山东省青州市2016届中考数学第一轮复习18圆的切线性质与判定学案(新).doc
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圆的切线性质与判定
一、知识结构
考点一点、直线与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种,分别是、和.
2.直线与圆的位置关系
相交
相切
相离
公共点的个数
公共点名称
直线名称
3.直线和圆的位置关系的性质与判定如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么:
(1)直线l和⊙O相交⇔;
(2)直线l和⊙O相切⇔;(3)直线l和⊙O相离⇔.
考点二切线的判定和性质
1.切线的判定方法
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;
(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的;(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.切线的性质定理:
圆的切线垂直于经过切点的;
考点三三角形的外接圆和内切圆
名称
三角形的外接圆
三角形的内切圆
圆心名称
描述
经过三角形三顶点的圆,外心是的交点
与三角形三边都相切的圆,内心是的交点
图形示例
性质
三角形外心到三角形三个顶点的距离相等
三角形内心到三角形三边的距离相等
【基础演练】
1.已知⊙O的半径为4cm,如果圆心O到直线l的距离为3.5cm,那么直线l和⊙O的位置关系是( )
A.相交B.相切C.相离D.不确定
2.如图,AB是⊙O的弦,BC与⊙O相切于点B,连接OA,OB.若∠ABC=70°,则∠A等于( )
A.15° B.20° C.30°D.70°
3.如图,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,⊙O经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.试说明CE是⊙O的切线;
二、典型例题
1、如图,AB与⊙O相切于C,∠A=∠B,⊙O的半径为6,AB=16,求OA的长.
解:
在△OAB中,∵∠A=∠B,∴OA=OB.连接OC,则OC⊥AB,OC=6,AC=BC=8,∴OA===10.
方法总结:
已知圆的切线,若图中没有连接切点的半径,可连接切点与圆心构造直角三角形,在直角三角形中利用勾股定理或直角三角形的两锐角互余解答问题.
2、如图,已知⊙O的直径为AB,AC⊥AB于点A,BC与⊙O相交于点D,在AC上取一点E,使得ED=EA.
(1)求证:
ED是⊙O的切线;
(2)当OA=3,AE=4时,求BC的长度.
解:
(1)证明:
如图,连接OD,
∵OD=OA,EA=ED,∴∠3=∠4,∠1=∠2.
∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠ODE=∠OAE.∵AB⊥AC,∴∠OAE=90°,∴∠ODE=90°,
∴DE是⊙O的切线.
(2)∵OA=3,AE=4,∴OE=5.又∵AB是⊙O的直径,∴AD⊥BC.
∴∠1+∠5=90°,∠2+∠6=90°.又∵∠1=∠2,∴∠5=∠6,∴DE=EC.
∴E是AC的中点. ∴OE∥BC且OE=BC.∴BC=10.
方法总结:
证明圆的切线分为三种情况:
有过切点的半径,证垂直;有切点,无半径,连半径,证垂直;无切点,作垂直,证相等.
三、题组训练
1、如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,连接OC交⊙O于点D,
连接BD,∠C=40°,则∠ABD的度数是( )
A.30° B.25°C.20° D.15°
2、如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,弦ED⊥AB于点F,交BC于点G,过点C的直线与ED的延长线交于点P,PC=PG.求证:
PC是⊙O的切线;
四、课后作业
1、Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半径作圆,若⊙C与直线AB相切,则r的值为( )A.2cmB.2.4cmC.3cmD.4cm
2、如图,AB是⊙O的弦,AC是⊙O的切线,A为切点,BC经过圆心.若∠B=25°,则∠C的大小等于( )A.20° B.25° C.40° D.50°
3、如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为( )
A.4B.3C.6D.2
4、如图,△ABC内接于⊙O,AB是直径,⊙O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC交AC于点E,交PC于点F,连接AF.
(1)判断AF与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=24,AF=15,求⊙O的半径.
五、附基础演练、例题、练习题答案及课后作业详细解析与评分标准
一、知识结构
考点一点、直线与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种,分别是点在圆外、点在圆上和点在圆内.
2.直线与圆的位置关系
相交
相切
相离
公共点的个数
2
1
0
公共点名称
交点
切点
无
直线名称
割线
切线
无
3.直线和圆的位置关系的性质与判定如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么:
(1)直线l和⊙O相交⇔d (2)直线l和⊙O相切⇔d=r;(3)直线l和⊙O相离⇔d>r. 考点二切线的判定和性质 1.切线的判定方法 (1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线; (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线; (3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.切线的性质切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径; 考点三三角形的外接圆和内切圆 名称 三角形的外接圆 三角形的内切圆 圆心名称 三角形的外心 三角形的内心 描述 经过三角形三顶点的圆,外心是三角形三边中垂线的交点 与三角形三边都相切的圆,内心是三角形三条角平分线的交点 图形示例 性质 三角形外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形内心到三角形三边的距离相等 【基础演练】 1.已知⊙O的半径为4cm,如果圆心O到直线l的距离为3.5cm,那么直线l和⊙O的位置关系是( A ) A.相交B.相切C.相离D.不确定 解析: ∵⊙O的半径r=4cm,圆心O到直线l的距离d=3.5cm,∴d<r,∴直线l与⊙O的位置关系是相交.故选A. 2.如图,AB是⊙O的弦,BC与⊙O相切于点B,连接OA,OB.若∠ABC=70°,则∠A等于( B ) A.15° B.20° C.30°D.70° 解析: ∵BC与⊙O相切于点B,∠ABC=70°,∴∠ABO=20°.又∵OA=OB,∴∠A=∠ABO=20°.故选B. 答案: B 3.如图,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,⊙O经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.试说明CE是⊙O的切线; 解析: 连接OC,要证CE是⊙O的切线,只需证到∠OCE=90°即可; ∵CA=CE,∠CAE=30°,∴∠E=∠CAE=30°,∠COE=2∠A=60°, ∴∠OCE=90°,∴CE是⊙O的切线; 二、典型例题 1、如图,AB与⊙O相切于C,∠A=∠B,⊙O的半径为6,AB=16,求OA的长. 解: 在△OAB中,∵∠A=∠B,∴OA=OB.连接OC,则OC⊥AB,OC=6,AC=BC=8,∴OA===10. 方法总结: 已知圆的切线,若图中没有连接切点的半径,可连接切点与圆心构造直角三角形,在直角三角形中利用勾股定理或直角三角形的两锐角互余解答问题. 2、如图,已知⊙O的直径为AB,AC⊥AB于点A,BC与⊙O相交于点D,在AC上取一点E,使得ED=EA. (1)求证: ED是⊙O的切线; (2)当OA=3,AE=4时,求BC的长度. 解: (1)证明: 如图,连接OD, ∵OD=OA,EA=ED,∴∠3=∠4,∠1=∠2. ∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠ODE=∠OAE. ∵AB⊥AC,∴∠OAE=90°,∴∠ODE=90°,∴DE是⊙O的切线. (2)∵OA=3,AE=4,∴OE=5. 又∵AB是⊙O的直径,∴AD⊥BC.∴∠1+∠5=90°,∠2+∠6=90°. 又∵∠1=∠2,∴∠5=∠6,∴DE=EC.∴E是AC的中点. ∴OE∥BC且OE=BC.∴BC=10. 方法总结: 证明圆的切线分为三种情况: 有过切点的半径,证垂直;有切点,无半径,连半径,证垂直;无切点,作垂直,证相等. 三、题组训练 1、如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,连接OC交⊙O于点D,连接BD,∠C=40°,则∠ABD的度数是( B ) A.30° B.25°C.20° D.15° 解析: ∵AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,∴∠OAC=90°.∵∠C=40°, ∴∠AOC=50°,∴∠B=25°.故选B. 答案: B 2、如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,弦ED⊥AB于点F,交BC于点G,过点C的直线与ED的延长线交于点P,PC=PG.求证: PC是⊙O的切线; 解: 证明: 如图,连接OC, ∵ED⊥AB,∴∠FBG+∠FGB=90°. 又∵PC=PG,∴∠PCG=∠PGC.而∠PGC=∠FGB,∠OCB=∠FBG, ∴∠PCG+∠OCB=90°, 即OC⊥PC,∴PC是⊙O的切线; 四、课后作业 1、Rt△ABC中,∠C=90°,AC==3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半径作圆,若⊙C与直线AB相切,则r的值为( B ) A.2cmB.2.4cmC.3cmD.4cm 解析: 作CD⊥AB于点D,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,由勾股定理,可得AB=5(cm).再由面积法,求得CD=2.4(cm),即r的值为2.4cm.故选B. 答案: B 2、如图,AB是⊙O的弦,AC是⊙O的切线,A为切点,BC经过圆心.若∠B=25°,则∠C的大小等于( C ) A.20° B.25° C.40° D.50° 解析: 如图,连接OA,∵AC是⊙O的切线,∴OA⊥AC,即∠OAC=90°. ∵OA=OB,∠B=25°,∴∠OAB=∠B=25°. ∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-25°-25°-90°=40°.故选C. 答案: C 3、如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为( B ) A.4B.3C.6D.2 解析: 如图,连接OD,∵DF是圆的切线, ∴DF⊥OD.又∵OC=OD,∠C=60°,∴△OCD是等边三角形, ∴∠ODC=60°,∴∠ADF=30°.又∵∠A=60°,∴∠AFD=90°,OD∥AB. 又∵点O是BC的中点,∴点D是AC的中点.在Rt△ADF中,AD=2AF=4, ∴AB=AC=8,故BF=AB-AF=6.在Rt△BFG中,∠BFG=30°, ∴FG=BF·cos∠BFG=6×=3.故选B. 4、如图,△ABC内接于⊙O,AB是直径,⊙O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC交AC于点E,交PC于点F,连接AF. (1)判断AF与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)若AC=24,AF=15,求⊙O的半径. 解: (1)AF是⊙O的切线. 理由如下: 连接OC, ∵AB是⊙O的直径,∴∠BCA=90°
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