最新中考必做地36道数学压轴题Word下载.docx

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1这一段位于直线l的上方，在－1<

x<

0这一段位于直线l的下方．

∴抛物线与直线l的交点横坐标为－1；

当x＝－1时，y＝－2x（－1）＋2＝4

则抛物线过点（－1，4）

当x＝－1时，m＋2m－2＝4，m＝2

∴抛物线解析为y＝2x2－4x－2.

连接（2013江苏南京，26，9分）已知二次函数y＝a（x－m）2－a（x－m）（a、m为常数，且a≠0）.

（1）求证：

不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；

（2）设该函数的图象的顶点为C.与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D.

①当△ABC的面积等于1时，求a的值；

②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值.

【答案】

（1）证明：

y＝a（x－m）2－a（x－m）＝ax2－（2am＋a）x＋am2＋am.

因为当a≠0时，［－（2am＋a）］2－4a（am2＋am）＝a2＞0.

所以，方程ax2－（2am＋a）x＋am2＋am＝0有两个不相等的实数根.

所以，不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点.………3分

（2）解：

①y＝a（x－m）2－a（x－m）＝a（x－）2－，

所以，点C的坐标为（，－）.

当y＝0时，a（x－m）2－a（x－m）＝0.解得x1＝m，x2＝m＋1.所以AB＝1.

当△ABC的面积等于1时，×

1×

＝1.

所以×

（－）＝1，或×

所以a＝－8，或a＝8.

②当x＝0时，y＝am2＋am.所以点D的坐标为（0，am2＋am）.

当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，

×

＝×

（－）=×

（am2＋am），或×

=×

（am2＋am）.

所以m＝－，或m＝，或m＝.………9分

变式:

（2012北京，23，7分）已知二次函数在和时的函数值相等。

（1）求二次函数的解析式；

（2）若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求和的值；

（3）设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在

点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将

（2）中得到的直线向上平移个单位。

请结合图象回答：

当平移后的直线与图象

有公共点时，的取值范围。

（1）

①方法一：

∵二次函数在和时的函数值相等

∴.

∴这个二次函数的解析式是

②方法二：

由题意可知：

二次函数图象的对称轴为

则

∴这个二次函数的解析式是.

（2）∵二次函数的图象过点.

又∵一次函数的图象经过点

∴

（3）令

解得：

由题意知，点B、C间的部分图象的解析式为，（）.

则向左平移后得到图象G的解析式为：

，（）.

此时平移后的一次函数的解析式为.

若平移后的直线与平移后的抛物线相切.

则有两个相等的实数根。

即一元二次方程有两个相等的实数的根。

∴判别式=

与矛盾.

∴平移后的直线与平移后的抛物线不相切.

∴结合图象可知，如果平移后的直线与图象G有公共点，则两个临界交点为和.

则，解得：

，解得：

第2题“弓形问题”再相逢，“殊途同归”快突破

（例题）（2012湖南湘潭，26，10分）如图，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为.

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点是线段下方的抛物线上一点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标.

【答案】解：

（1）将B（4，0）代入中，得：

∴抛物线的解析式为：

（2）∵当时，解得，

∴A点坐标为（－1，0），则OA=1

∵当x=0时，

∴C点坐标为（0,－2），则OC=2

在Rt⊿AOC与Rt⊿COB中，

∴Rt⊿AOC∽Rt⊿COB

∴∠ACO=∠CBO

∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠CBO+∠OCB=90°

那么⊿ABC为直角三角形

所以⊿ABC的外接圆的圆心为AB中点，其坐标为（1.5，0）

（3）连接OM.设M点坐标为（x，）

=

∴当x=2时，⊿MBC的面积有最大值为4，M的坐标为（2，－3）

变式（2011安徽芜湖24）面直角坐标系中，▱ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（-1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°

，得到▱A'

B'

OC'

．

（1）若抛物线过点C，A，A'

，求此抛物线的解析式；

（2）▱ABOC和▱A'

重叠部分△OC'

D的周长；

（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：

点M在何处时△AMA'

的面积最大？

最大面积是多少？

并求出此时M的坐标．

第三题“模式识别”记心头，看似“并列”“递进”

（例题）23．（2012河南，23，11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合），过点P作轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D．

（1）求a、b及的值；

（2）设点P的横坐标为m．

①用含的代数式表示线段PD的长，

并求出线段PD长的最大值；

②连接PB，线段PC把△PDB分成

两个三角形，是否存在适合的值，

使这两个三角形的面积之比为9:

10?

若存在，直接写出值；

若不存在，说明理由．

（1）由，得∴

由，得∴

∵经过两点，∴∴

设直线AB与轴交于点，则

∵∥轴，∴.

（2）由⑴可知抛物线的解析式为

在中，

∵∴当时，有最大值

②存在满足条件的值，

【提示】

分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、G．

又

∴．

当时，解得；

当时，解得．

变式一27．（2011江苏泰州，27，12分）已知：

二次函数y=x2＋bx－3的图像经过点P（－2,5）．

（1）求b的值，并写出当1＜x≤3时y的取值范围；

（2）设点P1（m,y1）、P2（m+1,y2）、P3（m+2,y3）在这个二次函数的图像上．

①当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形的三边的长？

请说明理由；

②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．

（1）把点P代入二次函数解析式得5=（－2）2－2b－3，解得b=－2.

当1＜x≤3时y的取值范围为－4＜y≤0.

（2）①m=4时，y1、y2、y3的值分别为5、12、21，由于5+12＜21，不能成为三角形的三边长．

②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3的值分别为m2－2m－3、m2－4、m2＋2m－3，由于，m2－2m－3＋m2－4＞m2＋2m－3，（m－2）2－8＞0，

当m不小于5时成立，即y1＋y2＞y3成立．

所以当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，

变式二（2013重庆B卷，25，10分）如图，已知抛物线的图像与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）.

（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图像上的一动点，过点M作MN//y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；

（3）在

（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图像上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为，△ABN的面积为，且，求点P的坐标.

（1）设直线BC的解析式为，将B（5，0），C（0，5）代入有：

解得：

所以直线BC的解析式为

再将B（5，0），C（0，5）代入抛物线有：

解得：

所以抛物线的解析式为：

（2）设M的坐标为（x，），则N的坐标为（x，），

MN=

=

当时，MN有最大值为

（3）当时，解得，

故A（1,0），B（5,0），所以AB=4

由

（2）可知，N的坐标为（，）

则，那么

在y上取点Q（-1，0），可得

故QP∥BC

则直线QP的解析式为

当时，解得，

所以P点坐标为（2，），（，），

第四题“准线”“焦点”频现身，“居高临下”明“结构”

（例题）

（2012四川资阳，25，9分）抛物线的顶点在直线上，过点F的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥轴于点A，NB⊥轴于点B．

（1）（3分）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含的代数式表示），再求的值；

（2）（3分）设点N的横坐标为，试用含的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF＝NB；

（3）（3分）若射线NM交轴于点P，且PA×

PB＝，求点M的坐标．

答案：

解

（1）

∴顶点坐标为（－2,）

∵顶点在直线上，

∴－2+3=，得=2

（2）∵点N在抛物线上，

∴点N的纵坐标为

即点N（,）

过点F作FC⊥NB于点C，

在Rt△FCN中，FC=+2，NC=NB-CB=,∴＝＝=

而=＝

∴＝，NF=NB

（3）连结AF、BF

由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由

（2）的结论知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA,∵MA⊥轴，NB⊥轴，∴MA∥NB,∴∠AMF+∠BNF=180°

∵△MAF和△NFB的内角总和为360°

∴2∠MAF+2∠NBF=180°

，∠MAF+∠NBF=90°

∵∠MAB+∠NBA=180°

，∴∠FBA+∠FAB=90°

又∵∠FAB+∠MAF=90°

∴∠FBA=∠MAF=∠MFA

又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴，=

过点F作FG⊥轴于点G,在Rt△PFG中，PG==，∴PO=PG+GO=，

∴P（－,0）

设直线PF：

，把点F（－2,2）、点P（－,0）代入解得=，=，∴直线PF：

解方程，得=－3或=2（不合题意，舍去）

当=－3时，=，∴M（－3,）

变式一25．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线y=作垂线，垂足为M，连FM（如图）．

（1）求字母a，b，c的值；

（2）在直线x=1上有一点F（1，），求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；

（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立？

若存在请求出t值，若不存在请说明理由．

（1）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O，

可得-=1，=1，c=0，

∴a=-1，b=2，c=0．

（2）由

（1）知抛物线的解析式为y=-x2+2x，

故设P点的坐标为（m，-m2+2m），则M点的坐标（m，），

∵△PFM是以PM为底边的等腰三角形