《32 一元二次不等式》教学案Word格式文档下载.docx

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教学方案设计

●教学建议

一元二次不等式解集的求法对学生而言并不会感到困难，但理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系，则需要经历观察、思考、探究的过程，教学中要遵循人们认识事物的一般规律——从特殊到一般，从具体的二次函数与一元二次方程的关系出发，利用二次函数图象的直观性，借助方程的根是二次函数的两个零点，引导学生观察二次函数图象上任意一点P（x，y）在图象上移动，随着点P的横坐标x变化，点P的纵坐标y的变化情况，在获得感性认识的前提下，归纳出一般的一元二次不等式解集的求法．

本节课需要给学生的思维活动留足够的时间和空间，帮助学生了解知识形成的过程，加深对知识的理解，领悟隐藏在知识发生过程中的数学思想方法．

●教学流程

课标解读

1.能从实际情境中抽象出一元二次不等式．

2.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．（难点）

3.掌握一元二次不等式的解法．重点）

知识1

一元二次不等式

【问题导思】　

观察下列不等式：

（1）x2＞0；

（2）－x2＋3x≤0；

（3）x2－3x＋2＞0.

上述不等式各有几个未知数，并且未知数的最高次数是多少？

【提示】　各有一个未知数，未知数的最高次数为2.

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式．

知识2

一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系

1．二次函数y＝x2－2x的图象与二次方程x2－2x＝0的根有何内在联系？

【提示】　零点的横坐标是方程的根．

2．当x满足什么条件时，函数y＝x2－2x的图象在x轴上方？

【提示】　x＞2或x＜0.

3．能否根据问题2得出不等式x2－2x＞0的解集？

【提示】　能，解集为{x|x＞2或x＜0}．

4．不等式x2－2x＜0的解集呢？

【提示】　{x|0＜x＜2}．

Δ＝b2－4ac

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

y＝ax2＋bx＋c

（a＞0）的图象

ax2＋bx＋c＝0

（a＞0）的根

有两个不相等的实数根x1，x2且x1＜x2

有两个相等的

实数根x1，x2

没有实数根

ax2＋bx＋c＞0

（a＞0）的解集

{x|x＞x2或x＜x1}

{x|x≠－}

R

ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集

{x|x1＜x＜x2}

∅

课堂互动探究

类型1

一元二次不等式的基本解法

例1　解下列不等式：

（1）2x2－3x－2＞0；

（2）x2－3x＋5＞0；

（3）－6x2－x＋2≥0；

（4）－4x2≥1－4x；

（5）2x2－4x＋7＜0；

（6）x2－6x＋9＞0.

【思路探究】　化一边为0→二次项系数化为正→求对应方程的根→二次函数图象与解集

【自主解答】　

（1）∵Δ＝（－3）2－4×

2×

（－2）＝25＞0，

∴方程2x2－3x－2＝0的两根是－，2.

∴原不等式的解集为.

（2）∵Δ＝（－3）2－4×

5＝9－20＜0，

∴不等式x2－3x＋5＞0的解集为R.

（3）原不等式可化为6x2＋x－2≤0，

∵Δ＝12－4×

6×

（－2）＞0，

∴方程6x2＋x－2＝0的两根是－，.

（4）原不等式可化为4x2－4x＋1≤0，即（2x－1）2≤0.

∴原不等式的解集是.

（5）∵Δ＝（－4）2－4×

7＜0，

∴不等式2x2－4x＋7＜0的解集为∅.

（6）∵原不等式可化为（x－3）2＞0.

∴原不等式的解集是{x|x∈R，且x≠3}．

规律方法

1．本题给出了解一元二次不等式的各种常见类型，要认真体会．

2．一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式，尤其要注意“>

”与“≥”，“<

”与“≤”符号的区分．

变式训练

解下列不等式．

（1）x2＞14＋5x；

（2）－x2＋7x＞6；

（3）x2＋x＞－.

【解】　

（1）先将不等式化为x2－5x－14＞0，

∵方程x2－5x－14＝0⇔（x－7）（x＋2）＝0，其根为x1＝－2，x2＝7.

结合二次函数y＝x2－5x－14的图象易得不等式的解集为{x|x＜－2或x＞7}．

（2）先将不等式化为x2－7x＋6＜0，即（x－1）（x－6）＜0，∴1＜x＜6，

故不等式的解集为{x|1＜x＜6}．

（3）原不等式化为x2＋x＋＞0，

∵方程x2＋x＋＝0的判别式Δ＝0，∴方程有两相等实根，为x1＝x2＝－，

类型2

含参数的一元二次不等式的解法

例2　解关于x的不等式：

ax2－（a＋1）x＋1＜0（a∈R）．

【思路探究】　当a＝0时，不等式的解集→

a＜0时，不等式的解集→a＞0时不等式的解集

【自主解答】　若a＝0，原不等式可化为－x＋1＜0，

即x＞1.

若a＜0，原不等式可化为（x－）（x－1）＞0，

即x＜或x＞1.

若a＞0，原不等式可化为（x－）（x－1）＜0.（*）

其解的情况应由与1的大小关系决定，故

（1）当a＝1时，由（*）式可得x∈∅；

（2）当a＞1时，由（*）式可得＜x＜1；

（3）当0＜a＜1时，由（*）式可得1＜x＜.

综上所述：

当a＜0时，解集为{x|x＜或x＞1}；

当a＝0时，解集为{x|x＞1}；

当0＜a＜1时，解集为{x|1＜x＜}；

当a＝1时，解集为∅；

当a＞1时，解集为{x|＜x＜1}．

1．含参数的一元二次不等式中，若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．

2．其次对方程的根比较大小，由根的大小确定参数的范围，然后根据范围对参数分类讨论．

互动探究

若把题目中的条件“a∈R”改为“a＜1”解集又怎样？

【解】　

（1）若a＝0，则原不等式可化为－x＋1<

0，

即x>

1；

（2）若a<

0，则原不等式化为（x－）（x－1）>

即x<

或x>

（3）若0<

a<

1，则原不等式的解为1<

x<

.

当a<

0时，解集为{x|x<

1}；

当a＝0时，解集为{x|x>

当0<

1时，解集为{x|1<

}.

类型3

可化为一元二次不等式的不等式

例3　解下列不等式：

（1）2x2－3x＋1≤；

（2）≤2.

【思路探究】　

（1）化为同底→利用y＝2x单调递增→转化为一元二次不等式

（2）移项→通分→等价转化为一元二次不等式

【自主解答】　

（1）原不等式可转化为2x2－3x＋1≤2－1，

∴x2－3x＋1≤－1，即x2－3x＋2≤0，

∴不等式的解集为{x|1≤x≤2}．

（2）移项，得－2≤0，

左边通分并化简，得≤0，即≥0，

它的同解不等式为∴x<

2或x≥5.

∴原不等式的解集为{x|x<

2或x≥5}．

1．通过本例可以看出：

指对数不等式和分式不等式都可以转化为一元二次不等式进行求解．

2．分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组．

解下列不等式：

（1）log2（x2－5x－4）＞1；

（2）＜0.

【解】　

（1）原不等可转化为：

log2（x2－5x－4）＞log22.

∴x2－5x－4＞2，x2－5x－6＞0，

∴（x＋1）（x－6）＞0，

∴原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞6}．

（2）原不等式可化为：

＞0.

它的同解不等式为

∴x＜－2或x＞1，

∴原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}.

易错易误辨析

忽略二次项系数的符号导致错误

典例　解不等式－6x2－x＋2≥0.

【错解】　∵方程－6x2－x＋2＝0的两个根为x1＝－，x2＝，

∴不等式的解集为.

【错因分析】　没有注意到二次项系数小于0这个情况，此时应先把二次项系数化为正数，再进行求解．

【防范措施】　解一元二次不等式时应先看二次项系数，当二次项系数为正时，可以按照“当不等式＞0，解在两根之外，当不等式＜0，解在两根之间”这一规律写出解集．当二次项系数为负时要先化成正数，再进行求解．

【正解】　不等式可转化为6x2＋x－2≤0.

∵方程6x2＋x－2＝0的两个根为x1＝－，x2＝，

1．基础知识：

（1）一元二次不等式；

（2）一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系．

2．基本技能：

（1）一元二次不等式的基本解法；

（2）含参数的一元二次不等式的解法；

（3）可化为一元二次不等式的不等式的解法．

3．思想方法：

（1）分类讨论思想；

（2）转化与化归思想；

（3）函数与方程思想.

当堂双基达标

1．下列不等式：

①x2＞0；

②－x2－x≤5；

③ax2＞2；

④x3＋5x－6＞0；

⑤mx2－5y＜0；

⑥ax2＋bx＋c＞0.其中是一元二次不等式的有________．（填序号）

【解析】　由一元二次不等式的定义判断：

③、⑥中最高次项是二次项但其系数为参数a，当a＝0时就不是一元二次不等式；

④的最高次项为三次项不符合；

⑤中含有x，y两个未知数也不符合．故只有①②是一元二次不等式．

【答案】　①②

2．不等式2x2－x－1＞0的解集是________．

【解析】　不等式对应方程2x2－x－1＝0可化为

（x－1）（2x＋1）＝0，故两根为x1＝－，x2＝1，

∴原不等式解集为{x|x＜－或x＞1}．

【答案】　{x|x＜－或x＞1}

3．不等式（x＋1）（2－x）≤0的解集是________．

【解析】　不等式左边是两个一次式联乘积，而第二个一次式中x项系数为负，所以展开后二次项系数为负，故应先化为（x＋1）（x－2）≥0再求解集．

【答案】　（－∞，－1]∪[2，＋∞）

4．（原创题）若0＜a＜1，求不等式x2－（a＋）x＋1≥0的解集．

【解】　原不等式可化为（x－a）（x－）≥0，

∴对应方程（x－a）（x－）＝0两根分别为：

x1＝a，x2＝.

又∵0＜a＜1，∴＞a，

∴原不等式解集为（－∞，a]