区间。

②已知函数的增（减）区间，应得到

≥（≤）0，必须要带上等号。

③求函数的单调增（减）区间，要解不等式

＞

0，此处不能带上等号。

④单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区间；如果一种区间有多个，中间不能用“

”连接。

应用举例:

类型一、判断或证明函数的单调性

【例1】1．【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试】设函数

.

（1）讨论

的单调性；

（2）设

，当

时，

，求

的取值范围.

【答案】

（1）见解析

（2）

②当

时，

，所以

在

单调递增，

③当

时，

；

当

时，

；当

时，

；

∴

在

单调递增，在

单调递减；

（2）令

，有

，

令

，有

，

当

时，

单调递增．

∴

，即

．

当

，即

时，

在

单调递增，

，不等式

恒成立，

②当

时，

有一个解，设为

根，

∴有

单调递减；当

时，

单调递增，有

，∴当

时，

不恒成立；

综上所述，

的取值范围是

．

【例2】【2018年高考考前猜题卷之专家猜题卷】已知曲线

的一条切线过点

.

（Ⅰ）求

的取值范围；

（Ⅱ）若

，

.

①讨论函数

的单调性；

②当

时，求证：

.

【答案】

（1）

;

（2）①见解析.②见解析.

【解析】

【分析】

（1）求出

，设切点为

，则切线方程为

，由切线过点

，可得

，利用导数可得

的最大值，从而可得结果；

（2）①求出

，分四种情况讨论

的范围，在定义域内，分别令

求得

的范围，可得函数

增区间，

求得

的范围，可得函数

的减区间；②要证明

，只需证明

，而

，所以

成立.

（2）当

时，

，∵

，

∴

，

.

①（i）当

时，

在区间

上是减函数，在区间

上是增函数；

（ii）当

时，

在区间

上是减函数，在区间

，

上是增函数；

（iii）当

时，

在区间

上是增函数；

（iv）当

时，

在区间

上是减函数，在区间

，

上是增函数.

②证明：

当

时，

，要证明

，只需证明

，

而

，所以

成立.

【点睛】

本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的单调性，属于难题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：

（1）已知切点

求斜率

即求该点处的导数

；

（2）己知斜率

求切点

即解方程

；（3）巳知切线过某点

（不是切点）求切点,设出切点

利用

求解.

类型二、求函数的单调区间

【例3】【江苏省苏州市第五中学校2018届高三上学期期初考试】设函数

，其中

N

，

≥2，且

R．

（1）当

，

时，求函数

的单调区间；

（2）当

时，令

，若函数

有两个极值点

，

，且

，求

的取值范围；

（3）当

时，试求函数

的零点个数，并证明你的结论．

【答案】

（1）见解析；

（2）

；（3）见解析

【详解】

（1）依题意得，

，

，

∴

．

令

，得

；令

，得

．

则函数

在

上单调递减，在

上单调递增．

（2）由题意知：

．

则

，

令

，得

，

故方程

有两个不相等的正数根

，

（

），

则

解得

．

由方程得

，且

．

由

，得

．

，

．

，即函数

是

上的增函数，

所以

，故

的取值范围是

．

∵

，∴

，

又∵

，

∴

，

根据零点存在性定理知函数

在

和

各有一个零点．

【点睛】

本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及零点存在性定理，是一道中档题.

【例4】【山东省临沂市沂水县第一中学2018届高三第三轮考试】已知函数

.

（1）若函数

在点

处切线的斜率为4，求实数

的值；

（2）求函数

的单调区间；

（3）若函数

在

上是减函数，求实数

的取值范围.

【答案】

（1）6；

（2）单调递减区间是

，单调递增区间是

；（3）

【详解】

（1）

，而

，即

，解得

.

（2）函数

的定义域为

.

①当

时，

，

的单调递增区间为

；

②当

时，

.

当

变化时，

的变化情况如下:

由此可知，函数

的单调递减区间是

，单调递增区间是

.

（3）

，于是

.

因为函数

在

上是减函数，所以

在

上恒成立，

即

在

上恒成立.

又因为函数

的定义域为

，所以有

在[

上恒成立.

于是有

，设

，则

，所以有

，

，

当

时，

有最大值

，于是要使

在

上恒成立，只需

，

即实数

的取值范围是

.

类型三、已知函数的单调性求参数的范围

【例5】【名校联盟2018年高考第二次适应与模拟】已知函数

.

（1）若函数

在定义域

内单调递增，求实数

的取值范围；

（2）对于任意的正实数

，且

，求证：

.

【答案】

（1）

;

（2）见解析.

【详解】

（1）依题意，导数

对于任意

恒成立，即不等式

对于任意

恒成立，即不等式

对于任意

恒成立;

又因为当

时

（当

时取等号），则

，故实数

的取值范围是

.

（2）由于目标不等式

中两个字母

与

可以轮换，则不妨设

.令

，则

.

欲证目标不等式

.（※）

根据

（1）的结论知，当

时

在

上递增.又因为

，则

，则不等式（※）正确，故原目标不等式得证.

【点睛】

本题主要考查“分离常数”在解题中的应用、利用单调性证明不等式及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法：

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间

上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式

或

恒成立问题求参数范围.

【例6】【2017山西省长治二中等四校高三联考】已知函数f（x）＝alnx－ax－3（a∈R）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f

（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g（x）＝x3＋x2·

在区间（t,3）上总不是单调函数，求m的取值范围．

【答案】a＝

；减区间为（－∞，－4）和（－1,0），增区间为（－4，－1）和（0，＋∞）．

方法、规律归纳:

1、利用导数求函数f（x）的单调区间的一般步骤：

（1）确定函数f（x）的定义域；

（2）求导数f′（x）；

（3）在函数f（x）的定义域内解不等式f′（x）>0和f′（x）<0；

（4）根据（3）的结果确定函数f（x）的单调区间．

2、求函数的单调区间的“两个”方法

方法一：

（1）确定函数y＝f（x）的定义域；

（2）求导数y′＝f′（x）；

（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

方法二：

（1）确定函数y＝f（x）的定义域；

（2）求导数y′＝f′（x），令f′（x）＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；

（3）把函数f（x）的间断点（即f（x）的无定义点）的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f（x）的定义区间分成若干个小区间；

（4）确定f′（x）在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．

实战演练:

1．【河北辛集中学2018届高三8月月考】已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（　　）

A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减

C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称

【答案】C

【点睛】

（1）一般地，若

在区间

上可导，且

，则

在

上为单调增（减）函数；反之，若

在区间

上可导且为单调增（减）函数，则

．

（2）若

，则

的图像关于直线

对称；若

，则

的图像关于点

对称．

2．若函数

在区间

上单调递减，则实数

的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

令

，

，

，

令

，解得

，令

，解得

，

在

递减，在

递增，

而

，故

，

实数

的取值范围为

，故选C.

【点睛】

本题主要考查“分离常数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法：

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间

上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式

或

恒成立问题求参数范围

3．【河南省中原名校2018届高三高考预测金卷】函数

与

，这两个函数在区间

上都是减函数，则实数

（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

4．【安徽省六安市第一中学2018届高三下学期适应性考试】已知函数

，则

在

上不单调的一个充分不必要条件是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】分析：

求出函数的导数，问题转化为函数

与x轴在

有交点，通过分析整理，结合二次函数的性质判断即可.

解析：

，

若

在

上不单调，

令

，

则函数

与x轴在

有交点，

设其解为

，

则

，

因此方程的两解不可能都大于1，

其在

中只有一解，

其充要条件是

，

解得

或

，

因此选项C是满足要求的一个充分必要条件.

故选：

C.

点睛：

本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质.

5．【浙江省台州中学2018届高三模拟考试】当

时，

，则下列大小关系正确的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

6．【福建省厦门市湖滨中学2018届高三下学期高考适应性考试】若函数

在区间

上不是单调函数，则实数

的取值范围是（）

A．

B．