初三数学《切线长定理及三角形内切圆》课时练习附答案.docx
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初三数学《切线长定理及三角形内切圆》课时练习附答案.docx
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初三数学《切线长定理及三角形内切圆》课时练习附答案
初三数学《切线长定理及三角形内切圆》课时练习(附答案)
《切线长定理及三角形内切圆》课时练习(附答案)
切线长定义:
在经过圆外一点的圆的切线上,这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,并且圆心这点的连线平分两条切线的夹角。
即:
∵PA、PB是的两条切线
∴PA=PB,
PO平分∠BPA
例题精选:
例1.如图,PA,PB是⊙O的切线,A、B为切点,AC是⊙O的直径,∠P=60°.
(1)求∠BAC的度数;
(2)当OA=2时,求AB的长.
例2、如图PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B
、C是⊙O上一点,若∠APB=40°,求∠ACB的度数。
例3.如图,从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB,切点分别是A、B,若PA=5cm,C是AB上的一个动点(点C与A、B两点不重合),过点C作⊙O
的切线,分别交PA、PB于点D、E,求△PED的周长是多少?
(例3图)(例4图)
例4如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,以AB为直径的⊙O与DC相切于E.已知AB=8,边BC比AD大6.
(1)求边AD、BC的长;
(2)在直径AB上是否存在一动点P,使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似?
若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由.
1
习题巩固:
1.如图,圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切,且DE与圆O相切于E点.若圆O的半径为5,且AB=11,则DE的长度为何?
()
A.5B.6C.D.11
2
(第1题)(第2题)(第3题)
2.如图,AB、CD分别为两圆的弦,AC、BD为两圆的公切线且相交于P点.若PC=2,CD=3,DB=6,则△PAB的周长为()
A.6B.9C.12D.14
3.如图,圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm,那么等腰梯形ABCD的周长等于()
A.15cmB.20cmC.30cmD.60cm
4.如图,⊙O的外切梯形ABCD中,若AD∥BC,那么∠DOC的度数为()
A.70°B.90°C.60°D.45°
(第4题)(第5题)(第6题)
5.如图,PA、PB、CD分别切⊙O于点A、B、E,CD交PA、PB于C、D两点,若∠P=40°,则∠PAE+∠PBE的度数为()
A.50°B.62°C.66°D.70°
6.已知:
如图,以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点(异于A、B),过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C,连接OC、BP,过点O作OM∥CD分别交BC与BP于点M、N.下列结论:
①S四边形ABCD=1AB?
CD;②AD=AB;③AD=ON;④AB为过O、C、2
D三点的圆的切线.其中正确的个数有()
A1B2C3D4
7.以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点F,交AB边于点E,若△CDE的周长为12,则直角梯形ABCE周长为()
A12B13C14D15
8.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB于点D,过点D作⊙O的切线,与边BC交于点E,若AD=9,AC=3.则DE长为()5
35AB2CD22
2
(第7题)(第8题)(第9题)
9.正方形ABCD边长为4cm,以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆,过A作半圆的切线,与半圆相切于F点,与DC相交于E点,则△ADE的面积()
A.12B.24C.8D.6
10.如图,在等腰三角形△ABC中,O为底边BC的中点,以O为圆心作半圆与AB,AC相切,切点分别为D,E.过半圆上一点F作半圆的切线,分别交AB,AC于M,N.那么
的值等于()ABM?
CNBC2111
BCD1
842
(第10题)(第11题)(第12题)
11如图,PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D,若PA=10cm,则△PEF的周长是cm,若∠P=35°,则∠AOB=(度),∠EOF=(度).
12.如图,正方形ABCD的边长为4,以AB为直径向正方形内作半圆,CE与DF是半圆的切线,M,N为切点,CE,DF交于点P.则AE=,△PMN的面积是。
13、由⊙O外一点F作⊙O的两条切线,切点为B,D,AB是⊙O的直径,连接AD,BD,OF交⊙O于E,交BD于C,连接DE,BE,下列四个结论:
(1)BE=DE;
(2)∠FDE=∠EDB;(3)
2DE∥BE;(4)BD=2AD?
FC.其中正确的结论有。
(第13题)(第14题)
14.如图,直角梯形ABCD中,以AD为直径的半圆与BC相切于E,BO交半圆于F,DF的延长线交AB于点P,连DE.
2求证:
①DE∥OF;②AB+CD=BC;④AD=4AB?
DC.
3
15.⊙O的两条切线PA和PB相交于点P,与⊙O相切于A、B两点,C是⊙O上的一点,若∠P=60°,求∠ACB的度数。
16.如图,直角梯形ABCD中,以AD为直径的半圆与BC相切于E,BO交半圆于F,DF的延长线交AB于点P,连DE.以下结论:
①DE∥OF;②AB+CD=BC;③PB=PF;④AD2=4AB?
DC.其中正确的是()A.①②③④B.只有①②C.只有①②④D.只有③④
17.如图1,△ABC中,CA=CB,点O在高CH上,OD⊥CA于点D,OE⊥CB于点E,以O为圆心,OD为半径作⊙O.
(1)求证:
⊙O与CB相切于点E;
(2)如图2,若⊙O过点H,且AC=5,AB=6,连结EH,求△BHE的面积.
图1图2
18.如图①所示,AB为⊙O的直径,AD与⊙O相切于点A,DE与⊙O相切于点E,点C为DE延长线上一点,且CE=CB.
(1)求证:
BC为⊙O的切线;
(2)连接AE,AE的延长线与BC的延长线交于点G(如图②所示).若AB=25,AD=2,求线段BC和EG的长.
4
参考答案
1—10、BDDBDCCBDB
6.详解:
连接OD、AP,∵DA、DP、BC分别是圆的切线,切点分别是A、P、B,∴DA=DP,CP=CB,∠A=90°=∠B=∠DPO,∴AD+BC=DP+CP=CD,
∴S四边形ABCD=(AD+BC)?
AB=AB?
CD,∴①正确;
∵AD=DP<OD<AB,∴②错误;
∵AB是圆的直径,∴∠APB=90°,∵DP=AD,AO=OP,∴D、O在AP的垂直平分线上,
∴OD⊥AP,∵∠DPO=∠APB=90°,∴∠OPB=∠DPA=∠DOP,∵OM∥CD,∴∠POM=∠DPO=90°,在△DPO和△NOP中,∠PON=∠DPO,OP=OP,∠DOP=∠OPN,
∴△DPO≌△NOP,∴ON=DP=AD,∴③正确;
∵AP⊥OD,OA=OP,∴∠AOD=∠POD,同理∠BOC=∠POC,∴∠DOC=×180°=90°,
∴△CDO的外接圆的直径是CD,∵∠A=∠B=90°,取CD的中点Q,连接OQ,∵OA=OB,∴AD∥OQ∥BC,∴∠AOQ=90°,∴④正确.故选C.
(6题图)(10题图)(12题图)
10.详解:
连OM,ON,如图:
∵MD,MF与⊙O相切,∴∠1=∠2,同理得∠3=∠4,
而∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠C=360°,AB=AC,∴∠2+∠3+∠B=180°;
而∠1+∠MOB+∠B=180°,∴∠3=∠MOB,即有∠4=∠MOB,∴△OMB∽△NOC,∴
=,∴BM?
CN=BC,∴2=.故选B.
11.20,1450,72.50;12、详解:
(1)由切线长定理知:
AE=EM;设AE=EM=x,则DE=4
222﹣x,CE=4+x;在Rt△CDE中,由勾股定理得:
(4﹣x)+4=(4+x),解得x=1;故AE=1.
(2)同
(1)可求得BF=FN=1,则DF=CE=5,DE=CF=3;则可证得Rt△CDE≌Rt△DCF;∴∠DCP=∠CDP,即DP=CP,∴PM=PN;故△DPC∽△NPM,且MN∥CD;设MN所在直线与AD、BC的交点为R、T,则MR⊥AD,NT⊥BC;在Rt△MRE中,ME=1,则ER=ME?
cos∠DEC=,MR=ME?
sin∠DEC=;过P作PG⊥MN于G,则RG=GT=2,MG=2﹣RM=;易知RE∥PG,
2则△REM∽△GPM,∴=()=;∵S△REM=MR?
RE,故S△PMN=2S△PMG=.=××=,∴S△PMG=×=
13.详解:
由切线长定理知,DF=FB,∠DFO=∠OFB,∴△EFD≌△EFB,△CFD≌△CFB
∴DE=BE(故①正确),CD=CB,∠FCD=∠FCB。
∵∠FCD+∠FCB=180°,∴∠FCD=∠FCB=90°。
∵FB是切线,则∠FBO=90°,∴∠CBO=∠OFB,∴△OCB∽△OBF
5
∴BC:
CF=OC:
BC,即BC=
(2)=CF?
CO,∴BD=4CO?
FC。
∵AB是直径,∴∠ADB=90°
222∴OC∥AD。
∵点O是AB的中点,∴OC是△ADB的中位线,则有AD=2CO,∴BD=2AD?
FC,
(故④正确)∵DE=BE,∴∠EDC=∠EBC。
∵∠FDE是弦切角,∴∠FDE=∠EBD,∴∠FDE=∠EDB,(故②正确)由于DE与BE相交,故③不正确.因此正确的结论有
(1)
(2)
(4).
14.详见16题。
15.答案:
60或120度
解析:
连接OA、OB,∵PA、PB与圆O分别相切于点A、B,∴OA⊥AP,OB⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°,又∠P=60°,∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°,当点C在优弧AC上时,如图:
又∵∠ACB和∠AOB分别是AC所对的圆周角和圆心角,∴∠ACB=1∠AOB=60°.
2
(15题解答图)
当点C在劣弧AC上时,∠ACB=180°-(16解答题图)1∠AOB=120°.16.答案:
C。
2
解析:
∵BA,BE是圆的切线.∴AB=BE,BO是△ABE顶角的平分线.∴OB⊥AE。
∵AD是圆的直径.∴DE⊥AE,∴DE∥OF,故①正确;
∵CD=CE,AB=BE,∴AB+CD=BC,故②正确;
∵OD=OF,∴∠ODF=∠OFD=∠BFP。
若PB=PF,则有∠PBF=∠BFP=∠ODF,而△ADP与△ABO不一定相似,故PB=PF不一定成了.故③不正确;
2∴OA?
OD=AB?
CD,∴AD=4AB?
DC,故④正确.故正确的是:
①②④.故选C.
17.
(1)证明:
∵CA=CB,点O在高CH上,∴∠ACH=∠BCH,∵OD⊥CA,OE⊥CB,∴OE=OD∴⊙O与CB相切于E点.
(2)解:
∵CA=CB,CH是高,∴AH=BH=11AB=?
6=3,∴CH
.22
∵点O在高CH上,⊙O过点H,∴⊙O与AB相切于H点.由
(1)知⊙O与CB相切于E点,∴BE=BH=3.如图,过E作EF⊥AB于点F,则EF∥CH,∴△BEF∽△BCH.∴BEEF3EF12111218?
?
,即:
?
,∴EF=,∴s?
BHE?
BH?
EF?
?
3?
BCCH5452255
(17题图)(18题图)
18.
(1)连接OE,OC。
∵CB=CE,OB=OE,OC=OC,∴△OBC≌△OEC.∴∠OBC=∠OEC.
6
又∵DE与⊙O相切于点E,∴∠OEC=90°.∴∠OBC=90°.∴BC为⊙O的切线
(2)过点D作DF⊥BC于点F,∵AD,DC,BG分别切⊙O于点A,E,B,∴
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