高中数学知识点椭圆的方程文档格式.docx
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范围:
对称性:
轴、 轴、原点.
顶点:
, .
离心率:
e
概念:
椭圆焦距与长轴长之比
定义式:
范围:
2、椭圆中a,b,c,e的关系是:
(1)定义:
r1+r2=2a
(2)余弦定理:
+ -2r1r2cos(3)面积:
= r1r2sin ?
2c|y0|(其中P( )
三、基础训练:
1、椭圆 的标准方程为
,焦点坐标是 ,长轴长为___2____,短轴长为2、椭圆 的值是__3或5__;
3、两个焦点的坐标分别为 ___;
4、已知椭圆 上一点P到椭圆一个焦点 的距离是7,则点P到另一个焦点5、设F是椭圆的一个焦点,B1B是短轴, ,则椭圆的离心率为6、方程 =10,化简的结果是 ;
满足方程7、若椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率为
8、直线y=kx-2与焦点在x轴上的椭圆9、在平面直角坐标系 顶点 ,顶点 在椭圆 上,则10、已知点F是椭圆 的右焦点,点A(4,1)是椭圆内的一点,点P(x,y)(x0)是椭圆上的一个动点,则 的最大值是8.
【典型例题】
例1、
(1)已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,长轴长是短轴长的3倍,短轴长为4,求椭圆的方程.
(2)中心在原点,焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到右顶点的距离为1,求椭圆的方程.
解:
设方程为 .
所求方程为(3)已知三点P,(5,2),F1(-6,0),F2(6,0).设点P,F1,F2关于直线y=x的对称点分别为 ,求以 为焦点且过点 的椭圆方程.
(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为 所以所求椭圆的标准方程为(4)求经过点M(,1)的椭圆的标准方程.
设方程为
例2、如图所示,我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心) 为一个焦点的椭圆,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km,远地点B(离地面最远的点)距地面2384km,并且 、A、B在同一直线上,设地球半径约为6371km,求卫星运行的轨道方程(精确到1km).
建立如图所示直角坐标系,使点A、B、 在 轴上,
则 =|OA|-|O |=| A|=6371+439=6810
解得 =7782.5, =972.5
卫星运行的轨道方程为
例3、已知定圆
分析:
由两圆内切,圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形,用数学符号表示此结论:
上式可以变形为 ,又因为 ,所以圆心M的轨迹是以P,Q为焦点的椭圆
知圆可化为:
圆心Q(3,0),
设动圆圆心为 ,则 为半径 又圆M和圆Q内切,所以 ,
即 ,故M的轨迹是以P,Q为焦点的椭圆,且PQ中点为原点,所以 ,故动圆圆心M的轨迹方程是:
例4、已知椭圆的焦点是 |和|
(1)求椭圆的方程;
(2)若点P在第三象限,且 =120,求 .
选题意图:
综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识,灵活运用等比定理进行解题.
(1)由题设| |=2| |=4
(2)设 ,则 =60-
由正弦定理得:
由等比定理得:
说明:
曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形,与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理,借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质,借助焦半径公式余弦定理把P点横坐标先求出来,再去解三角形作答
例5、如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2,从这个圆上任意一点P向 轴作垂线段PP?
@,求线段PP?
@的中点M的轨迹(若M分PP?
@之比为 ,求点M的轨迹)
(1)当M是线段PP?
@的中点时,设动点 ,则 的坐标为
因为点 在圆心为坐标原点半径为2的圆上,
所以有所以点
(2)当M分PP?
@之比为 时,设动点 ,则 的坐标为
因为点 在圆心为坐标原点半径为2的圆上,所以有 ,
例6、设向量 =(1,0), =(x+m) +y =(x-m) +y |+|(I)求动点P(x,y)的轨迹方程;
(II)已知点A(-1,0),设直线y= (x-2)与点P的轨迹交于B、C两点,问是否存在实数m,使得 ?
若存在,求出m的值;
若不存在,请说明理由.
(I)∵ =(1,0), =(0,1),| =6
上式即为点P(x,y)到点(-m,0)与到点(m,0)距离之和为6.记F1(-m,0),F2(m,0)(0
|PF1|+|PF2|=6|F1F2|
又∵x0,P点的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆的右半部分.
∵2a=6,a=3
又∵2c=2m,c=m,b2=a2-c2=9-m2
所求轨迹方程为 (x0,0
(II)设B(x1,y1),C(x2,y2),
而y1y2= (x1-2)?
(x2-2)
= [x1x2-2(x1+x2)+4]
[x1x2-2(x1+x2)+4]
= [10x1x2+7(x1+x2)+13]
若存在实数m,使得 成立
则由 [10x1x2+7(x1+x2)+13]=
可得10x1x2+7(x1+x2)+10=0①
消去y,得(10-m2)x2-4x+9m2-77=0②
因为直线与点P的轨迹有两个交点.
由①、④、⑤解得m2= 9,且此时△0
但由⑤,有9m2-77= 0与假设矛盾
不存在符合题意的实数m,使得
例7、已知C1:
,抛物线C2:
(y-m)2=2px(p0),且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
(Ⅰ)当ABx轴时,求p、m的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;
(Ⅱ)若p= ,且抛物线C2的焦点在直线AB上,求m的值及直线AB的方程.
(Ⅰ)当ABx轴时,点A、B关于x轴对称,所以m=0,直线AB的方程为x=1,从而点A的坐标为(1, )或(1,- ).
此时C2的焦点坐标为( ,0),该焦点不在直线AB上.
(Ⅱ)当C2的焦点在AB上时,由(Ⅰ)知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-1).
因为C2的焦点F( ,m)在y=k(x-1)上.
所以k2x2- (k2+2)x+ =0②
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0③
由于x1、x2也是方程③的两根,所以x1+x2=
又m=- m= 或m=-
当m= 时,直线AB的方程为y=- (x-1);
当m=- 时,直线AB的方程为y= (x-1).
例8、已知椭圆C:
(a0,b0)的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为e.直线l:
y=ex+a与x轴,y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F1关于直线l的对称点,设 = .
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)若 ,△MF1F2的周长为6,写出椭圆C的方程;
(Ⅲ)确定解:
(Ⅰ)因为A、B分别为直线l:
y=ex+a与x轴、y轴的交点,所以A、B的坐标分别是A(- ,0),B(0,a).
(Ⅱ)当 时, a=2c
由△MF1F2的周长为6,得2a+2c=6
a=2,c=1,b2=a2-c2=3
故所求椭圆C的方程为
(Ⅲ)∵PF1lPF1F2=90BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,即 |PF1|=C.
设点F1到l的距离为d,由
即当(注:
也可设P(x0,y0),解出x0,y0求之)
【模拟试题】
一、选择题
1、动点M到定点 和 的距离的和为8,则动点M的轨迹为
A、椭圆B、线段C、无图形D、两条射线
2、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是
A、 C、2- -1
3、(2019年高考湖南卷)F1、F2是椭圆C:
的焦点,在C上满足PF1PF2的点P的个数为
A、2个B、4个C、无数个D、不确定
4、椭圆 的左、右焦点为F1、F2,一直线过F1交椭圆于A、B两点,则△ABF2的周长为
A、32B、16C、8D、4
5、已知点P在椭圆(x-2)2+2y2=1上,则 的最小值为
6、我们把离心率等于黄金比 是优美椭圆,F、A分别是它的左焦点和右顶点,B是它的短轴的一个端点,则 等于
A、 C、
二、填空题
7、椭圆 的顶点坐标为和,焦点坐标为,焦距为,长轴长为,短轴长为,离心率为,准线方程为.
8、设F是椭圆 的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i=1,2, ),使得|FP1|、|FP2|、|FP3|组成公差为d的等差数列,则d的取值范围是.
9、设 , 是椭圆 的两个焦点,P是椭圆上一点,且 ,则得 .
10、若椭圆 =1的准线平行于x轴则m的取值范围是
三、解答题
11、根据下列条件求椭圆的标准方程
(1)和椭圆 共准线,且离心率为 .
(2)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为 和 ,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.
12、已知 轴上的一定点A(1,0),Q为椭圆 上的动点,求AQ中点M的轨迹方程
13、椭圆 的焦点为 =(3,-1)共线.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设M是椭圆上任意一点,且 = 、 R),证明 为定值.
【试题答案】
1、B
2、D
3、A
4、B
5、D(法一:
设 ,则y=kx代入椭圆方程中得:
(1+2k2)x2-4x+3=0,由△0得:
.法二:
用椭圆的参数方程及三角函数的有界性求解)
6、C
7、( ;
(0, );
6;
10;
8;
;
.
10、m 且m0.
11、
(1)设椭圆方程 .
所求椭圆方程为 的坐标为
13、解:
设P点横坐标为x0,则 为钝角.当且仅当 .
14、
(1)解:
设椭圆方程 ,F(c,0),则直线AB的方程为y=x-c,代入 ,化简得:
由 =(x1+x2,y1+y2), 共线,得:
3(y1+y2)+(x1+x2)=0,
又y1=x1-c,y2=x2-c
3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0,x1+x2=
(2)证明:
由
(1)知a2=3b2,所以椭圆 可化为x2+3y2=3b2
死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;
而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。
其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。
相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。
观察内容的选择,我本着先静后动,由近及远的原则,有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的,能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的,是相当有趣的,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等,孩子一边观察,一边提问,兴趣很浓。
我提供的观察对象,注意形象逼真,色彩鲜明,大小适中,引导幼儿多角度多层面地进行观察,保证每个幼儿看得到,看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法,即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察,观察与说话相结合,在观察中积累词汇,理解词汇,如一次我抓住时机,引导幼儿观察雷雨,雷雨前天空急剧变化,乌云密布,我问幼儿乌云是什么样子的,有的孩子说:
乌云像大海的波浪。
有的孩子说“乌云跑得飞快。
”我加以
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