江苏省南通市届高三数学第一次模拟考试试题Word格式文档下载.docx
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5.有数学、物理、化学三个兴趣小组,甲、乙两位同学各随机参加一个,则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 .
6.已知正四棱柱的底面边长是3cm,侧面的对角线长是3cm,则这个正四棱柱的体积为 cm3.
7.若实数x,y满足x≤y≤2x+3,则x+y的最小值为 .
8.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p>
0)的准线为l,直线l与双曲线-y2=1的两条渐近线分别交于A,B两点,AB=,则p的值为 .
9.在平面直角坐标系xOy中,已知直线y=3x+t与曲线y=asinx+bcosx(a,b,t∈R)相切于点(0,1),则(a+b)t的值为 。
10.已知数列{an}是等比数列,有下列四个命题:
①数列{|an|}是等比数列;
②数列{anan+1}是等比数列;
③数列是等比数列;
④数列{lga}是等比数列.
其中正确的命题有 个.
11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=f(x).当0<
x≤1时,f(x)=x3-ax+1,则实数a的值为 .
12.在平面四边形ABCD中,AB=1,DA=DB,·
=3,·
=2,则|+2|的最小值为 .
13.在平面直角坐标系xOy中,圆O:
x2+y2=1,圆C:
(x-4)2+y2=4.若存在过点P(m,0)的直线l,直线l被两圆截得的弦长相等,则实数m的取值范围是 .
14.已知函数f(x)=(2x+a)(|x-a|+|x+2a|)(a<
0).若f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(672)=0,则满足f(x)=2019的x的值为 .
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥PABCD中,M,N分别为棱PA,PD的中点.已知侧面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,DA=DP.求证:
(1)MN∥平面PBC;
(2)MD⊥平面PAB.
16.(本小题满分14分)
在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对边的长,acosB=bcosA,cosA=.
(1)求角B的值;
(2)若a=,求△ABC的面积.
17.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(a>
b>
0)的左焦点为F,右顶点为A,上顶点为B.
(1)已知椭圆的离心率为,线段AF中点的横坐标为,求椭圆的标准方程;
(2)已知△ABF的外接圆的圆心在直线y=-x上,求椭圆的离心率e的值.
18.(本小题满分16分)
如图1,一艺术拱门由两部分组成,下部为矩形ABCD,AB,AD的长分别为2m和4m,上部是圆心为O的劣弧CD,∠COD=.
(1)求图1中拱门最高点到地面的距离;
(2)现欲以点B为支点将拱门放倒,放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直,如图2、图3、图4所示.设BC与地面水平线l所成的角为θ.记拱门上的点到地面的最大距离为h,试用θ的函数表示h,并求出h的最大值.
19.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=+lnx(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)设函数f(x)的导函数为f′(x),若函数f(x)有两个不相同的零点x1,x2.
①求实数a的取值范围;
②证明:
x1f′(x1)+x2f′(x2)>
2lna+2.
20.(本小题满分16分)
已知等差数列{an}满足a4=4,前8项和S8=36.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足(bka2n+1-2k)+2an=3(2n-1)(n∈N*).
①证明:
{bn}为等比数列;
②求集合.
数学附加题
(本部分满分40分,考试时间30分钟)
21.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-2:
矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵M=,N=,且(MN)-1=,求矩阵M.
[选修4-4:
坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是(t为参数).以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程是ρsin=.求:
(1)直线l的直角坐标方程;
(2)直线l被曲线C截得的线段长.
C.[选修4-5:
不等式选讲](本小题满分10分)
已知实数a,b,c满足a2+b2+c2≤1,求证:
++≥.
【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3553等.显然2位“回文数”共9个:
11,22,33,…,99.现从9个不同的2位“回文数”中任取1个乘以4,其结果记为X;
从9个不同的2位“回文数”中任取2个相加,其结果记为Y.
(1)求X为“回文数”的概率;
(2)设随机变量ξ表示X,Y两数中“回文数”的个数,求ξ的概率分布和数学期望E(ξ).
23.(本小题满分10分)
设集合B是集合An={1,2,3,…,3n-2,3n-1,3n},n∈N*的子集.记集合B中所有元素的和为S(规定:
集合B为空集时,S=0).若S为3的整数倍,则称B为An的“和谐子集”.求:
(1)集合A1的“和谐子集”的个数;
(2)集合An的“和谐子集”的个数.
2019届高三年级第一次模拟考试(南通)
数学参考答案
1.{0,1,3} 2. 3.3 4.7 5. 6.54
7.-6 8.2 9.4 10.3 11.2 12.2
13. 14.337
15.
(1)在四棱锥PABCD中,M,N分别为棱PA,PD的中点,
所以MN∥AD.(2分)
又底面ABCD是矩形,
所以BC∥AD.
所以MN∥BC.(4分)
又BC⊂平面PBC,MN⊄平面PBC,
所以MN∥平面PBC.(6分)
(2)因为底面ABCD是矩形,
所以AB⊥AD.
又侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,AB⊂底面ABCD,
所以AB⊥侧面PAD.(8分)
又MD⊂侧面PAD,
所以AB⊥MD.(10分)
因为DA=DP,又M为AP的中点,
从而MD⊥PA.(12分)
又PA,AB在平面PAB内,PA∩AB=A,
所以MD⊥平面PAB.(14分)
16.
(1)在△ABC中,因为cosA=,0<
A<
π,
所以sinA==.(2分)
因为acosB=bcosA,
由正弦定理=,得sinAcosB=sinBcosA.
所以cosB=sinB.(4分)
若cosB=0,则sinB=0,与sin2B+cos2B=1矛盾,故cosB≠0.
于是tanB==1.
又因为0<
B<
所以B=.(7分)
(2)因为a=,sinA=,
由
(1)及正弦定理=,得=,
所以b=.(9分)
又sinC=sin(π-A-B)
=sin(A+B)
=sinAcosB+cosAsinB
=×
+×
=.(12分)
所以△ABC的面积为S=absinC=×
×
=.(14分)
17.
(1)因为椭圆+=1(a>
0)的离心率为,
所以=,则a=2c.
因为线段AF中点的横坐标为,
所以=.
所以c=,则a2=8,b2=a2-c2=6.
所以椭圆的标准方程为+=1.(4分)
(2)因为点A(a,0),点F(-c,0),
所以线段AF的中垂线方程为x=.
又因为△ABF的外接圆的圆心C在直线y=-x上,
所以点C.(6分)
因为点A(a,0),点B(0,b),
所以线段AB的中垂线方程为:
y-=.
由点C在线段AB的中垂线上,得--=,
整理得,b(a-c)+b2=ac,(10分)
即(b-c)(a+b)=0.
因为a+b>
0,所以b=c.(12分)
所以椭圆的离心率e===.(14分)
18.
(1)如图1,过点O作与地面垂直的直线交AB,CD于点O1,O2,交劣弧CD于点P,O1P的长即为拱门最高点到地面的距离.
在Rt△O2OC中,∠O2OC=,CO2=,
所以OO2=1,圆的半径R=OC=2.
所以O1P=R+OO1=R+O1O2-OO2=5.
故拱门最高点到地面的距离为5m.(4分)
(2)在拱门放倒过程中,过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P.
当点P在劣弧CD上时,拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和;
当点P在线段AD上时,拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离.
由
(1)知,在Rt△OO1B中,OB==2.
以B为坐标原点,地面所在的直线为x轴,建立如图2所示的坐标系.
①当点P在劣弧CD上时,<
θ≤.
由∠OBx=θ+,OB=2,
由三角函数定义,
得点O,
则h=2+2sin.(8分)
所以当θ+=即θ=时,h取得最大值2+2.(10分)
②如图3,当点P在线段AD上时,0≤θ≤.
设∠CBD=φ,在Rt△BCD中,
DB==2,
sinφ==,cosφ==.
由∠DBx=θ+φ,得点D(2cos(θ+φ),2sin(θ+φ)).
所以h=2sin(θ+φ)=4sinθ+2cosθ.(14分)
又当0<
θ<
时,h′=4cosθ-2sinθ>
4cos-2sin=>
0.
所以h=4sinθ+2cosθ在上递增.
所以当θ=时,h取得最大值5.
因为2+2>
5,所以h的最大值为2+2.
故h=
艺术拱门在放倒的过程中,拱门上的点到地面距离的最大值为(2+2)m.(16分)
19.
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=.
①当a≤0时,f′(x)>
0成立,
所以函数f(x)在(0,+∞)为增函数;
(2分)
②当a>
0时,
(ⅰ)当x>
a时,f′(x)>
0,所以函数f(x)在(a,+∞)上为增函数;
(ⅱ)当0<
x<
a时,f′(x)<
0,所以函数f(x)在(0,a)上为减函数.(4分)
(2)①由
(1)知,当a≤0时,函数f(x)至多一个零点,不合题意;
当a>
0时,f(x)的最小值为f(a),
依题意知f(a)=1+lna<
0,解得0<
a<
.(6分)
一方面,由于1>
a,f
(1)=a>
0,函数f(x)在(a,+∞)为增函数,且函数f(x)的图象在(a,1)上不间断.
所以函数f(x)在(a,+∞)上有唯一的一个零点.
另一方面,因为0<
,所以0<
a2<
.
f(a2)=+lna2=+2lna,令g(a)=+2lna,
当0<
时
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