《32 一元二次不等式》教学案Word格式文档下载.docx
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教学方案设计
●教学建议
一元二次不等式解集的求法对学生而言并不会感到困难,但理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系,则需要经历观察、思考、探究的过程,教学中要遵循人们认识事物的一般规律——从特殊到一般,从具体的二次函数与一元二次方程的关系出发,利用二次函数图象的直观性,借助方程的根是二次函数的两个零点,引导学生观察二次函数图象上任意一点P(x,y)在图象上移动,随着点P的横坐标x变化,点P的纵坐标y的变化情况,在获得感性认识的前提下,归纳出一般的一元二次不等式解集的求法.
本节课需要给学生的思维活动留足够的时间和空间,帮助学生了解知识形成的过程,加深对知识的理解,领悟隐藏在知识发生过程中的数学思想方法.
●教学流程
课标解读
1.能从实际情境中抽象出一元二次不等式.
2.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.(难点)
3.掌握一元二次不等式的解法.重点)
知识1
一元二次不等式
【问题导思】
观察下列不等式:
(1)x2>0;
(2)-x2+3x≤0;
(3)x2-3x+2>0.
上述不等式各有几个未知数,并且未知数的最高次数是多少?
【提示】 各有一个未知数,未知数的最高次数为2.
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.
知识2
一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系
1.二次函数y=x2-2x的图象与二次方程x2-2x=0的根有何内在联系?
【提示】 零点的横坐标是方程的根.
2.当x满足什么条件时,函数y=x2-2x的图象在x轴上方?
【提示】 x>2或x<0.
3.能否根据问题2得出不等式x2-2x>0的解集?
【提示】 能,解集为{x|x>2或x<0}.
4.不等式x2-2x<0的解集呢?
【提示】 {x|0<x<2}.
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1,x2且x1<x2
有两个相等的
实数根x1,x2
没有实数根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
{x|x>x2或x<x1}
{x|x≠-}
R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
∅
课堂互动探究
类型1
一元二次不等式的基本解法
例1 解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)x2-3x+5>0;
(3)-6x2-x+2≥0;
(4)-4x2≥1-4x;
(5)2x2-4x+7<0;
(6)x2-6x+9>0.
【思路探究】 化一边为0→二次项系数化为正→求对应方程的根→二次函数图象与解集
【自主解答】
(1)∵Δ=(-3)2-4×
2×
(-2)=25>0,
∴方程2x2-3x-2=0的两根是-,2.
∴原不等式的解集为.
(2)∵Δ=(-3)2-4×
5=9-20<0,
∴不等式x2-3x+5>0的解集为R.
(3)原不等式可化为6x2+x-2≤0,
∵Δ=12-4×
6×
(-2)>0,
∴方程6x2+x-2=0的两根是-,.
(4)原不等式可化为4x2-4x+1≤0,即(2x-1)2≤0.
∴原不等式的解集是.
(5)∵Δ=(-4)2-4×
7<0,
∴不等式2x2-4x+7<0的解集为∅.
(6)∵原不等式可化为(x-3)2>0.
∴原不等式的解集是{x|x∈R,且x≠3}.
规律方法
1.本题给出了解一元二次不等式的各种常见类型,要认真体会.
2.一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式,尤其要注意“>
”与“≥”,“<
”与“≤”符号的区分.
变式训练
解下列不等式.
(1)x2>14+5x;
(2)-x2+7x>6;
(3)x2+x>-.
【解】
(1)先将不等式化为x2-5x-14>0,
∵方程x2-5x-14=0⇔(x-7)(x+2)=0,其根为x1=-2,x2=7.
结合二次函数y=x2-5x-14的图象易得不等式的解集为{x|x<-2或x>7}.
(2)先将不等式化为x2-7x+6<0,即(x-1)(x-6)<0,∴1<x<6,
故不等式的解集为{x|1<x<6}.
(3)原不等式化为x2+x+>0,
∵方程x2+x+=0的判别式Δ=0,∴方程有两相等实根,为x1=x2=-,
类型2
含参数的一元二次不等式的解法
例2 解关于x的不等式:
ax2-(a+1)x+1<0(a∈R).
【思路探究】 当a=0时,不等式的解集→
a<0时,不等式的解集→a>0时不等式的解集
【自主解答】 若a=0,原不等式可化为-x+1<0,
即x>1.
若a<0,原不等式可化为(x-)(x-1)>0,
即x<或x>1.
若a>0,原不等式可化为(x-)(x-1)<0.(*)
其解的情况应由与1的大小关系决定,故
(1)当a=1时,由(*)式可得x∈∅;
(2)当a>1时,由(*)式可得<x<1;
(3)当0<a<1时,由(*)式可得1<x<.
综上所述:
当a<0时,解集为{x|x<或x>1};
当a=0时,解集为{x|x>1};
当0<a<1时,解集为{x|1<x<};
当a=1时,解集为∅;
当a>1时,解集为{x|<x<1}.
1.含参数的一元二次不等式中,若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,然后再讨论二次项系数不为零时的情形,以便确定解集的形式.
2.其次对方程的根比较大小,由根的大小确定参数的范围,然后根据范围对参数分类讨论.
互动探究
若把题目中的条件“a∈R”改为“a<1”解集又怎样?
【解】
(1)若a=0,则原不等式可化为-x+1<
0,
即x>
1;
(2)若a<
0,则原不等式化为(x-)(x-1)>
即x<
或x>
(3)若0<
a<
1,则原不等式的解为1<
x<
.
当a<
0时,解集为{x|x<
1};
当a=0时,解集为{x|x>
当0<
1时,解集为{x|1<
}.
类型3
可化为一元二次不等式的不等式
例3 解下列不等式:
(1)2x2-3x+1≤;
(2)≤2.
【思路探究】
(1)化为同底→利用y=2x单调递增→转化为一元二次不等式
(2)移项→通分→等价转化为一元二次不等式
【自主解答】
(1)原不等式可转化为2x2-3x+1≤2-1,
∴x2-3x+1≤-1,即x2-3x+2≤0,
∴不等式的解集为{x|1≤x≤2}.
(2)移项,得-2≤0,
左边通分并化简,得≤0,即≥0,
它的同解不等式为∴x<
2或x≥5.
∴原不等式的解集为{x|x<
2或x≥5}.
1.通过本例可以看出:
指对数不等式和分式不等式都可以转化为一元二次不等式进行求解.
2.分式不等式转化为整式不等式时,要注意等价转化,必要时要对分母进行限制,转化为不等式组.
解下列不等式:
(1)log2(x2-5x-4)>1;
(2)<0.
【解】
(1)原不等可转化为:
log2(x2-5x-4)>log22.
∴x2-5x-4>2,x2-5x-6>0,
∴(x+1)(x-6)>0,
∴原不等式的解集为{x|x<-1或x>6}.
(2)原不等式可化为:
>0.
它的同解不等式为
∴x<-2或x>1,
∴原不等式的解集为{x|x<-2或x>1}.
易错易误辨析
忽略二次项系数的符号导致错误
典例 解不等式-6x2-x+2≥0.
【错解】 ∵方程-6x2-x+2=0的两个根为x1=-,x2=,
∴不等式的解集为.
【错因分析】 没有注意到二次项系数小于0这个情况,此时应先把二次项系数化为正数,再进行求解.
【防范措施】 解一元二次不等式时应先看二次项系数,当二次项系数为正时,可以按照“当不等式>0,解在两根之外,当不等式<0,解在两根之间”这一规律写出解集.当二次项系数为负时要先化成正数,再进行求解.
【正解】 不等式可转化为6x2+x-2≤0.
∵方程6x2+x-2=0的两个根为x1=-,x2=,
1.基础知识:
(1)一元二次不等式;
(2)一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系.
2.基本技能:
(1)一元二次不等式的基本解法;
(2)含参数的一元二次不等式的解法;
(3)可化为一元二次不等式的不等式的解法.
3.思想方法:
(1)分类讨论思想;
(2)转化与化归思想;
(3)函数与方程思想.
当堂双基达标
1.下列不等式:
①x2>0;
②-x2-x≤5;
③ax2>2;
④x3+5x-6>0;
⑤mx2-5y<0;
⑥ax2+bx+c>0.其中是一元二次不等式的有________.(填序号)
【解析】 由一元二次不等式的定义判断:
③、⑥中最高次项是二次项但其系数为参数a,当a=0时就不是一元二次不等式;
④的最高次项为三次项不符合;
⑤中含有x,y两个未知数也不符合.故只有①②是一元二次不等式.
【答案】 ①②
2.不等式2x2-x-1>0的解集是________.
【解析】 不等式对应方程2x2-x-1=0可化为
(x-1)(2x+1)=0,故两根为x1=-,x2=1,
∴原不等式解集为{x|x<-或x>1}.
【答案】 {x|x<-或x>1}
3.不等式(x+1)(2-x)≤0的解集是________.
【解析】 不等式左边是两个一次式联乘积,而第二个一次式中x项系数为负,所以展开后二次项系数为负,故应先化为(x+1)(x-2)≥0再求解集.
【答案】 (-∞,-1]∪[2,+∞)
4.(原创题)若0<a<1,求不等式x2-(a+)x+1≥0的解集.
【解】 原不等式可化为(x-a)(x-)≥0,
∴对应方程(x-a)(x-)=0两根分别为:
x1=a,x2=.
又∵0<a<1,∴>a,
∴原不等式解集为(-∞,a]
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