专题4 第1讲 三视图及空间几何体的计算问题.docx
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专题4第1讲三视图及空间几何体的计算问题
专题四 立体几何
第1讲 三视图及空间几何体的计算问题
(建议用时:
60分钟)
一、选择题
1.(2018·湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①②③④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( ).
A.①和②B.③和①
C.④和③D.④和②
解析 由三视图可知,该几何体的正视图是一个直角三角形,三个顶点的坐标分别是(0,0,2),(0,2,0),(0,2,2)且内有一个虚线(一个顶点与另一直角边中点的连线),故正视图是④;俯视图即在底面的射影是一个斜三角形,三个顶点的坐标分别是(0,0,0),(2,2,0),(1,2,0),故俯视图是②.
答案 D
2.(2018·东北三校第三次模拟)如图,多面体ABCDEFG的底面ABCD为正方形,FC=GD=2EA,其俯视图如下,则其正视图和侧视图正确的是( ).
解析 注意BE,BG在平面CDGF上的投影为实线,且由已知长度关系确定投影位置,排除A,C选项,观察B,D选项,侧视图是指光线,从几何体的左面向右面正投影,则BG,BF的投影为虚线,故选D.
答案 D
3.(2018·安徽卷)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为
( ).
A.21+
B.18+
C.21D.18
解析 由三视图知,几何体的直观图如图所示.因此该几何体的表面积为6×2×2-6×
×1×1+2×
×(
)2=21+
.
答案 A
4.(2018·广东卷)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( ).
A.4B.
C.
D.6
解析 由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1的正方形,下底面是边长为2的正方形,高为2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积V=
(12+
+22)×2=
,故选B.
答案 B
5.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,沿BD将矩形ABCD折叠,连接AC,所得三棱锥ABCD正视图和俯视图如图,则三棱锥ABCD侧视图的面积为( ).
A.
B.
C.
D.
解析 由正视图及俯视图可得,在三棱锥ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,该几何体的侧视图是腰长为
=
的等腰直角三角形,其面积为
×
2=
.
答案 B
6.在具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为( ).
A.13B.7+3
C.
πD.14
解析 由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱或水平放置的圆柱.由图象可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1,底面边长分别为1,3,所以表面积为2(1×3+1×1+3×1)=14.
答案 D
7.(2018·湖南卷)已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为
的矩形,则该正方体的正视图的面积等于( ).
A.
B.1
C.
D.
解析 易知正方体是水平放置的,又侧视图是面积为
的矩形.所以正方体的对角面平行于投影面,此时正视图和侧视图相同,面积为
.
答案 D
二、填空题
8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为____________.
解析 由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成.其中长方体的长、宽、高分别为4,2,2,圆柱的底面半径为2,高为4.所以V=2×2×4+
×22×π×4=16+8π.
答案 16+8π
9.(2018·江苏卷)如图,在三棱柱A1B1C1ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥FADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2,则V1∶V2=________.
解析 设三棱柱A1B1C1-ABC的高为h,底面三角形ABC的面积为S,则V1=
×
S·
h=
Sh=
V2,即V1∶V2=1∶24.
答案 1∶24
10.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为________.
解析 利用三棱锥的体积公式直接求解.
VD1-EDF=VF-DD1F=
S△D1DE·AB=
×
×1×1×1=
.
答案
11.(2018·重庆卷改编)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.
解析 由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形,由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的.在长方体中分析还原,如图
(1)所示,故该几何体的直观图如图
(2)所示.在图
(1)中,直角梯形ABPA1的面积为
×(2+5)×4=14,计算可得A1P=5.直角梯形BCC1P的面积为
×(2+5)×5=
.因为A1C1⊥平面A1ABP,A1P⊂平面A1ABP,所以A1C1⊥A1P,故Rt△A1PC1的面积为
×5×3=
.又Rt△ABC的面积为
×4×3=6,矩形ACC1A1的面积为5×3=15,故几何体ABC-A1PC1的表面积为14+
+
+6+15=60.
答案 60
12.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此三棱锥的体积为________.
解析 在Rt△ASC中,AC=1,∠SAC=90°,SC=2,所以SA=
=
.同理,SB=
.过A点作SC的垂线交SC于D点,连接DB,因为△SAC≌△SBC,故BD⊥SC,AD=BD,故SC⊥平面ABD,且△ABD为等腰三角形.因为∠ASC=30°,故AD=
SA=
,则△ABD的面积为
×1×
=
,则三棱锥S-ABC的体积为
×
×2=
.
答案
三、解答题
13.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.
(1)求该几何体的体积V;
(2)求该几何体的侧面积S.
解 由已知可得,该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥EABCD,AB=8,BC=6.
(1)V=
×8×6×4=64.
(2)四棱锥EABCD的两个侧面EAD,EBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高h1=
=4
;
另两个侧面EAB,ECD也是全等的等腰三角形,AB边上的高h2=
=5.
因此S=2×
=40+24
.
14.如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,直线l与平面ABCD平行,E和F是l上的两个不同点,且EA=ED,FB=FC.E′和F′是平面ABCD内的两点,EE′和FF′都与平面ABCD垂直.
(1)证明:
直线E′F′垂直且平分线段AD;
(2)若∠EAD=∠EAB=60°,EF=2.求多面体ABCDEF的体积.
(1)证明 ∵EA=ED且EE′⊥平面ABCD,
∴E′D=E′A,∴点E′在线段AD的垂直平分线上.
同理,点F′在线段BC的垂直平分线上.
又四边形ABCD是正方形,
∴线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线,即点E′、F′都在线段AD的垂直平分线上.
∴直线E′F′垂直且平分线段AD.
(2)解 如图,连接EB、EC,由题意知多面体ABCDEF可分割成正四棱锥EABCD和正四面体EBCF两部分.设AD的中点为M,在Rt△MEE′中,由于ME′=1,ME=
,∴EE′=
.
∴VEABCD=
·S正方形ABCD·EE′=
×22×
=
.
又VEBCF=VCBEF=VCBEA=VEABC=
S△ABC·EE′=
×
×22×
=
,
∴多面体ABCDEF的体积为VEABCD+VEBCF=2
.
15.(2018·广东卷)如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起,得到如图2所示的三棱锥A-BCF,其中BC=
.
(1)证明:
DE∥平面BCF;
(2)证明:
CF⊥平面ABF;
(3)当AD=
时,求三棱锥F-DEG的体积VFDEG.
(1)证明 在等边三角形ABC中,AB=AC.
∵AD=AE,
∴
=
,∴DE∥BC,
∴DG∥BF,如图2,DG⊄平面BCF,
∴DG∥平面BCF.
同理可证GE∥平面BCF.
∵DG∩GE=G,∴平面GDE∥平面BCF,
∴DE∥平面BCF.
(2)证明 在等边三角形ABC中,F是BC的中点,∴AF⊥FC,
∴BF=FC=
BC=
.
在图2中,∵BC=
,
∴BC2=BF2+FC2,∴∠BFC=90°,
∴FC⊥BF.
∵BF∩AF=F,∴CF⊥平面ABF.
(3)解 ∵AD=
,
∴BD=
,AD∶DB=2∶1,
在图2中,AF⊥FC,AF⊥BF,
∴AF⊥平面BCF,
由
(1)知平面GDE∥平面BCF,
∴AF⊥平面GDE.
在等边三角形ABC中,AF=
AB=
,
∴FG=
AF=
,DG=
BF=
×
=
=GE,
∴S△DGE=
DG·EG=
,
∴VF-DEG=
S△DGE·FG=
.
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