第二节 参数方程Word文档下载推荐.docx
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3.(2017吉林长春质量检测(三))已知在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ2(3+sin2θ)=12,曲线C2的参数方程为
(t为参数),α∈
(1)求曲线C1的直角坐标方程,并判断该曲线是什么曲线;
(2)设曲线C2与曲线C1的交点为A、B,P(1,0),当|PA|+|PB|=
时,求cosα的值.
4.(2017湖南湘中名校联考)已知直线l:
(t为参数),曲线C1:
(θ为参数).
(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;
(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的
纵坐标压缩为原来的
得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.
B组 提升题组
1.在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为
(t为参数),在以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB的面积.
2.(2017陕西西安八校联考)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ,θ∈[0,2π).
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)在曲线C上求一点D,使它到直线l:
(t为参数)的距离最短,并求出点D的直角坐标.
3.(2017四川成都第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中,倾斜角为α
的直线l的参数方程为
(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρcos2θ-4sinθ=0.
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)已知点P(1,0).若点M的极坐标为
直线l经过点M且与曲线C相交于A,B两点,设线段AB的中点为Q,求|PQ|的值.
4.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=
(ρ∈R),曲线C的参数方程为
(1)写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程;
(2)过点M且平行于直线l的直线与曲线C交于A,B两点,若|MA|·
|MB|=
求点M的轨迹.
答案精解精析
1.
解析
(1)将
代入
得曲线C'
的参数方程,即
∴曲线C'
的普通方程为
+y2=1.
(2)设点P(x,y),A(x0,y0),
∵D(1,3),且AD的中点为P,
∴
又点A在曲线C'
上,
∴代入C'
的普通方程
+y2=1,
得(2x-1)2+4(2y-3)2=4,
∴动点P的轨迹方程为(2x-1)2+4(2y-3)2=4.
2.
解析
(1)由ρ=4cosθ,得(x-2)2+y2=4.
(2)将
代入圆的方程得(tcosα-1)2+(tsinα)2=4,
化简得t2-2tcosα-3=0,
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则
∴|AB|=|t1-t2|=
=
∴4cos2α=2,cosα=±
α=
或
3.
解析
(1)由ρ2(3+sin2θ)=12及x=ρcosθ,y=ρsinθ可得
+
=1,该曲线为椭圆.
(t为参数)代入
=1得t2(4-cos2α)+6tcosα-9=0,设A、B对应的参数分别为t1、t2,则t1+t2=
t1t2=
所以|PA|+|PB|=|t1-t2|=
从而cos2α=
由于α∈
所以cosα=
4.
解析
(1)l的普通方程为y=
(x-1),C1的普通方程为x2+y2=1.
联立得方程组
解得l与C1的交点为A(1,0),B
则|AB|=1.
(2)C2的参数方程为
(θ为参数),故点P的坐标是
从而点P到直线l的距离d=
当sin
=-1时,d取得最小值,且最小值为
(
-1).
解析
(1)由曲线C的极坐标方程ρ=
得ρ2sin2θ=2ρcosθ,
所以曲线C的直角坐标方程是y2=2x.
由直线l的参数方程
得其普通方程为x-y-4=0.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=2x,得t2-8t+7=0,
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=8,t1t2=7,
所以|AB|=
|t1-t2|=
×
=6
因为原点到直线x-y-4=0的距离d=
=2
所以△AOB的面积是
|AB|·
d=
6
2
=12.
解析
(1)由ρ=2sinθ,θ∈[0,2π),可得ρ2=2ρsinθ.
因为ρ2=x2+y2,ρsinθ=y,
所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0或x2+(y-1)2=1.
(2)因为直线l的参数方程为
(t为参数),
消去t得直线l的普通方程为y=-
x+5.
因为曲线C:
x2+(y-1)2=1是以G(0,1)为圆心、1为半径的圆,(易知C,l相离)
设点D(x0,y0),且点D到直线l:
y=-
x+5的距离最短,
所以曲线C在点D处的切线与直线l:
x+5平行.
即直线GD与l的斜率的乘积等于-1,即
(-
)=-1,
又
+(y0-1)2=1,
可得x0=-
(舍去)或x0=
所以y0=
即点D的坐标为
解析
(1)∵直线l的参数方程为
∴直线l的普通方程为y=tanα·
(x-1).
由ρcos2θ-4sinθ=0得ρ2cos2θ-4ρsinθ=0,即x2-4y=0,
∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y.
(2)∵点M的极坐标为
∴点M的直角坐标为(0,1).
∴tanα=-1,直线l的倾斜角α=
∴直线l的参数方程为
代入x2=4y,得t2-6
t+2=0.
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2.
∵Q为线段AB的中点,
∴点Q对应的参数值为
=3
又点P(1,0),则|PQ|=
解析
(1)直线l的直角坐标方程为y=x,
曲线C的普通方程为
(2)设点M(x0,y0),过点M的直线为l1,则l1的参数方程为
将直线l1的参数方程代入曲线C的方程可得
tx0+2
ty0+
+2
-2=0,
由|MA|·
得
即
=6,
x2+2y2=6表示一椭圆,
设直线l1为y=x+m,将y=x+m代入
+y2=1得,
3x2+4mx+2m2-2=0,
由Δ>
0得-
<
m<
故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线y=x±
之间的两段椭圆弧.
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